第05讲 二次函数的图像与性质 （复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数第05讲二次函数的图像与性质目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 202·知识导航·网络构建 403·考点解析·知识通关 404·命题洞悉·题型预测 15命题点一二次函数的相关概念题型01二次函数中参数的取值范围题型02用待定系数法求二次函数解析式命题点二二次函数的图像与性质题型01根据二次函数解析式判断其性质题型02比较二次函数函数值大小题型03画二次函数图像题型04函数图像的综合判定题型05二次函数图像与各项系数之间的关系题型06二次函数对称题型07二次函数的最值问题类型一自变量x在实数范围内时求最值类型二自变量在特定范围内的时求最值类型三建立函数关系求最值类型四含参最值问题题型08二次函数图像与性质综合题型09与二次函数图像与性质有关的新定义问题命题点三二次函数的图像变换题型01平移变换题型02对称变换题型03旋转变换题型04翻折变换命题点四二次函数与方程、不等式题型01求二次函数与x轴交点坐标题型02二次函数与不等式05·重难突破·思维进阶 18突破一铅锤法求二次函数面积突破二线段最值问题突破三二次函数存在性问题考点课标要求考法分析二次函数的形式掌握二次函数的一般式、顶点式，能根据条件选择合适形式表示函数。直接考查函数形式的转化（如一般式化顶点式，2025・浙江卷）；结合顶点/对称轴求参数（2025・江苏卷）。抛物线的开口与形状理解a对抛物线开口方向、宽窄的影响。判断开口方向（2025・山东卷）；比较不同抛物线的开口宽窄（2025・湖北卷）；结合a的符号分析函数趋势。顶点与对称轴会求二次函数的顶点坐标、对称轴，理解其几何意义。直接求顶点/对称轴（2025・四川卷）；利用顶点求最值（2025・广东卷）；结合对称轴判断函数对称性（2025・湖南卷）。增减性与最值掌握二次函数的增减区间，能求其最值。分析指定区间内的增减性（2025・北京卷）；实际问题中求最值（如利润、面积问题，2025・重庆卷）；与不等式结合考查取值范围。与坐标轴的交点会求二次函数与x轴、y轴的交点，理解判别式的作用。求与坐标轴的交点坐标（2025・河南卷）；根据交点数判断△的符号（2025・安徽卷）；结合交点求函数表达式（2025・福建卷）。图像的综合性质能综合运用二次函数的图像性质解决问题。图像平移（2025・陕西卷）；与一次函数/反比例函数结合的图像分析（2025・江西卷）；新定义背景下的性质应用（2025・浙江卷），难度中等偏上。命题预测命题趋势：二次函数是中考数学的核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、解答题为主，难度跨度大（基础题到压轴题均有涉及）。基础题：聚焦图像基本性质（开口、顶点、对称轴）、函数形式转化、与坐标轴交点等，侧重概念的直接应用；中档题：结合一次函数/反比例函数的图像综合分析、实际问题中的最值求解（如利润、面积），考查数形结合与建模能力；压轴题：常与几何图形（三角形、四边形）结合，涉及动点问题、存在性问题（如等腰三角形、相似三角形），或与新定义题型融合，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力，是区分度较高的考点。备考建议：1.夯实基础性质：重点掌握二次函数的形式转化（一般式↔顶点式）、开口/顶点/对称轴的计算，确保基础题（如求顶点坐标、判断增减性）不丢分。2.强化数形结合训练：多练习“根据函数表达式画草图分析性质”“结合图像判断参数符号（如a、b、c的符号）”的题目，提升图像分析能力。3.突破实际应用与综合题：1）实际问题：总结“利润/面积最值”的建模步骤（设变量→列函数式→求最值）；2)几何综合题：梳理“动点+二次函数”“存在性问题”的解题逻辑（先表示坐标→列方程→分析解的合理性）。4.关注创新题型：练习新定义背景下的二次函数题，培养材料阅读、信息提取能力，适应中考的灵活命题趋势。考点一二次函数的相关概念二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数).二次函数的常见表达式：名称解析式使用条件一般式当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式.顶点式当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.交点式当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.1．（2025牡丹区一模）用一个圆心角为n°（n为常数，0<n<180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S都随R的变化而变化，则l与R,S与R满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系【答案】C【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l与R，S与R的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可．【详解】解：圆锥的底面圆的周长为l，即扇形的弧长l=nπR圆锥的侧面积S，即扇形的面积S=nπ所以l是R的一次函数，S是R的二次函数，故选：C．2．（2025·平邑县·三模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数y=x+1x−1A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当x≥−1时，当x<−1时的函数解析式即可得到答案．【详解】解：当x≥−1时，y=x+1当x<−1时，y=−x+1∴四个选项中只有A选项符合题意，故选：A．3．（2025·广东·中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点c,0【答案】y=−x【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点c,0，得到0=−c2+bc+c，再由二次函数y=−x2+bx+c【详解】解：∵二次函数y=−x2+bx+c∴0=−c∵二次函数y=−x∴c≠0，则c−b=1，若取b=1，则c=2，∴该二次函数的表达式可以是y=−x故答案为：y=−x考点二二次函数的图像与性质基本形式图像a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.二次函数的图像特征与a，b，c及的关系字母字母的符号图像特征备注aa＞0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．a＜0开口向下bb=0对称轴是y轴，即−b左同右异中间0a，b同号对称轴在y轴左侧，即−a，b异号对称轴在y轴右侧，即−cc=0图像过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交与x轴有两个不同的交点的正负决定抛物线与x轴交点个数与x轴有唯一交点与x轴没有交点1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线y=2x−12+3A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为1,3C．抛物线的对称轴为直线x=−1 D．当x>−3时，y随x的增大而增大【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵抛物线的解析式为y=2x−1∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1,3，当x>1时，y随x的增大而增大，∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；因为当−3<x<1时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．故选：B．2．（2025·山东威海·中考真题）已知点−2,y1,3,yA．y1>y2>y3 B．【答案】C【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x−2∴二次函数y=−(x−2)2+c∴离对称轴越近，函数值越大，点−2,y1的横坐标−2与2的距离为−2−2=4；点3,y2的横坐标3与2的距离为3−2=1；点7,y∵1<4<5，∴y2故选C．3．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+cA．abc<0 B．2a+b<0 C．2b−c<0 D．a−b+c【答案】C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中a（开口方向）、b（对称轴与a共同决定）、c（与y轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax∴a>0．对称轴x=−b2a>0∴−b>0，即b<0．抛物线与y轴交点在负半轴，∴c<0．选项A：a>0，b<0，c<0，∵两负一正相乘得正，∴abc>0，该选项错误．选项B：对称轴x=−b2a，由图象知对称轴x<1，即又a>0，两边乘2a得−b<2a，∴2a+b>0，该选项错误．选项C：当x=−1时，y=a−b+c>0，即4a−4b+4c>0；当x=2时，y=4a+2b+c=0，∴∴2b−c<0，该选项正确．选项D：当x=−1时，y=a−b+c，由图象知x=−1对应的函数值y>0，∴a−b+c>0，该选项错误．故选C．4．（2025·江苏淮安·中考真题）若x2−3x+1+y=0，则2x+y的最大值是【答案】21【分析】本题考查二次函数求最值，根据x2−3x+1+y=0，得到y=−x【详解】解：∵x2∴y=−x∴2x+y=2x−x∴当x=52时，2x+y有最大值为故答案为：2145．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接AC，若AB=6，AC=5，则a的值是．【答案】4【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键．过C作CD⊥x轴于点D，可求CD=4，设出各点坐标A(m,0)，则B(m+6,0)，C(m+3,−4)，重新设抛物线表达式为y=a(x−m)(x−m−6)，代入点C即可求解．【详解】解：过C作CD⊥x轴于点D．由题意可知AD=DB=1∵AC=5，∴由勾股定理得，CD=A设A(m,0)，则B(m+6,0)，C(m+3,−4)，抛物线解析式为y=a(x−m)(x−m−6)，把C(m+3,−4)代入得：−4=a(m+3−m)(m+3−m−6)，解得：a=4故答案为：49考点三二次函数的图像变换1.二次函数图像的平移平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减平移规律：上加下减，左加右减.2.二次函数图像的对称变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变-y关于y轴对称y不变，x变-x关于原点对称x变-x，y变-y1．（2025·上海·中考真题）将函数y=3x2的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为【答案】y=3【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解．【详解】解：∵函数y=3x∴平移后的新函数的解析式为y=3x故答案为：y=3x2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线C：y=x2+4x−10，将抛物线C平移得到抛物线C'，若两条抛物线关于直线A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称，抛物线C与y轴的交点为A(0,−10)，与A点以对称轴对称的点是B(−4,−10)，若将抛物线C平移到C'，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称，则B点平移后坐标应为(2,−10)，因此将抛物线C【详解】解：∵抛物线C：y=x∴抛物线对称轴为x=−2，∴抛物线与y轴的交点为A(0,−10)，则与A点以对称轴x=−2对称的点是B(−4,−10)，若将抛物线C平移到C'，并且C，C'关于直线就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称，则B点平移后坐标应为(2,−10)，因此将抛物线C向右平移6个单位．故选：C．3．（2025·南山区·模拟预测）把二次函数y=ax2+bx+ca＜0的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为y=−ax−1【答案】2【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键．把函数y=−ax−12+4a的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为y=ax+12−4a=ax2+2ax−3a【详解】解：把函数y=−ax−12+4a则b=2a，c=−3a，代入m−1a+b+c≤0得：ma≤2a∵a＜∴m≥2，则m最小值是2，故答案为：2．考点四二次函数与方程、不等式1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线与x轴的交点个数方程根的情况△＞0两个两个不相等的实数根△＝0一个两个相等的实数根△＜0没有交点没有实数根2.二次函数与不等式的关系不等式图像解集抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n1．（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（

）A．y=14x−232C．y=−14x−232−155【答案】D【分析】本题考查了二次函数与x轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键．由在x轴上的点纵坐标为0，故看当y=0时，所得方程是否有实数根即可判断．【详解】解：A．当y=0时，方程14x−232B．当y=0时，方程14x+232C．当y=0时，方程−14x−23D．当y=0时，方程−14x+23故选D．2．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABCA．3 B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得A、B、C三点的坐标，即可求解．【详解】解：当y=0时，x2−4x+3=0，解得x1∴点B3,0，A当x=0时，y=3，∴C0,3∴AB=3−1=2，OC=3，∴S△ABC故选：A．3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数y1=ax2+bx+c与y2=A．x<−1或−1<1或x>2 B．x<−1或x>2C．−1<x<0或1<x<2 D．x<−1或−1<x<0或x>2【答案】C【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当−1<x<0或1<x<2时，函数y1=ax【详解】解：由函数图象可知，当−1<x<0或1<x<2时，函数y1=ax∴y1故选：C．4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数y=x2+2x+2(x≤0)−12x【答案】x=−1或0<x≤2【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围．培养学生的数形结合能力．正确画出函数图像是解题的关键．根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得．【详解】画出函数y=x由图像可以看出当y=1时，x=−1，当y=−2时，x=2，∴当−2≤y≤1时，则x的取值范围为x=−1或0<x≤2．故答案为：x=−1或0<x≤2．命题点一二次函数的相关概念►题型01二次函数中参数的取值范围二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2.忽略二次项系数不能为0的限制条件.【例1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数y=a−2x2−2x+1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（A．a<2 B．a≤3 C．a<3且a≠2 D．a≤3且a≠2【答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x轴的交点问题，先得出a−2≠0，再结合二次函数y=a−2x2−2x+1的图象与【详解】解：∵二次函数y=a−2x2∴a−2≠0，Δ=解得a≤3且a≠2，故选：D．【变式1】（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数y=k−2xk+3x+1表示y是x的二次函数，则【答案】−2【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出k−2≠0，k【详解】解：∵函数y=k−2xk+3x+1表示∴k−2≠0，k解得：k=−2，故答案为：−2．【变式2】（24-25九年级上·四川自贡·月考）已知y=(2−a)xa2−7是二次函数且当x>0时y随x的增大而增大，则【答案】−3【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数y=ax根据题意可得a2−7=2，求出a，再根据【详解】解：∵y=(2−a)x∴a2解得：a=3或a=−3，∵当x>0时y随x的增大而增大，∴2−a>0，则a<2，∴a=−3，故答案为：−3．►题型02待定系数法求函数解析式1）已知抛物线上任意三点坐标，可设2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设【例2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx⋯−3−1035⋯y⋯3−2−307⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）A．图象的开口向下 B．图象与x轴的一个交点坐标为−2,0C．图象的对称轴是直线x=−12 D．当x<12时，【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：由表格可得，a−b+c=−29a+3b+c=0c=−3，解得：∴二次函数解析式为y=1A、∵12∴图象的开口向上，不符合题意；B、当y=0时，12解得：x1=3，∴图象与x轴的一个交点坐标为−2,0，符合题意；C、图象的对称轴是直线x=1D、∵12∴当x<12时，y随故选：B．【变式1】（2026深圳模拟预测）若二次函数y=ax2−bx−1的图象经过点2,1，则【答案】2026【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点2,1代入二次函数解析式，得到关于a和b的方程，化简后求出2a−b的值，再代入所求表达式计算．【详解】解：∵二次函数y=ax2−bx−1∴将x=2，y=1代入得：1=2即1=4a−2b−1，整理得：4a−2b=2，两边同时除以2得：2a−b=1，∴2025+2a−b=2025+1=2026．故答案为：2026．【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点3,0，顶点坐标为1,3，抛物线与y轴交于一点，则该点坐标是．【答案】0,【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键．根据顶点坐标设二次函数解析式为y=ax−12+3【详解】解：抛物线与x轴交于点3,0，顶点坐标为1,3，∴设二次函数解析式为y=ax−1把点3,0代入得，a3−1解得，a=−3∴二次函数解析式为y=−3当x=0时，y=−3∴抛物线与y轴交于一点，则该点坐标是0,9故答案为：0,9【变式3】（2025·广陵区·二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当x=2时，y【答案】3【分析】根据题意可得交点式y=ax−3x+1，然后把0,3代入求出【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点∴抛物线的解析式为y=ax−3把0,3代入得：−3a=3，解得：a=−1，∴函数的解析式为y=−x−3即y=−x∴当x=2时，y=−2故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式4】（2025崇明区二模）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与y=2x乙：顶点在x轴上；丙：对称轴是x请写出这个二次函数解析式的一般式：．【答案】y=2【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为y=ax−h2，且a=2，【详解】解：设函数解析式为y=ax−h2，根据题意得，二次函数解析式是：y=2x+12=2x故答案为：y=2x【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．命题点二二次函数的图像与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质【例3】（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线y=−x2+6x−7A．开口向上 B．对称轴是直线x=−3 C．与y轴的交点坐标是0,7 D．顶点坐标是3,2【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵y=−x∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−62×−1=3，当∴抛物线与y轴的交点坐标是0,−7；当x=3时，y=−3∴顶点坐标是(3,2)；综上：只有选项D正确；故选D．【变式1】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2−2ax+a−3a≠0的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于A．图象的开口向下 B．当x>0时，y的值随x值的增大而增大C．函数的最小值小于−3 D．当x=2时，y<0【答案】D【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.【详解】解：由题意可得：方程ax∴x1解得0<a<3，∴二次项系数a>0，开口向上，故A不符合题意；∵y=ax2−2ax+a−3∴当x>1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；∵当x=1时，y=−3，∴最小值为−3，故C不符合题意；当x=2时，y=4a−4a+a−3=a−3，∵0<a<3，∴此时y<0，故D符合题意；故选：D【变式2】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是−3，顶点坐标为−1,4，则下列说法正确的是（A．二次函数图象的对称轴是直线x=1B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当x<−1时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数y=ax2+bx+c∴二次函数图象的对称轴是直线x=−1，故选项A错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点的横坐标是−3∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=−1，∴当x<−1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为y=ax+1把−3,0代入，得0=a−3+1解得a=−1，∴y=−x+1当x=0时，y=−0+1∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．►题型02比较二次函数函数值大小设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大.【例4】（2025·山东威海·中考真题）已知点−2,y1,3,yA．y1>y2>y3 B．【答案】C【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x−2∴二次函数y=−(x−2)2+c∴离对称轴越近，函数值越大，点−2,y1的横坐标−2与2的距离为−2−2=4；点3,y2的横坐标3与2的距离为3−2=1；点7,y∵1<4<5，∴y2故选C．【变式1】（2025·福建·中考真题）已知点A−2,y1,B1,y2A．1<y1<y2 B．y1【答案】A【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：∵y=3x∴当x=0时，y=1，∴抛物线过点0,1，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−b∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵3<b<4，∴−2∵−2+12=−1∴点A−2,y1到对称轴的距离大于点0,1∴1<y故选：A．【变式2】（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1)，A．当x1<0且y1⋅y2<0C．当x1<0且y1⋅y2>0【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线y=ax2−2ax(a>0)开口向上，顶点为1,−a，与x轴交于0,0【详解】解：∵y=a∴抛物线的开口向上，则对称轴为直线x=−−2a把x=1代入y=ax2−2ax∴顶点为1,−a，∵两点A(x1,y1∴当x1<0且y1⋅y2<0故y2此时0<故A选项的结论正确；当x1<x故x2越大，y即y1故B选项的结论错误；当x1<0且y1此时x2应满足x2<0故C选项的结论错误；当x1>x故x1越大，y即y1故D选项的结论错误；故选：A【变式3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数y=12x(1)若点2,−1在该函数图像上，则m=；(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；(3)若该函数图像上有两个点Am+1,y1、Bm+p,y【答案】(1)2(2)见解析(3)p>1或p<−1【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）将2,−1代入y=12x（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．【详解】（1）解：将2,−1代入y=12x解得m=2，故答案为：2；（2）解：Δ=∵m−12∴m−12∴Δ>0∴该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；（3）解：y=12x∵二次项系数12∴二次函数图像开口向上，∵y1∴点Am+1,y1∴m+1−m<即p>1∴p>1或p<−1．►题型03画二次函数图像【例5】（2025·河南·中考真题）在二次函数y=ax2+bx−2中，xx…−201…y…−2−21…(1)求二次函数的表达式．(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．【答案】(1)y=(2)−1,−3；见解析(3)1+5或【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；（3）分四种情况解答，即可求解．【详解】（1）解：把点−2,−2,a+b−2=14a−2b−2=−2解得：a=1b=2∴二次函数的解析式为y=x（2）解：y=x∴二次函数图象的顶点坐标为−1,−3，对称轴为直线x=−1，∴点1,1关于直线x=−1的对称点为−3,1，画出函数图象，如图，（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为y=x+1−n∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=n−1，当−1<n−1<0，即0<n<1时，最大值在x=3，最小值在x=0，差为：当x=3时，y=4−n2−3，当x=0∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴4−n解得n=5当0≤n−1<32，即当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线x=32左侧时，此时最小值为当x=3时，取得最大值，最大值为3+1−n2∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴n2解得：n=4−5或4+当32≤n−1≤3，即52当x=0时，取得最大值，最大值为1−n2∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴n2解得：n=1+5或1−当平移后抛物线对称轴在直线x=3右侧时，n−1>3，即n>4，最小值在x=3，最大值在x=0，差为：当x=3时，y=4−n2−3，当x=0∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴1−n解得n=10综上所述，n的值为1+5或4−【变式1】（2025·广东佛山·三模）已知二次函数y=mx【特例分析】（1）当m=−2，−1，2时，其图象对应为图中的y1，y2，y3【性质探究】（2）观察图象，发现二次函数y=mx【性质运用】（3）将函数y=mx2−2mx+3图象向下平移4m个单位，若所得图象的顶点落在（4）设点Mm,a，N2,b在该二次函数的图象上，且a<b，实数（5）已知点P12,6−m，Q32【答案】（1）见解析；（2）(0,3)和(2,3)，直线x=1；（3）m的值为−1或35；（4）m<2且m≠0；（5）m<0或0<m≤2或m≥12【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键．（1）当m=1时，y=x（2）因为y=mx2−2mx+3=mx2−2x+3（3）由y=mx2−2mx+3可知抛物线的顶点为1,3−m，由平移可知3−m−4m=0（4）由题意可知a=m3−2m2+3，b=4m−4m+3=3，从而（5）当m>0时，只要当x=32时，y≥32，且当x=12时，y<6−m，即可满足线段PQ与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得0<m≤2；或者当x=32时，y<32，且当x=1【详解】解：（1）当m=1时，y=x（2）∵y=mx2−2mx+3=m则x=0或2，此时y=3，故二次函数y=mx2−2mx+3恒过定点0,3由对称性可知对称轴为直线x=1，故答案为：0,3和2,3，直线x=1；（3）由y=mx2−2mx+3由平移可知3−m−4m当m>0时，解得m=3当m<0时，解得m=−1，综上，m的值为−1或35（4）由题意可知a=m3−2∴a−b=m∵m≠0，∴m2>0即m<2，故答案为：m<2且m≠0，（5）当m>0时，①当x=32时，y≥32，且当x=1即94解得0<m≤2；②当x=32时，y<32，且当x=1即94解得m≥12，当m<0时，当x=12时，y=3−34m因为3−3则3−3∴线段PQ与此函数图象恒有且只有一个公共点，综上所述，m的取值范围为m<0或0<m≤2或m≥12．►题型04函数图像的综合判定解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解.【例6】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数y=x−2n+4，二次函数y=x2+(n−1)x−3，反比例函数y=n+1xA．n>−1 B．n>2 C．−1<n<1 D．1<n<2【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．【详解】解：根据题意得：−2n+4>0−解得：−1<n<1，∴n的取值范围是−1<n<1，故选：C．【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数y=−bx+a的图象如图所示，则反比例函数y=cx和二次函数y=axA． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到a>0，b<0，得到抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可；【详解】解：对于一次函数y=−bx+a，由图象知−b>0，a>0，∴a>0，b<0，对于二次函数y=ax∵a>0，b<0，∴开口向上，对称轴在y轴右边，则排除选项B和C；∵选项A和D中，二次函数y=ax2+bx−c∴−c<0，∴c>0，∴反比例函数y=c∴选项A符合题意，故选：A．【变式2】（2025·安徽合肥·三模）二次函数y=kx2+2kx−k与反比例函数y=kxA． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得k为正数是解题的关键．根据反比例函数图象确定出k是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解．【详解】解：当k>0时，反比例函数图象位于第一、三象限，∵k>0，∴−k<0，二次函数与y轴的交点在y轴负半轴，∵k>0，∴二次函数图象开口向上，∵对称轴为直线x=−2k∴对称轴在y轴左边，观察各选项，只有A选项符合．当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，∵k＜0，∴−k＞0，二次函数与y轴的交点在y轴正半轴，∵k＜0，∴二次函数图象开口向下，∵对称轴为直线x=−2k∴对称轴在y轴左边，观察各选项，没有选项符合．故选：A．【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线y=acx−ab（a，b，c是常数且a≠0，b≠0，c≠0），则二次函数y=ax2+bx+c和反比例函数y=−A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出ac<0，−ab<0，即可确定双曲线y=−ab【详解】∵直线y=acx−ab的函数图象经过二、三、四象限，∴ac<0，−ab<0．∴ab>0，∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=−b2a故选：A．►题型05二次函数图像与各项系数之间的关系1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.6）根据抛物线的对称轴可得−b7）特殊点代入确定a，b，c的关系.当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，.【例7】（2025·四川凉山·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，其对称轴为x=2，且图像经过点6,0A．bc>0B．4a+b=0C．若ax12+bD．若−1,y1,3,【答案】D【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0,c>0，∵对称轴为直线x=−b∴b=−4a>0，∴bc>0，4a+b=0，故选项A，B正确，不符合题意；∵ax12∴ax∴x=x1和x=x∴x1∵抛物线的开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，若−1,y1,∵−1−2>∴y1故选D．【变式1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数y=ax2+bx+c①a；②2a+b；③c；④b2−4ac；⑤【答案】①②⑤【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与y轴的交点位置可判断③，根据图象与x【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，符合题意；②∵抛物线的对称轴是直线x=−b2a，且∴−b>2a，∴2a+b<0，符合题意；③∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，不符合题意；④∵图象与x轴有2个交点，∴b2⑤∵x=−1时，y<0，∴a−b+c<故答案为：①②⑤．【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A3,0、B−1,0，与y①a−c>0；②方程ax2+bx+c−5=0没有实数根；③−其中错误的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为−b2a=3−12=1，a>0，则b=−2a，当【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A∴对称轴直线为−b2a=∴b=−2a，当x=−1时，y=a−b+c=0，∴a−−2a+c=0，即∴c=−3a，∴a−c=a−−3a图象开口向上，对称轴直线为x=1，∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，∴抛物线y=ax2+bx+c∴方程ax∵二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点C∴当x=0，y=c=m，∴−4<c<−3，∵c=−3a,b=−2a，∴c=3∴−4<3解得，−8当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0，b=−2a，∴b−a=−2a−a=−3a<0，∴a+b+cb−a综上所述，正确的有①③④，错误的有②，∴错误的有1个，故选：A．【变式3】（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与y轴的交点位于x轴下方，且x=−1时，y>0A．2a=b B．b2−4ac<0 C．a−2b+4c<0 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得−b2a=1，即b=−2a，据此可判断A；根据题意可得当x=0时，y<0，再由当x=−1时，y>0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，据此可判断B；当x=2时，y=4a+2b+c>0，再由b=−2a，即可判断D；根据抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，当x=−12【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c∴−b∴b=−2a，故A选项中原结论错误，不符合题意；∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，∴当x=0时，y<0，∵当x=−1时，y>0，∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax∴b2∵当x=0时，y<0，且当x=−1时，y>0，∴抛物线开口向上，∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，∴当x=−2时，y=4a−2b+c>0，∴4a−2−2a+c>0，即当x=−12时，∵抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，∴当x=−12时，14∴a−2b+4c<0不一定成立，故C选项不正确，不符合题意；故选：D．【变式4】（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c均为常数）与x轴交于点A(−3,0)和点B(m,0)，且0<m<1，抛物线与y轴的正半轴的交点C在(0,3)的下方，则下列结论：①4a−2b+c>0；②3a<b<0；③3a+c>0；④3a−b+1>0【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a，b，c所满足的关系是解题的关键．根据抛物线与x轴的交点A(−3,0)和点B(m,0)，且0<m<1，以及与y轴交点在0,3下方，利用根与系数的关系确定a，b，c的符号和关系，逐一分析各结论．【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A(−3,0)和点B(m,0)，∴−3和m是方程ax根据根与系数的关系有：−3+m=−ba，∵抛物线与y轴正半轴交于点C且在0,3下方，∴c>0且c<3，由c=−3am>0且m>0，得a<0，b=a3−m∵a<0且3−m>2，∴b<0，①4a−2b+c=4a−2a∵a<0，2+m>0，∴−a2+m>0，故②b=a3−m，∵a<0，m>0，∴3a<b，∵b<0，∴3a<b<0，故②正确；③3a+c=3a−3am=3a∵a<0，1−m>0，∴3a1−m<0，故④3a−b+1=3a−a由c=−3am<3得−am<1，即am>−1，∴am+1>0，故④正确；故答案为①②④．►题型06二次函数的对称1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=−b2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x=x13）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）【例8】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−2(1)求ba(2)已知二次函数y=ax2+bx−2①求该二次函数的表达式；②若Mx1,m,Nx【答案】(1)−3(2)①y=−x【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为1−3②先根据二次函数的对称性求出x1+x【详解】（1）解：二次函数y=ax2+bx−2因为点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上，所以2−−所以−b所以ba（2）①由（1）可得，b=−3a，所以该函数的表达式为y=ax函数图象的顶点坐标为32因为函数的最大值为1−3所以a<0，且−9解得a=−1，或a=4（舍去）．所以该二次函数的表达式为y=−x②因为点Mx1,m所以m=−x由①知，点Mx1,m,Nx则x2−3所以x=====0，所以x1【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线y=ax−122+b(a>0)交x轴于点A(m,0),B(n,0)，若−1<m<0A．−32<n<−12 B．−1【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=12，则点A与点B关于直线x=12对称，然后根据点A在(−1,0)与(0,0)之间可判断点B在(1,0)与【详解】解：∵抛物线y=ax−12而抛物线交x轴于点A(m,0),B(n,0)，∴点A与点B关于直线x=1∵−1<m<0，即点A在(−1,0)与(0,0)之间，∴点B在(1,0)与(2,0)之间，∴1<n<2，故选：C．【变式2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线y=ax2+bx+ca<0上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=t．当x1=−1，x【答案】1t≤2【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出Mx1,【详解】解：∵对于x1=−1，x2∴a−b+c=9a+3b+c，∴8a+4b=0，∴b=−2a，∴t=−b∵x∴x1∵a<0，∴抛物线开口向下，∵若x1>x2，对于∴Mx1,则Mx1,∴x1即t≤2，故答案为：1；t≤2．【变式3】（2025·河北张家口·二模）如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，则AB=（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解AB的长度是解决本题的关键．分别求出MP，NQ和MQ的长度，再根据抛物线的对称性即可求解．【详解】解：因为MN=3，NP=1，PQ=5，由图可知MP=MN+NP=3+1=4，NQ=PQ+NP=5+1=6，MQ=MN+NP+PQ=3+1+5=9，因为两条抛物线的顶点A，B都在直线l2根据抛物线的对称性可知AB=MQ−1故选：B．►题型07二次函数的最值问题类型一自变量x在实数范围内时求最值【例9】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数y=x2+x+1【答案】34【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解．【详解】解：y=x当x=−12时，二次函数y=x故答案为：34【变式1】（2025·四川南充·一模）二次函数y=−x【答案】1【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，二次函数y=−x【详解】解：由二次函数y=−x2+4x−3可得，a=−1，b=4顶点横坐标为x=−b将x=2代入函数解析式，得y=−2故答案为：1．【变式2】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…−4−2024…x…*20−2−4…y的最小值…*−9−3−5−15…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式y=x（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．【答案】（1）①y=x2−8x−7；②当x=4时，y有最小值为【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把a=−4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；（3）将一般式转化为顶点式，表示出y的最大值，再利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）①把a=−4代入y=xy=x∴y=x②∵y=x∴当x=4时，y有最小值为−23；（2）∵y=x∵抛物线的开口向上，∴当x=−a时，y有最小值；∴甲的说法合理；（3）正确；∵y=x∴当x=−a时，y有最小值为−a即：ymin∴当a=12时，ymin类型二自变量在特定范围内的时求最值【例10】（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数y1=x2−2x，y2=−x2+4x−3，当1≤x≤4时，函数y【答案】−4【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当1≤x≤4时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案．【详解】解：∵二次函数y1∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∵1≤x≤4，∴当x=1时，函数值最小，m=1∵二次函数y2∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，∵1≤x≤4，∴当x=4时，函数值最小，n=−4∴m+n=−1+−3故答案为：−4．【变式1】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数y=x2−2x+k，当−1≤x≤4时，y的最大值为9，则k【答案】1【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在−1≤x≤4内，当−1≤x<1时，y随x的增大而减小；当1<x≤4时，y随x的增大而增大，则可得当x=4时，y取得最大值，由此即可得．【详解】解：将二次函数y=x2−2x+k化成顶点式为y=∴抛物线开口向上，在−1≤x≤4内，当−1≤x<1时，y随x的增大而减小；当1<x≤4时，y随x的增大而增大，∵x=4离二次函数的对称轴比x=−1离二次函数的对称轴更远，∴当x=4时，y取得最大值，最大值为4−12又∵当−1≤x≤4时，y的最大值为9，∴k+8=9，解得k=1，故答案为：1．类型三建立函数关系求最值【例11】（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，A4,3，⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B6,0作⊙P的切线，切点为Q，则OA=，切线长BQ的最小值为【答案】53【分析】通过两点间距离公式求出OA的长度．求出OA的解析式为y=34x．设点Px,y，利用等积法求出点P在直线【详解】解：∵在平面直角坐标系中，A4,3，O∴AO=3−0设⊙P与y轴相切于点C，射线PC交OA于点D，作DF⊥x轴于点F，则四边形OCDF是矩形，连接PE,PQ,PB,OP，∵⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，∴PC⊥y轴，设射线OA的解析式为y=kx，把A4,33=4k，∴k=3∴射线OA的解析式为y=3设点Px,y，则OC=y,CP=PE=PQ=x，∴OD=O∵S∴1整理得，y=2x，即点P在直线y=2x上，连接PB，∵过点B6,0作⊙P的切线，切点为Q∴PQ⊥BQ，∴BQ∵4>0，∴当x=32时，BQ即当x=32时，切线长BQ的最小值为故答案为：5，3【点睛】本题考查了两点间距离公式，切线的性质，勾股定理，一次函数解析式的求法，二次函数最值的求法，求出圆心所在直线解析式是关键．【变式1】（2025·四川广元·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E为BC中点，连接AE、DE，F为AE上的动点，连接DF，G为DF的中点，连接BG，则BG的最小值是．【答案】24【分析】本题主要考查动点最值问题，中点公式，两点间距离公式，适当建系是解题的关键．根据题意，以B为原点建立坐标系，利用待定系数法得到直线AE的解析式，接着可设Fx,−43【详解】如图：以B为原点建立坐标系，则B0,0，A0,4，E3,0设直线AE的解析式为y=kx+b，∴b=43k+b=0，解得所以直线AE的解析式为y=−4则可设F∵G为DF的中点，∴Gx+62,∴BG===25则当x=4225时，BG取得最小值，最小值为故答案为：245【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点A3,0中，点B是x轴上一动点，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转90°，得到线段BC，连接AC，则线段AC的最小值为【答案】322【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键．设Ba,0，则Ca,−a，根据勾股定理得【详解】设Ba,0，则C由题知BC⊥AB，AB=3−a∴AC=A∵2a∴a=32时，AC取得最小值故答案为：32类型四含参最值问题【例12】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点A(2−t,k)，B(t,k)是抛物线y=x2+bx+c上不同的两点，当0≤x≤m时，y的取值范围是c−1≤y≤c，则m【答案】1≤m≤2【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围．先根据点A、B纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合y的取值范围，求出对应x的值，进而确定m的范围．【详解】解：∵点A(2−t,k)、B(t,k)在抛物线上且纵坐标相同，∴抛物线对称轴为x=(2−t)+t2=1，即−∴抛物线为y=x2−2x+c=(x−1)2当y=c时，x2−2x+c=c，解得x=0或∵当0≤x≤m时，y的取值范围是c−1≤y≤c，∴m需满足1≤m≤2．故答案为：1≤m≤2．【变式1】（2025曾都区二模）已知二次函数y=−2x−h2+9，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h【答案】0或7/7或0【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为x=h，最大值为9，再分3种情况讨论：①h<2；②2≤h≤5；③h>5，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值．【详解】解：∵二次函数y=−2x−h∴二次函数图象开口向下，对称轴为x=h，最大值为9，①若h<2，当2≤x≤5时，y随着x的增大而减小，∴当x=2时，y取得最大值1，∴−22−h解得h=0或h=4（舍去）；②若2≤h≤5，当x=h时，y取得最大值9，不符合题意，舍去；③若h>5，当2≤x≤5时，y随着x的增大而增大，∴当x=5时，y取得最大值1，∴−25−h解得h=7或h=3（舍去）；∴综上所述，常数h的值是0或7．故答案为：0或7．【变式2】（2025·安徽·模拟预测）已知y=ax①若此二次函数图像开口向下，则a值为②在①条件下，若0≤x≤m时，满足−2≤y≤2，则m的值为【答案】−13【分析】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值．①根据题意得出a2−a=2且②根据题意得出当x=1时，ymax=2，当x=m时，【详解】解：∵y=ax∴a2∴a2解得：a=2或a=−1，①若此二次函数图像开口向下，则a<0，∴a=−1．故答案为：−1．②根据①知y=−x∴当x=1时，ymax当x=0时，y=1，∵当0≤x≤m时，满足−2≤y≤2，∴当x=m时，y=−2，∴−m解得：m=3或m=−1（舍去），故答案为：3．【变式3】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数y=ax2+bx−3（a，b为常数，a≠0(1)求二次函数的表达式；(2)若0≤x≤m时，−4≤y≤−3，求m的取值范围；(3)若n−1≤x<n时，y的最大值为3−2n，求n的值．【答案】(1)y=(2)0≤m≤2(3)−1【分析】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题．(1)利用待定系数法求解析式；(2)通过分析函数图像和不等式确定m的范围；(3)通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值．【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx−3∴代入得：a×−1即a−b−3=09a+3b−3=0解得a=1b=−2∴二次函数的表达式为y=x（2）解：∵y=x∴函数最小值为−4，且当x=0时，y=−3，当x=2时，y=−3．∵0≤x≤m时，−4≤y≤−3，且y≥−4恒成立，∴只需y≤−3，即x2即xx−2∴0≤x≤2，∴m≤2，又∵m≥0，∴m的取值范围为0≤m≤2．（3）解：∵y=x∵n−1≤x<n，当n≤1时，函数在区间上递减，最大值在x=n−1处，∴y=n−1设最大值为3−2n，∴n2即n2解得n=3或n=−1，∵n≤1，∴n=−1；当1<n≤32时，函数的最大值在x=n−1处，同理解得n=3或当32当n−1≥1时，即n≥2，函数在n−1≤x<n递增，函数的最大值不存在，综上，n=−1．►题型08二次函数图像与性质综合【例13】（2025·福建·中考真题）若关于x的函数y，当t−1≤x≤t+1时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=M−N2，我们不妨把函数h称之为函数(1)①若函数y=2025x，当t=2时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”，h的解析式；(2)记函数y=−x2+4x−k的最大值为P，请问是否存在实数k，使得函数y的“共同体函数”h的最小值等于P【答案】(1)①h=2025；②h=k(2)存在，k=【分析】（1）①t=2时，1≤x≤3，利用y=2025x的性质求解最大值和最小值，即可得解；②按照k>0和k<0分类讨论，利用y=kx+b的性质求解最大值和最小值，即可求解；（2）分t≤1、1<t≤2、2<t<3、t≥3四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解.【详解】（1）解：①t=2时，1≤x≤3，∵y=2025x，∴y随x的增大而增大，∴x=1时，N=2025，x=3时，M=3×2025=6075，∴h=M−N②∵y=kx+b，t−1≤x≤t+1，∴当k>0时，y随x的增大而增大，x=t−1时，N=kt−1+b，x=t+1时，∴h=M−N当k<0时，y随x的增大而减小，∴x=t−1时，M=kt−1+b，x=t+1时，∴h=−k，综上，h=k（2）解：∵y=−x∴x=2时，P=y①当t+1≤2即t≤1时，∵t−1≤x≤t+1≤2，∴x=t+1时，M=−t−1x=t−1时，N=−t−3∴h=M−N∴t=1时，hmin②当t−1≥2即t≥3时，∵2≤t−1≤x≤t+1，∴x=t−1时，M=−t−3x=t+1时，N=−t−1∴h=M−N∴t=3时，hmin③当1<t≤2时，x=2，M=4−k，x=t−1时，N=−t−3∴h=1∴t=2时，hmin④当2<t<3时，x=2时，M=4−k，x=t+1时，N=−t−1∴h=1∴12∵2>1∴最小值为12∴P=4−k=1∴k=7【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，t的取值范围的取舍．【变式】（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M2,−3在抛物线y=(1)求抛物线的顶点坐标；(2)点Na,b在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b(3)把直线y=x向下平移nn>0个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n【答案】(1)抛物线的顶点坐标为1,−4(2)−4≤b<21(3)3<n<【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）把点M2,−3（2）根据点N到y轴的距离小于4，得到−4<a<4，根据二次函数的增减性，进行求解即可；（3）由题意，得到平移后的直线的解析式为y=x−n，联立两个解析式，得到x2−3x+n−3=0，根据直线与抛物线有2个交点，得到【详解】（1）解：把M2,−3代入抛物线y=x解得m=3．∴y=x∴抛物线的顶点坐标为1,−4．（2）∵y=x∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵点Na,b在抛物线上，点N到y∴−4<a<4，∴当a=1时，b最小为−4，当a=−4时，b最大为−4−12∴−4≤b<21；（3）∵直线y=x向下平移nn>0∴平移后直线解析式为y=x−n．由y=x−n,y=x2−2x−3,得∵直线y=x−n与抛物线有两个交点，∴方程x2∴Δ=9−4解得n<21又当n=3时，x2解得x1∴直线y=x−3与抛物线的两个交点为0,−3,∴n的取值范围为3<n<21【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=−12x2+mx+33mm≠0图象的顶点为A(1)若该函数图象经过点0,3，求点A(2)若m<3，点P2,y1和Q(3)若△ABC是等腰三角形，求m的值．【答案】(1)点A的横坐标为3(2)证明见解析(3)m=23【分析】（1）把0,3代入y=−12（2）先求解y1=−2+2m+33m，y（3）先求解B0,33m，Am,m22+【详解】（1）解：∵二次函数y=−12x∴33解得：m=3，∴二次函数为y=−1∴xA∴点A的横坐标为3.（2）解：∵点P2,y1和Q∴y1=−2+2m+3∵m<3，y=−2m−3∴y1（3）解：在函数y=−1当x=0时，y=3∴B0,∵y=−12x2+mx+3∴Am,m2∴AB2=m2当AB=AC时，则m2解得：m=0（舍去），m=2当AB=BC时，则m2解得：m=0（舍去），m=±2当m=−233时，∴A−233当AC=BC时，则m2解得：m=0（舍去），m=233综上：m=233【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用．【变式4】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bxa<0与正比例函数y=kx的图象都经过点A3,3，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C(1)若点A为该二次函数的顶点，①求二次函数的表达式；②求线段PC长度的最大值；(2)若该二次函数与x轴的一个交点为Bm,0，且m>4，求a【答案】(1)①y=−13x2+2x(2)−1<a<0．【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键．（1）①利用待定系数法即可求解；②正比例函数表达式为y=x，设OD=t0≤t≤3，则CD=t，PD=−13（2）令ax2+bx=0，解得x1=0，x2=−ba，又二次函数与x轴的一交点为B【详解】（1）解：①∵A3,3∴9a+3b=3−解得a=−1∴二次函数表达式为y=−1②因为正比例函数y=kx经过点A3,3∴3k=3，∴k=1，∴正比例函数表达式为y=x，设OD=t0≤t≤3，则CD=t，PD=−∴PC=PD−CD=−=−=−1∴当t=32时，线段PC的长度取得最大值（2）解：∵二次函数y=ax2+bx∴9a+3b=3，即b=1−3a，令ax解得x1=0，∵二次函数与x轴的一个交点为Bm,0，m>4∴m=−b∴−b∵a<0，∴b>−4a，∴1−3a>−4a，a>−1，∴a的取值范围是−1<a<0．►题型09与二次函数图像与性质有关的新定义问题【例14】（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数y=x2−2x+2的图象绕x轴上一点A旋转180°，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点A【答案】(18【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程．先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为−1，设旋转后的图象解析式为y=−(x−a)2−1，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数y=−(x−a)2【详解】解：∵y=x∴顶点坐标为(1,1)，∴当旋转后的图象顶点纵坐标为−1，设将函数y=x2−2x+2的图象绕x轴上一点A旋转即旋转后的图象解析式为y=−(x−a)∵横、纵坐标相等的点在函数y=x的图象上，∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数y=−(x−a)2−1∴关于x的方程x=−(x−a)∴x2∴Δ=(−2a+1)解得，a=−3即旋转后的图象顶点坐标为(−3∴点A的坐标为(1−3故答案为：(1【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点Am,n，点A1−m,−n都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为A,A1．规定：A,A1与A1,A为同一组“奇对称点对”．例如：点B1,2和点B1−1,−2①点A1,1，点A1−1,−1，则点A和点A1为二次函数y=x2+x−1的一组“奇对称点对”；②反比例函数y=1x有无数组“奇对称点对”；③点C1,2，点C1−1,−2，若C,C1为函数y=ax2+bx−1的一组“奇对称点对”，则a=2，b=2；④由函数y=−x【答案】①②④【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点A1,1，点A1−1,−1都在二次函数y=x2+x−1上，可判断①；由B(a,1a)，B1(−a,−1a)都在反比例函数y=1x上，结合a的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设C和C1是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C【详解】解：①将x=1代入y=x2+x−1将x=−1代入y=x2+x−1可知点A1,1，点A1−1,−1那么点A和点A1为二次函数y=②当x=a(a≠0)代入y=1x，得到当x=−a代入y=1x，可得∴B(a,1a)，B∴B(a,1a)，B∵a可以取无数个不为0的数，∴反比例函数y=1③∵点C1,2，点C1−1,−2，C,∴点C1,2，点C1−1,−2∴2=a+b−1∴a=1∴③错误；④不妨设C和C1是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在假设C(m,−m)在y=−x上，那么C1(−m,m)在将C1(−m,m)代入y=−x∴m∵y=−x∴当x≥0时，m2+3m+k=0有两个不同的实数根∴32−4k>0∴k<94，∴0<k<9∴④正确；故答案为：①②④．【变式2】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图