重难点02 与方程、不等式（组）有关的9种含参问题（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第二章方程与不等式重难点02与方程、不等式（组）有关的9种含参问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 9固·重难考点拓·创新能力重难点一与方程（组）有关的含参问题与方程（组）有关的含参问题是全国初中数学高频重难点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查方程建模与参数分析能力，重难点如下：一、一元一次方程的含参问题核心要求：从“已知解求参数、解的情况（唯一解/无数解/无解）”等场景，分析参数与方程解的关联，推导参数取值。关联难点：1）方程“ax=b”中参数对解的影响（a、b的取值分类讨论）；2）结合实际背景的解的合理性对参数的限制。二、二元一次方程组的含参问题核心要求：针对“已知解求参数、解的情况（唯一解/无数解/无解）”，利用方程组的系数关系推导参数，或结合解的特征（如正整数解）分析参数范围。关联难点1）方程组系数比与解的情况的对应关系（的关系）；2）含多个参数时，解的特征对参数的多重限制。三、一元二次方程的含参问题核心要求：从“根的判别式（根的个数）、韦达定理（根与系数的关系）、根的特征（正负根/特殊关系根）”等角度，结合参数推导方程的参数取值或范围。关联难点1）判别式与韦达定理的综合应用（需同时满足△的限制与根的关系）；2）根的特殊关系（如互为相反数、倒数）对应的参数推导；3）二次项系数非零的隐含条件对参数的限制。四、方程（组）的新定义含参问题核心要求：理解新定义规则（如同解方程、关联方程），将新定义转化为常规方程（组），再结合含参问题的方法分析参数。关联难点1）新定义规则的转化（提炼本质的方程关系）；2）新场景下参数与方程解的逻辑关联构建。题型01已知方程（组）的解求参数或代数式的值将方程（组）的解代入原方程（组），转化为关于参数的方程，求解参数；再代入代数式计算。1．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x=2的解，则a=．2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x−1=0的一个根，则(m+5)(m−1)的值为4．（2023·山东枣庄·中考真题）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解是x=3y=−2，则关于x、y的方程组ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d题型02同解方程将两个方程都化为“x=常数”的形式，根据“解相同”列等式求参数；方程组同解则联立其中两个方程求公共解，再代入其余方程。1．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则A．−5 B．−1 C．3 D．−22．（2025·四川绵阳·三模）若关于x的方程x2+x−6=0与5x+3=1A．6 B．−3 C．6或−3 D．−3或23．（2024武威市三模）已知关于x的方程x−m2=x+m3与3x−4．（2020·河北邢台·二模）已知关于x的方程5x−2=3x+16的解与方程4a+1=4x+a−5a的解相同，则a=；若m表示不大于m的最大整数，那么[题型03已知方程（组）解的情况求参数1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程xx−1+m=3m−21−x有解，则A．m≠−1 B．m≠13 C．m>−1且m≠13 3．（2025乌鲁木齐模拟）.已知关于x的方程k−3x2+2kx+k−2=0有解，则k4．（2025·四川成都·二模）若关于x的分式方程kx−1=x+2x−1+1题型04已知方程（组）解集的情况求参数正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值.1．（2025·四川南充·三模）若关于x，y的方程组2x−y=3m−1x−2y=m+5的解满足x+y=0，则m的值为2．（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组3x−y=2k−4x−3y=k的解满足x+y≥−5，则k的取值范围为（

A．k≥3 B．k≥−6 C．k≥14 D．k≤33．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程a−1x2+a−14．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−45．（2025·江苏扬州·三模）已知关于x的分式方程2xx−1=mx−1+56．（2025·山东东营·中考真题）若关于x的方程k2−1x2+题型05一元二次方程根与系数的关系注意：需结合(△≥0)限制参数（保证有实根）1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知m，n是关于x的一元二次方程x2−2025x+1=0的两个根，则m+12．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β3．（2024·四川泸州·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则4．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程m+2x2−25．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则题型06一元二次方程根的判别式与韦达定理综合1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x1(1)填空：x1+x(2)求1x1+(3)已知x12+3．（2025·江苏泰州·三模）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点−2,m，(1)图象的顶点坐标是_____；(2)若−3,y1，n,y2是该函数图象上的两点，当n>5时，判断(3)若关于x的方程ax2+bx+c=2a+53．（2025·四川南充·中考真题）设x1，x2是关于x的方程(1)当x1=−1时，求x2(2)求证：(x4．（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0）的两根分别是x1，x2(1)运用：若一元二次方程2x2+x−1=0的两根分别是x1，x(2)类比探究：小芳同学发现1x请你试证明：x1(3)若x1，x2是关于x的方程x2+m−1题型07与含参方程（组）有关的新定义问题先理解新定义规则，转化为常规方程（组），再用含参问题方法求解1．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是（填序号）；①y=x+2；②y=1x；③（2）若一次函数y=12x+m的图象上存在“单位圆点”，则m2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=13．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为−1,−2．（1）函数y=8x的图象上的“倍值点”是（2）若关于x的函数y=m−1x2+mx+14．（2025·浙江·模拟预测）对于实数a，b，定义一种新运算“出”为：a☆b=a+b1−ab．例如：1☆3=1+31−1×3=−2．则方程−2A．x=1 B．x=3 C．x=−3 D．x=−1重难点二与不等式（组）有关的含参问题与不等式（组）有关的含参问题是全国初中数学高频重难点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查不等式建模与参数分析能力，重难点如下：一、一元一次不等式的含参问题核心要求：从“已知解集求参数、解的情况（如解为全体实数/无解）”等场景，分析参数对不等式解集的影响，推导参数取值或范围。关联难点1）不等式“ax>b”中参数a的符号对不等号方向的影响（分类讨论a>0、a<0、a=0的情况）；2）结合实际背景（如正整数解）对参数的限制。二、一元一次不等式组的含参问题核心要求：针对“已知解集（或解集的特征）求参数、解的情况（有解/无解）”，利用不等式组的解集规律（同大取大、同小取小等）推导参数，或结合解的个数（如正整数解的个数）分析参数范围。关联难点1）不等式组解集的边界值对参数的限制（需考虑等号的取舍）；2）含多个参数时，解集的特征对参数的多重约束；3）不等式组“有解/无解”对应的参数范围推导（如“大大小小无解”的系数关系）。三、不等式（组）的新定义含参问题核心要求：理解新定义规则（如“关联不等式”“最优解”），将新定义转化为常规不等式（组），再结合含参问题的方法分析参数。关联难点1）新定义规则的本质转化（提炼不等式的核心关系）；2）新场景下参数与不等式解集的逻辑关联构建。题型01已知不等式（组）解集的情况求参数已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中待定字母的取值范围问题，首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知条件联系起来求解.这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识.在求解过程中还可以利用数轴进行分析.1．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为．（写出一个即可）2．（2025·河南商丘·三模）关于x的不等式x−a≤0的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（

）A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．1≤a<2 D．1<a≤23．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式1+x2<2x−13的最小整数解是方程A．0 B．1 C．2 D．34．（2025·四川·一模）不等式组3x>2x−12x+3≤5的整数解均满足不等式组a−65<x≤a，则a5．（2025·甘肃酒泉·二模）若m是不等式组m<35m>m+4的整数解，解关于x的分式方程m6．（2025·山东日照·一模）线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组x>m−6−3x+8≥3m−4有解的所有整数m的和为7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式组x−4+m<0x−m>0有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（

A．0 B．1 C．3 D．58．（21-22七年级下·云南昆明·期中）若实数a关于x的不等式组{x3+1≥x+329．（2025·黑龙江大庆·三模）若关于x的不等式组2x−1≥3x+12x≤a，无解，则所有满足条件的正整数a10．（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于x的不等式组2x−1<3x−m<0的解集是x<m，则m的取值范围是题型02与含参不等式（组）有关的新定义问题定义新运算、阅读理解类问题的关键是理解题意，将问题转化为方程组、不等式组以及代数式的恒等变形等数学问题解决.1．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定Gx,y=x+3y．若关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2G2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是．3．（2025吉林省模拟）定义一种新运算：x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12．(1)求m、n的值；(2)若关于x的不等式组x⊗x−1≥0x−p(3)若ax−2b⊗3a+bx≥3a+2b的解集为x≤4．（2025扬州市模拟）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程4x=8和2x+1=−7为“活力方程”，方程2x=6是方程x+4=−1的“领先方程”．(1)若关于x的方程3x+s=0和方程4x−2=x+10是“活力方程”，求s的值．(2)若“活力方程”的两个解分别为a，ba＞b，且a，b分别是关于x的不等式组x−13(3)方程2x+7=23是若关于x的方程m+3x2=12−m的“领先方程”，关于x的不等式组2x+1>m−1x−12≥2x+131．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程kx2−3x−94A．k>−1且k≠0 B．k≥−1 C．k≥−1且k≠0 D．无法确定2．（2025·山东东营·中考真题）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，则代数式A．0 B．25 C．26 D．−13．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程x2−m−2x−0.25m2=0有两个实数根x1，A．5 B．−2 C．5或−3 D．5或−14．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足a2−8a+5=0，b2−8b+5=0，则A．12 B．−2或20 C．2或−20 D．5．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组2x−y=2a−1x−2y=b的解满足x+y=−3，则4a÷A．4 B．-4 C．14 D．6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点N3−2a,2a−5是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标