阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10阶段检测验收卷第四章三角形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（本题3分）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（

）A．中 B．国 C．之 D．都【答案】C【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：Z字两端是对面即可解答．【详解】解：与“钒”字相对面上的字是：之，故选：C．2．（本题3分）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】D【分析】本题考查平行线的判定和性质．过点C作CM∥AB，得到CM∥DE，推出∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°，即可求出∠BCM+∠ECM=110°．【详解】解：过点C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥DE，∴∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°，∴∠BCM+∠ECM=30°+80°=110°．故选：D．3．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A=42°，则∠CBD的度数为（A．21° B．27° C．30° D．34.5°【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而求出∠ABD的度数，最后通过∠【详解】解：∵AB=AC，∠A=42°∴∠ABC=由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∴∠CBD=故选：B．4．（本题3分）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACD=∠CDE是解题的关键．由等腰直角三角形的性质得∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，由AB∥DE，得∠ACD=∠CDE，而∠1=20°，则20°+45°=∠2+45°，所以∠2=20°，于是得到问题的答案．【详解】解：如图，∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，∴DF=EF，DH=CH，∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，∵AB∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠1+∠HDC=∠2+∠FDE，∵∠1=20°，∴20°+45°=∠2+45°，∴∠2=20°，故选：B．5．（本题3分）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：A→C→B，路程为l甲乙：A→D→E→F→B，路程为l乙丙：A→G→H→B，路程为l丙下列关系正确的是（

）A．l甲>l乙>l丙 B．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设AB的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．设AB=a，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为2a，分析四边形ABHG，得出丙的路程小于2a，比较得出l甲【详解】设AB的长度为a，因为△ABC有两个角是60°，故是等边三角形，∴l甲由于△ADE和△EFB是等边三角形，设△ADE的边长为m，可得AD=DE=AE=m，∴l乙丙路程中，延长AG与BH，交于点I（如图），∵GI+HI>GH，两边同加AG+BH得，AG+GI+BH+HI>AG+GH+BH∴AI+BI>AG+GH+BH，又AB=AI=BI=a∴2a>AG+GH+BH，又l丙因此，l甲故选：D．6．（本题3分）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则EFCG的值为（

A．14 B．12 C．22【答案】D【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.根据折叠得出AG=GO，EF∥BD，利用相似三角形的判定和性质得出【详解】解：∵正方形ABCD沿EF折叠，∴AG=GO，EF∥∴△AEF∽△ABD，∴EFBD∴EF=1∵正方形ABCD，∴AC=BD，∴EFCG故选：D.7．（本题3分）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在CA．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂点为F，由勾股定理得到OD=1.2m，进而得出OF=2.5m，证明△BOD≌△OCEAAS，得到OE=BD=1.6【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂点为F，由题意可知，OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3∴OD=O∴OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5m∵∠ODB=∠OEC=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°，∵∠BOC=90°，∴∠BOD+∠COE=90°，∴∠OBD=∠COE，在△BOD和△OCE中，∠ODB=∠CEO∠OBD=∠COE∴△BOD≌△OCEAAS∴OE=BD=1.6m∴EF=OF−OE=2.5−1.6=0.9m即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m故选：A．8．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4，CE=3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（

A．52 B．125 C．2 【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接EG，可证△GMC≌△DMAASA，可得CG=AD=4，GM=DM，再根据平行线的性质得∠GCE=90°【详解】解：如图，过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接∴∠GCM=∠A，∵点M是AC的中点，∴CM=AM，又∵∠GMC=∠DMA，∴△GMC≌△DMAASA∴CG=AD=4，GM=DM，∵CG∥AD，∴∠GCE=180°−∠C=90°，∵CE=3，∴GE=C∵GM=DM，点N是DE的中点，∴MN是△DEG中位线，∴MN=1故选：A．9．（本题3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠B=57°，∠C=38°，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕AD交BC于点D；再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F．下列结论成立的是（

）A．DG=EG B．GE⊥AEC．∠DAE=42° D．DE=2GF【答案】A【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解∠AEG的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项．【详解】解：C选项，在△ABC中，∠B=57°，∠C=38°，∴∠BAC=180°−57°−38°=85°，∵△ADE是由△ABD翻折得到，∴∠DAE=∠DAB=85°A选项，∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，∴∠AED=∠B=57°，∴∠ADE=∠ADB=180°−57°−42.5°=80.5°，∴∠EDG=180°−∠ADE−∠ADB=180°−80.5°×2=19°，∵△EFG是由△EFC翻折得到，∴∠EGF=∠C=38°，∴∠EGD=180°−∠EGF=180°−38°=142°，在△EGD中，∠DEG=180°−142°−19°=19°，∵∠EDG=∠DEG=19°，∴DG=EG，故A选项正确；B选项，∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，即∠AEG=76°，∴GE与AE不垂直，故B错误；D选项，过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，假设DE=2GF，∵△EFG是由△EFC翻折得到，∴∠EFC=∠EFG=90°，∵DG=EG，∴△DGE为等腰三角形，∵GM⊥DE，∴DM=EM，即DE=2EM，∴GF=EM，在Rt△EMG中，sin在Rt△EFG中，sin∵sin19°≠∴MG≠EF，又∵EM=E故选：A．10．（本题3分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D,E,F，使AD=BE=CF．若AB=4,AD=x，ΔDEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定△DEF是等边三角形，作垂线利用面积公式求出△ABC和△BDE的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=AC，∵AD=BE=CF∴AB−AD=BC−BE=AC−CF，即BD=CE=AF，∴△ADF≌△BED≌△CFESAS∴DE=EF=DF，过点A作AG⊥BC于G点，则∠AGB=90°，∴∠BAG=30°∴BG=1∴AG=A∴S△ABC过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∴BH=1∴DH=B∴S△BDE∴y==43==334∴y关于x的函数图象开口向上，当x=0时y=43，当x=4时y=43，当x=2时y的最小值为∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，故选：B填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（本题3分）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为．【答案】7【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，3+3<7，不能构成三角形，不符合题意；当7为腰长时，第三边长为7，3+7>7，能构成三角形，符合题意；故第三边长为7；故答案为：7．12．（本题3分）如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则【答案】21【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点F作FG⊥AC于点G，由tanC=FGCG=43，设FG=4x，则CG=3x，结合CF=5，求出FG=4，CG=3，由翻折得AC=AE，设AC=AE=y，则AG=AC−CG=y−3，【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，∴tanC=设FG=4x，则CG=3x，∴CF=C得x=1，则FG=4，CG=3，由翻折得AC=AE，设AC=AE=y，则AG=AC−CG=y−3，AF=AE−EF=y−2，在Rt△AFG中，A即y−22解得：y=21即AC=21故答案为：21213．（本题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A−3,3，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB−OC=【答案】6【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，连接BC，证明△ABE≌△ACFASA，得到BE=CF【详解】解：作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，连接BC，如图，∵A−3,3∴AE=AF=3，∠FAE=90°，∴四边形AEOF为正方形，∴OE=OF=3，又∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC=90°，即∠BAE=∠FAC，在△ABE和△ACF中，∠AEB=∠AFCAE=AF∴△ABE≌△ACFASA∴BE=CF，∵BE=OB−OE，CF=OC+OF，∴OB−OE=OC+OF，∴OB−OC=OF+OE=3+3=6．故答案为：6．14．（本题3分）在△ABC中，∠A=80°，点D在射线AB上，AD=AC，连接CD，∠BCD=10∘，则∠ABC=【答案】40或60【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．根据题意分两种情况，当点D在射线AB上时，当点D在线段AB上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ADC=50°，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：当点D在射线AB上时，如图所示：∵AD=AC，∠A=80°，∴∠ACD=∠ADC=50°，∵点D在射线AB上，且在点B之外，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD，即50°=∠ACB+10°，∴∠ACB=40°，∴∠ABC=180°−80°−40°=60°；当点D在线段AB上时，如图所示：∵AD=AC，∠A=80°，∴∠ACD=∠ADC=50°，∵点D在线段AB上，且在点B之内，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°，∴∠ABC=180°−80°−60°=40°；故答案为：40或60．15．（本题3分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+13BM【答案】5【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出MG=1在BC上取点G，使CG=1，构造出△MCG∽△BCM，得MG=13BM，再根据两点之间线段最短得出即当M在AG【详解】解：在BC上取点G，使CG=1，又∵BC=9，CM=3，∴CGCM又∵∠MCG=∠MCB，∴△MCG∽△BCM，∴MGBM∴MG=1∴AM+1∵AG=A∴AM+1即当M在AG上时，AM+13BM故答案为52三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题7分）如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D(1)求∠BCD的度数；(2)若BC=2.5，求AD的长．【答案】(1)36°(2)AD=2.5【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可.（1）由题意得∠ACB=∠B=72°，根据CD是∠ACB的角平分线即可求解；（2）求出∠BDC=180°−∠B−∠BCD=72°，得到CD=CB；求出∠A=∠BDC−∠ACD=72°−36°=36°．∠A=∠ACD．推出AD=CD．即可求解；【详解】（1）解：∵AB=AC,∠B=72°，∴∠ACB=∠B=72°．由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，∴∠BCD=∠ACD=12（2）解：在△BCD中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°−∠B−∠BCD=72°，∴∠BDC=∠B，∴CD=CB，在△ACD中，∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°，∴∠A=∠BDC−∠ACD=72°−36°=36°．∴∠A=∠ACD．∴AD=CD．∴AD=BC．∵BC=2.5，∴AD=2.5．17．（本题8分）如图，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D．(1)求证：△ACD∽(2)当AB=4时，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)2+2【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键：（1）根据作图可知∠DAC=∠B，结合∠C=∠C，即可得证；（2）等边对等角求出∠B,∠C的度数，根据∠DAC=∠B，推出AB=BD，根据△ACD∽△BCA，得到CDAC=AC【详解】（1）证明：由作图可知，∠DAC=∠B．又∵∠C=∠C，∴△ACD∽（2）解：∵∠BAC=108°，AB=AC，∴∠B=∠C=36°．由（1）得∠DAC=∠B=36°．∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=72°．∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=72°，∴∠ADB=∠BAD，∴BD=AB=AC．由（1）知△ACD∽∴CDAC∵BD=AC且CD=BC−BD，∴BC−BDBD∴BCBC−BD∵BD=AB=4，设BC=x，则x(x−4)=42，即解得x=2+25或x=2−2∴BC的长为2+2518．（本题8分）如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A，B之间的距离为40km，灯塔P在AB的中点处．轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行．当甲航行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离AC．（参考数据：3【答案】7.3【分析】延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H．设AC=BD=xkm，根据题意可得20【详解】解：如图，延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H．由题意得，∠E=90°，∠PFA=90°，∠HBD=90°，∵A，B之间的距离为40km，P在AB∴AP=PB=20km∵Rt△APF中，∠A=30°∴PF=12AP=10∵PF∥DE，P为AB中点，∴AFFE∴F为AE的中点，即AE=2AF=203km，设AC=BD=xkm，∵AC∥BH，∴∠A=∠PBH，在△APC和△BHP中，∠A=∠PBH∠APC=∠BPH∴△APC≌△BPH(AAS∴AC=BH，∴BD=BH，∴∠HDB=∠BHD=45°，∴∠ECD=90°−45°=45°,∴∠ECD=∠HDB,∴CE=ED，∴203解得x=103答：甲航行的距离AC约为7.3km【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．19．（本题9分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1．(1)若△ABD是等腰三角形，则BD=_______；(2)已知OB=OD，AC=BD．①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；②如图，在△ACD中，CD2=A【答案】(1)2(2)①四边形ABCD是矩形，理由见解析；②7【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB=2，AD=1，分别讨论：当BD=AB=2时和当BD=AD=1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；（2）①利用OA=OC，OB=OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC=BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2=AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE=DA=1，AO=EO，利用勾股定理求出【详解】（1）解：∵△ABD是等腰三角形，AB=2，AD=1，∴当BD=AB=2时，此时满足三角形三边关系，符合题意；当BD=AD=1时，1+1=2，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；综上，BD=2，故答案为：2；（2）解：①四边形ABCD是矩形，理由如下：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，∵CD∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°，∴∠DAO=∠BEO=90°，在△AOD和△EOB中，∠DAO=∠BEO=90°∠AOD=∠EOB∴△AOD≌△EOB，∴BE=DA=1，AO=EO，∴在Rt△ABE中，AE=∴AO=EO=1∴在Rt△AOD中，OD=∴BD=2OD=7∴AC=BD=7【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．20．（本题9分）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)请补全上表中的勾股数．(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m【答案】(1)24(2)a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m2+(3)280【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a=10，b，c=26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得证明；（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令a=10，b，c=26，则由勾股数定义可知a2即102∴b解得b=24或b=−24（舍去）；故答案为：24．（2）解：由题意，a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m2+∵a=k(m2−n2∴a2b2c2∵a∴a（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：设AC<BC，即直角三角形中最短边为AC，∵仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m，三角形最短边种21∴AC=20m由题意可知，BC最小为21m那么AB=A那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)×4=280株花．【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．21．（本题10分）问题提出已知∠α，∠β都是锐角，tanα=12，tan问题解决（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）策略迁移（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα=23，tanβ=3（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα=13，tanβ=1（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）【答案】（1）45°；（2）90；（3）tanθ=【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题．（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解；（2）构造等腰直角三角形ABC可得结论；（3）构造直角三角形DGF可得结论．【详解】解：（1）如图1中，连接BC，∵AB=BC=12+2∴AB∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴∠α+∠β=45°；（2）如图中，连接BC，由题意，tanα=tan∠BAD=∵AB=AC=22+∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∴∠α+∠β=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，故答案为：90；（3）如图中，由题意知，tanα=tan∠GDH=∴∠α=∠GDH,∠β=∠HDF，∵∠α+∠β=∠θ，∴∠θ=∠GDH+∠HDF=∠GDF，∵DG=22+62∴DG∴△DGF是直角三角形，tanθ=22．（本题11分）

（1）探索发现东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，折叠△ABC，使AC边落在AB边上，折痕为AD，则BD、CD与∠BAC的两边AB、AC存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断ABAC与（2）猜想验证项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．（3）拓展应用如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为BC延长线上一点，AE=DE．求证：BDCD【答案】（1）ABAC【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．（1）根据折叠的性质可得，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，进一步得AD=BD，再根据∠ABC=∠CAD=30°，∠BCA=∠ACD=90°（2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论；（3）先通过倒角证出△ABE∽△CAE，再通过线段的比例式即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．由折叠可得，∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC=60°，∠ABC=∠BAD=30°，∴AD=BD．∵∠ABC=∠CAD=30°，∠BCA=∠ACD=90°，∴△ABC∽△DAC，∴ABDA=∴ABAC故答案为：ABAC（2）方案①：证明：∵DE∥AC，∴∠2=∠ADE，BDCD∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADE．∴AE=DE．∴BDCD=∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BCA，∴BEDE∴ABAC方案②：证明：∵CE∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠ACE．∵∠1=∠2，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC．

∵CE∥AD，

∴BDCD即ABAC方案③证明：∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠AFC=∠CFD=∠BED=90°．∵∠1=∠2，∴△ABE∽△ACF，∴ABAC∵∠BDE=∠CDF，

∴△BDE∽△CDF，

∴BECF∴ABAC（3）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，ABAC∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE．∴∠B+∠1=∠2+∠CAE．∴∠B=∠CAE．

又∵∠AEC=∠BEA，

∴△ABE∽△CAE．∴ABAC∴BDCD又∵AE=DE，∴BDCD23．（本题13分