第03讲 一元二次方程及其应用（复习讲义5考点+22题型+3重点）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

第二章方程（组）与不等式（组）第03讲一元二次方程及其应用目录01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 202·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 504·命题洞悉·题型预测 11命题点一一元二次方程的定义与解题型01利用一元二次方程的定义求解题型02一元二次方程的一般式题型03由一元二次方程的解求参数或代数式题型04一元二次方程解的估算命题点二解一元二次方程题型01解一元二次方程（计算题）题型02利用配方法对方程进行配方题型03换元法解一元二次方程命题点三一元二次方程根的判别式题型01利用根的判别式判断根的情况题型02已知根的情况求参数的取值范围题型03根的判别式综合应用命题点四一元二次方程根与系数的关系题型01根与系数的关系之直接求解题型02根与系数的关系之整体带入题型03根与系数的关系之降次求解题型04根与系数的关系之构造方程题型05已知根与系数的关系求参数题型06根与系数的关系解答题综合命题点五一元二次方程的实际应用题型01一元二次方程实际应用之传播问题题型02一元二次方程实际应用之增长率问题题型03一元二次方程实际应用之与图形相关的问题题型04一元二次方程实际应用之数字问题题型05一元二次方程实际应用之销售问题题型06一元二次方程实际应用之捂手循环问题05·重难突破·思维进阶 31突破一利用配方法求最值突破二一元二次方程中定义新运算突破三一元二次方程中动点问题考点课标要求考法分析一元二次方程的相关概念与一般形式1.理解一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程；2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确识别二次项系数a、一次项系数b3.掌握一元二次方程解的基本概念。多以填空题、选择题形式呈现分值3-4分；已知一元二次方程的解求参数的取值（如2025·四川绵阳卷，2025·青海卷，2025·四川达州卷等）；一元二次方程的解法1.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法；2.能根据方程的结构特征选择最简便的解法；3.理解求根公式的推导过程（配方法推导）。基础题型：解具体的一元二次方程，或用指定方法解方程（如2025·江苏无锡卷，2025·江苏徐州卷，2025·黑龙江齐齐哈尔卷等）；一元二次方程的解法主要以计算题形式出现，难度中等偏下分值（6-10）根的判别式1.掌握根的判别式∆=2.能根据∆的符号判断一元二次方程根的情况∆>0∆=0∆<03.能根据根的情况求参数的取值范围。多为选填题，难度中等。已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围（2025·江苏镇江卷、2025·山东潍坊卷、2025·四川广元卷等）；利用根的判别式判断根的情况（2025·广东广州卷、2025·河南卷等）；根与系数的关系（韦达定理）1.掌握韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2.能利用韦达定理求与根相关的代数式的值(如x12+x3.能根据两根的值或关系求方程中的参数。多为选填题，难度中等。利用根与系数的关系求代数式的值（2025·福建卷、2025·四川攀枝花卷、2025·黑龙江绥化卷等）；根与系数关系的综合求解（2025·四川南充卷等）一元二次方程的实际应用1.能从实际问题中抽象出一元二次方程模型；2.掌握列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答；3.能解决增长率/下降率、面积/体积、销售利润、传播问题等常见实际问题。多为解答题或选择题，难度中等。几何图形类（2025·四川巴中卷、2025·江苏南通卷、2025·山东威海卷等）；增长率问题（2025·四川泸州卷、2025·山东滨州卷、2025·广东卷等）；销售利润问题（2025·山东东营卷、2025·四川达州卷等）；命题预测命题趋势：基础考点为核心、综合融合为方向、生活情境为载体既稳定考查一元二次方程的定义、解法、根的判别式及韦达定理等核心内容，又强化与二次函数、几何图形的跨模块综合，同时结合真实生活场景（如电商利润、校园改造等）突出数学建模能力，还会增加解题思路表述、多解法比较等开放性设问，体现新课标对运算能力与逻辑思维的要求。备考建议：吃透教材概念为前提，灵活掌握解法为核心，突破综合应用为关键既要夯实“a≠0”前提、四种解法的适用场景、判别式与韦达定理的联用逻辑等基础，又要通过专题训练攻克代几综合、实际应用题的建模与验根难点，同时整理易错点清单并定期复盘，提升解题规范性与应试效率。考点一解一元二次方程解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤：一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程)1.：将方程整理为(x+m)2=n的形式(n2.：等式两边同时开平方，得x注意：必须加“士”，否则会漏根。3.：移项计算，得到方程的两个根x=−m±n，示例：4.特殊情况：若n<0，方程无实数根。二、因式分解法(适用于左边易分解、右边为0的方程)1.：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为ax2.：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。示例：方程x2−3x+2=03.：根据“若A⋅B=0，则A=0或B=0”，转化为两个一元一次方程。示例：x−1=0或x−2=04.：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。示例：x1关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式(如x)，避免漏根。三、配方法(适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目)1.：把常数项移到等号右边，得ax2+bx=−c示例：方程x2.：若二次项系数a≠1，方程两边同时除以a，使二次项系数为1示例：方程2x2−8x−10=0先化为3.：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，示例：x2−4x的一次项系数为−4，一半的平方是4,两边加4得4.：将左边化为完全平方形式，得x+b2a2=5.：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解，例：x−2=±3，即四、公式法(通用解法，适用于所有一元二次方程)1.：将方程整理为ax2.算判别式：计算Δ=3.判根的情况若Δ>0：若Δ=0：若Δ<0：4.代入公式：当Δ≥0时，代入求根公式x=−b±b2−4ac5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：x22．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程x2+2x−4=03．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x考点二一元二次方程根的判别式一、判别式的定义与表达式对于一元二次方程的一般形式axΔ=关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0，若a=0，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。二、判别式与根的情况的关系在实数范围内，判别式的符号直接决定一元二次方程实数根的个数，具体对应关系如下：1.当时：方程有两个不相等的实数根，此时代入求根公式可得x1,22.当时：方程有两个相等的实数根，求根公式可简化为x1=3.当时：方程没有实数根，因为实数范围内负数不能开平方，求根公式无法计算出实数解。1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（A．−1 B．0 C．12 D．2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−x+kA．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（A．3 B．2 C．1 D．04．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是（A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥15．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况考点三一元二次方程根与系数的关系一、定理的适用前提1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式ax2.方程有实数根，即根的判别式Δ=b二、定理的核心内容若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)的两个实数根为x简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。特殊形式方程的根与系数关系·当二次项系数a=1时，方程为x2x·当常数项c=0时，方程为ax2+bx=0，两根为x1+常用变形公式：x1|1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．22．（2025·山东东营·中考真题）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，则代数式A．0 B．25 C．26 D．−13．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则5．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程x2+2x−3=0的两根，则1a6．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β考点四一元二次方程实际应用一、解题通用步骤1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。2.设：设未知数，有两种设元方式——①直接设元：问什么设什么;②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。5.验：双重检验——①检验方程的根是否满足方程；②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。二、中考常见题型及解题模型1.增长率/下降率问题核心公式若初始量为a，平均增长率(或下降率)为x，增长(或下降)n次后的量为b，则：a(1注意：增长时用“+”，下降时用“一”。解题关键●确定初始量a、变化次数n、最终量b;●增长率x的取值范围是0<x<1(即2.销售利润问题核心公式①单件利润=单件售价-单件成本；②总利润=单件利润×销售量；销量变化规律：售价每提高(或降低)m元，销量相应减少(或增加)n件。3.传播问题核心公式若1个传染源每次传播给x个对象，经过n轮传播后，总感染人数为：1+x+x2+⋯+1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：x（元/个）…52535455…y（个）…760740720700…(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？3．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m方案一方案二如图1，围成一个面积为450m如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？4．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．命题点一一元二次方程的定义与解►题型01利用一元二次方程的定义求解一元二次方程的定义相关求解，核心是围绕定义三要素(只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），结合一般形式ax一、定义核心要点回顾1.一元二次方程的三要素整式方程：方程两边都是整式，分母不含未知数，根号内不含未知数；①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2(且二次项系数a≠0)。2.一般形式：ax2+bx+c=0(a,b【典例】（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．ax2+bx+c=0C．x2+y=2 【典例】（2025·四川广元·一模）关于x的方程m−1xm+1−4x−1=0是一元二次方程，则【变式1】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A．ax2+bx+c=0C．x2y−2x+5y=2 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x−1x−3=0 C．ax2+bx+c=0【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程(k+3)x|k+1|+3x−4=0是一元二次方程，那么kA．1 B．−3 C．2 D．1或−3►题型02由一元二次方程的解求参数或代数式【典例】（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0a≠0的一个根是x=1，则代数式A．2028 B．2022 C．−2028 D．2025【变式1】（2024·广东广州·二模）已知关于x的方程x2−x+a=0的一个根为2，则a的值是（A．−3 B．−2 C．−1 D．2【变式2】（2025·安徽滁州·二模）已知关于x的一元二次方程x2+ax−6=0的一个实数根为2，则另一个实数根是（A．−8 B．−3 C．3 D．4【变式3】（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程x2−2x−2=0的一个根，则代数式2mA．2027 B．2028 C．2029 D．2030►题型03一元二次方程解的估算【典例】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2−3x−5=0的一个解的范围是（x−2−1012x5−1−5−7−7A．−2<x<−1 B．−1<x<0 C．0<x<1 D．1<x<2【变式1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：x2−x=1.2的一个近似解是（x1.11.21.31.41.51.61.71.8x0.110.240.390.560.750.961.191.44A．x≈0.24 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x−15=0必有一个解x的取值范围是x−111.11.2x−111314.4115.84命题点二解一元二次方程►题型01解一元二次方程（计算题）解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点易错类型具体易错场景错误示例因式分解法漏根方程两边同除以含未知数的代数式，未保证右边为0就分解解方程x2−2x=0，两边除以x得x=2直接开平方法丢根解解(x+m)解方程(x−3配方法步骤错误1.二次项系数不为1时，未先化为1就配方；

2.配方时仅给左边加常数，右边不加解方程2x2−4x−1=0公式法参数代入错误未将方程化为一般形式a解方程x²=3x-1,误取b=3、c=-1,未整理为x符号处理失误1.求根公式中−b的符号错误，尤其b为负数时；2.去括号、移项时未变号解方程x解方程(x+2)(x−3)=5,移项后误写x根式化简不彻底求根公式计算后，未将根式化为最简形式，或分子分母未约分解方程2x2−4x−1=0简为x=【典例】（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程；(1)x(2)3x−5−x【变式1】（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程：(1)x+52(2)x(3)3x(4)x−22【变式2】（2025·陕西汉中·一模）解方程：4【变式3】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程(1)x2(2)x2►题型02利用配方法对方程进行配方【典例】（2025·贵州·二模）将多项式x2−6x进行配方，正确的是（A．x−32−9 B．x−32+9 C．【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程x2+4x−1=0时，下列变形中，正确的是（A．(x+2)2=5 B．(x+2)2=1 C．【变式2】（2025·湖北·模拟预测）用配方法解一元二次方程x2−2x−2025=0时，化为x+a2A．x−12=2024 C．x−12=2026 【变式3】（2025·安徽宣城·二模）用配方法解一元二次方程x2−8x+11=0，则配方后得到的方程是（A．x−82=5 B．x−82=27 C．►题型03换元法解一元二次方程核心步骤1.设元：观察方程结构，令重复出现的复杂代数式为t（t需满足有意义的条件，如根式下非负、分母不为0）；2.换元：将原方程转化为关于t的一元二次方程at3.求解：解这个一元二次方程，得到t的值；4.回代：将t的值代入设元式，求出原未知数x的值；5.检验：分式方程、根式方程需检验根是否使原方程有意义（避免增根）。【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且x2+y【变式1】（2025·江苏南京·三模）实数x，y满足(x2+y2【变式2】（2025·四川雅安·一模）已知方程ax2+bx−3=0的解是x1=1，xA．x1=2，x2=6 C．x1=−1，x2=3 【变式3】（2025·湖北随州·一模）关于x的方程mx+h2+k=0的解是x1=−3，x2=2（m，h，kA．x1=0，x2=5 C．x1=−3，x2=5 命题点三一元二次方程根的判别式►题型01利用根的判别式判断根的情况当方程含参数时，需结合“方程是一元二次方程”的前提（a≠0）1.确定参数限制条件若题目明确是一元二次方程，先列出a≠0的不等式；若未明确，需分类讨论(a≠0时为一元二次方程，a=0时为一元一次方程)。2.根据根的情况列不等式/等式①若方程有两个不相等的实数根：Δ>0且②若方程有两个相等的实数根：Δ=0且③若方程有实数根：Δ≥0且④若方程无实数根：Δ<0且【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）关于x的一元二次方程x2−x−mA．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【变式1】（2025·山西·一模）一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【变式2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知点Pa,c在第四象限，则一元二次方程ax2+bx+c=0A．有两个相等实根 B．有两个不等实根C．没有实数根 D．无法判定【变式3】（2025·河南南阳·二模）二次函数y=ax2+bx+4的图象如图所示，则方程aA．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．可能只有一个实数根►题型02已知根的情况求参数的取值范围【典例】（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程kx2−3x−94A．k>−1且k≠0 B．k≥−1 C．k≥−1且k≠0 D．无法确定【变式1】（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程2x2−3x+a=0有两个相等的实数根，则实数aA．94 B．−94 C．−【变式2】（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有两个相等的实数根，若点A1,y1、Ba,y2均在反比例函数A．y1≥y2 B．y1>【变式3】（2025·四川南充·一模）已知：点Ax1,y1在直线y=−x−6上，抛物线y=−x2+4x上两点Bx2,y2，CA．−9<w<−2 B．−6<w<3 C．−6<w<10 D．−2<w<10【变式4】（2025·吉林·模拟预测）已知关于x的方程mx2−3x+1=0A．m≤94且m≠0 B．m<C．m>94 ►题型03根的判别式综合应用【典例】（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程x2(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．(2)若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【变式1】（2025·江苏南京·三模）已知二次函数y=x(1)求证：该函数的图象与x轴有公共点．(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．(3)已知点A4，2，B7，【变式2】（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对x,y，白板屏幕上就会出现x2(1)嘉嘉在电脑屏幕上输入m,−3m，求输出的多项式；(2)淇淇说“若输入n,2n，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由．【变式3】（2025·广东梅州·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为x=0，且m为正数，求m的值．【变式4】（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程x2(1)当m=−2时，求方程的根．(2)若方程x2+4mx+4m2+2m+3=0命题点四一元二次方程根与系数的关系►题型01根与系数的关系之直接求解一、直接求解的核心公式(前提条件)1.适用前提方程为一元二次方程，即化为一般形式ax方程有实数根，即判别式Δ=2.核心公式若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、当二次项系数a=1时，方程为x2+px+q=0，二、直接求解的三类典型题型及解题步骤题型1：已知方程，直接求x1+解题步骤1.将方程化为一般形式ax22.直接代入韦达定理公式计算，无需解方程。题型2：已知方程的一个根，求另一个根及参数值解题步骤1.设已知根为x1，待求根为x2，确定方程的a、2.利用：x1+x3.再利用x1x题型3：已知根的特殊关系，求方程中的参数解题步骤1.根据根的关系(如互为相反数、互为倒数),结合韦达定理列方程；2.解方程求出参数的可能值；3.验证：将参数值代入判别式，确保△≥0(方程有实数根)。【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知m，n是一元二次方程x2+6x+8=0的两个根，则m+n+mn的值为【变式1】（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程−2x2−3x+6=0有两个实数根x1，x2【变式2】（2025·甘肃武威·一模）已知一元二次方程x2−2x−1=0的两根是x1，x2【变式3】（2025·湖北孝感·三模）设x1、x2是方程x2+4x−3=0【变式4】（2025·湖北·一模）已知关于t的一元二次方程t2+4t−1=0的两根分别为m，n，则1m►题型02根与系数的关系之整体带入【典例】（2025·河北邯郸·三模）若m，n是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则m2【变式1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）若α,β是一元二次方程x2+4x−1=0的两个根，则α【变式3】若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则代数式2α►题型03根与系数的关系之降次求解【典例】（2025·四川广安·一模）若x1，x2是方程x2+2x−2029=0的两个实数根，则代数式【变式1】（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，则a【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）已知x1，x2是方程x2+x−18=0的两个实数根，则►题型04根与系数的关系之构造方程【典例】（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数x1，x2，满足：x12+3x【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足m2−4=2m，n【变式2】（2025·四川宜宾·三模）已知m2−2m−5=0，n【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知xy≠1，且有5x2+2024x+9=0,9y2►题型05已知根与系数的关系求参数【典例】（2025·江苏南京·三模）设x1，x2是关于x的方程x2−2mx−3=0的两个根，且【变式1】（2025·江苏南京·三模）设x1,x2是方程x2+bx−4=0的两个根x【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知x2+mx+2m2+m=0，其中x1和x2►题型06根与系数的关系解答题综合【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1,x2是方程x2【变式1】（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足2x【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(1)若a=1，抛物线的顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值．(2)若abc=4，且a≥b≥c，求a+【变式3】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数y=ax2+bx−2(1)求二次函数的图象的对称轴．(2)若y=ax2+bx−2的最小值为−3(3)设y=ax2+bx−2的图象与x轴的交点分别为x1,0，x2,0命题点五一元二次方程的实际应用►题型01一元二次方程实际应用之传播问题通用解题步骤1.审清题意，设未知数设每人每轮传播的人数为x(这是传播问题的核心未知数)。2.分析轮次，列等量关系根据传播轮次，结合核心模型列出总感染人数的方程：两轮传播：(1+x)注意：若初始传染源不是1人，而是m人，则两轮后总感染人数为m(1+x3.解方程，求未知数用直接开平方法或因式分解法解方程，得到x的解。4.检验根的合理性传播人数x必须是非负整数（人数不能为负数或小数）；根需满足实际情境，舍去不符合题意的解。5.写答句【典例】（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（

）A．1+x+x2=49C．1+x+x1+x=49 【变式1】（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为．【变式2】（2025·重庆·三模）Omicron（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了人．►题型02一元二次方程实际应用之增长率问题1.审清题意，提取三要素从题干中明确三个关键量：初始量a：变化前的基础数量(如初始产值、初始人数、初始价格);变化次数n：增长/下降的轮次，时间间隔等于变化次数(如“2025到2027年”间隔2年，n=2)；最终量b：变化后的目标数量。2.设未知数设平均增长率(或下降率)为x,注意x的单位为“1”(最终需化为百分数)。3.根据公式列方程增长问题：代入a1+xo下降问题：代入a1−xn4.解方程，优先用直接开平方法步骤拆解：①方程两边同时除以a，化简为(1±x)²=b②对等式两边开平方，得1±③解出x的两个值，注意符号取舍。5.检验根的合理性增长率x：必须满足x>0,舍去负数根；o下降率x：必须满足0<x<1,舍去负数根和大于1的根；o根需符合实际情境(如增长率不能过大导致数量不符合常理)。6.规范写答将x的值化为百分数，明确回答题目所求的“平均增长率/下降率”。【典例】（2025·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程．【变式1】（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到36.3公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为．【变式2】（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年5月的游客人数比4月的游客人数增加60%，6月的游客人数比5月的游客人数减少了10%．求该景区去年5月份、6月份游客人数的月平均增长率．【变式3】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个．(1)求这两次技术改造日产量的平均增长率；(2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：cm），请计算此类盲盒的表面积．►题型03一元二次方程实际应用之与图形相关的问题【典例】（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为72m．每类鸡舍均设计一道1(1)若养鸡场的宽为xm，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y(2)当养鸡场的总面积为275m【变式1】（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为x米．(1)饲养场的长BC=__________．（用含x的代数式表示）(2)若饲养场的面积为330m2，求【变式2】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用39m长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为20(1)设AB边的长为xm，则BC边的长为m．（用含x(2)若所围成的试验田的总面积为126m2，求(3)能否围成总面积为160m【变式3】（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下：活动课题设计围篱笆的方案活动工具直角三角板、皮尺、篱笆活动过程【了解场地】用皮尺测出墙MN的长为19m【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田ABCD，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在BC边上给每个小矩形区域各留一个1m【准备材料】篱笆总长为33m，三个门不用篱笆．设BC=xm,AB=ym，矩形ABCD(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；(2)若矩形实验田ABCD的面积为80m2，求矩形验田(3)当AB长为多少时，实验田ABCD的面积最大？最大面积是多少？►题型04一元二次方程实际应用之数字问题【典例】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……，（1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，个碳原子；【规律发现】请用含n的式子填空：（2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为；（3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为；【规律应用】（4）求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍．【变式1】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：(3745)8=3×8(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；(2)小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．【变式2】（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当a≠0时，a0=1．如：3721=3×10【解决问题】(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：4×7(2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制）例如110112写出110112(3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．【变式3】（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示【规律发现】（1）第5个图案中，“▲”的个数为____________；（2）第n个图案中，“★”的个数可表示为_________________；【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．►题型05一元二次方程实际应用之销售问题【典例】（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，而且多培育的品种数量不能超过30个．(1)如果要使幼苗总量增加8%，那么应多培育多少个品种的月季?(2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值．【变式1】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a0<a≤6【变式2】（2025·四川广安·一模）某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式y=−x+50．(1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？(2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【变式3】（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本．(1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？►题型06一元二次方程实际应用之捂手循环问题【典例】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程．【变式1】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有x人，则可列方程为．【变式2】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一