重难点06 函数的整点、定点、定值问题（3大类型5大题型） （复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数重难点06函数的整点、定点、定值问题（3大类型5大题型）目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 54固·重难考点拓·创新能力函数的整点、定点、定值问题是中考函数综合题的高频考点，覆盖一次、反比例、二次函数，核心是分析“函数中满足特定数值特征的点/值”，重点如下：一、函数的整点问题核心要求：结合函数图像特征，判断函数图像上（或平面内）是否存在横、纵坐标均为整数的点（即“整点”）。关联难点：1）一次函数整点：①如“已知一次函数y=kx+b，求其图像上的整点坐标”（需结合k、b的取值，分析整数解）；②拓展：“直线上是否存在整点，使该点到某定点的距离为整数”。2）反比例函数整点：如“反比例函数的图像上有哪些整点”（需结合k的因数分解，找整数对(x，y))。3)二次函数整点：①如“抛物线y=ax²+bx+c上是否存在整点”（需代入整数x，验证y是否为整数）；②拓展：“抛物线上的整点能否构成特定图形（如等腰三角形）”。二、函数的定点问题核心要求：分析函数图像是否恒过某一固定点（与函数中的参数取值无关）。关联难点：1）一次函数定点：如“含参数的一次函数y=k(x-2)+3恒过哪个定点”（令参数系数为0，求解x、y）。2）二次函数定点：如“含参数的抛物线y=ax²+(a-1)x+2恒过哪个定点”（整理为关于参数的式子，令系数为0）。3）反比例函数定点：特殊场景：如“反比例函数与一次函数的交点是否为定点”（联立方程，分析解是否与参数无关）。三、函数的定值问题核心要求：分析函数中某一量（如线段长度、角度、面积、比值等）是否为固定数值（与函数上点的位置或参数无关）。关联难点：1）线段/比值定值：如“抛物线y=x²上任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，则是否为定值”（代入坐标推导）。2）面积/角度定值：①如“反比例函数上任意一点与原点、坐标轴围成的矩形面积是否为定值”（利用反比例函数k的几何意义）；②如“一次函数y=x+1与y=-x+3的交点与两坐标轴围成的三角形内角是否为定值”。3）多函数综合定值：如“一次函数与二次函数交点的横、纵坐标之和是否为定值”（联立方程，利用韦达定理推导）。四、多函数综合的整点、定点、定值问题核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图像特征，分析跨函数的整点、定点、定值。示例：“含参数的一次函数与二次函数的交点是否为定点，且该点是否为整点”。题型01整点问题类型一一次函数整点问题1．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（

）A．75,115 B．85,【答案】A【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线FG的解析式为y=−2x−1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．【详解】解：设直线FG的解析式为y=kx+b，代入−1,1∴1=−k+b∴k=−2∴直线FG的解析式为y=−2x−1∵E1,2A.当E为75,115时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−25−1+1B.当E为85,2310时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−35−1+310=−2x+C.当E为32,2时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−12D.当E为32,94时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=−2x−12−1+1故选：A．2．（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是3,2，点M就是一个整点．已知一次函数y=−x+b的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果△AOB内部（不包括边上）的整点只有3个，那么b的取值范围是（

）A．2<b<3 B．2<b≤3 C．3<b<4 D．3<b≤4【答案】D【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=0+b=b，当y=0时，−x+b=0，解得：x=b，∵一次函数y=−x+b的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，∴点A的坐标为b,0，点B的坐标为0,b，△AOB内部（不包括边上）的整点x,y满足x、y均为正整数，x+y<b，当b≤3时，只有一个整点1,1，整点不足3个，不符题意；当3<b≤4时，整点有1,1、1,2、2,1，共3个，符合题意；当b>4时，有多个整点，不符合题意；故选：D．3．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线l：y=kx−2k−3，点A2,6先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点B(1)求直线AB的解析式；(2)①△AOB的面积为______；②判断直线l是否经过点2,−3；(3)设直线l与△AOB的边OB、AB分别交于点M、N，如果△BMN内部只有5个整点（不包括边界），直接写出k的取值范围．【答案】(1)y=−2x+10(2)①20；②经过(3)3<k≤4【分析】（1）先求解B6,−2，再利用待定系数法求解AB（2）①如图，记直线AB与x轴的交点为T，当y=0时，则−2x+10=0，可得T5,0，再利用割补法求解面积即可；②把x=2代入y=kx−2k−3，可得y=2k−2k−3=−3（3）根据题意画出草图，当直线l：y=kx−2k−3过Q3,0时，此时△BMN内部4个整点，此时k=3，当直线l：y=kx−2k−3过K3,1时，此时△BMN内部5个整点，此时【详解】（1）解：点A2,6先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点B∴B6,−2设直线AB的解析式为y=kx+b，把A2,6，B6,−2代入得解得k=−2b=10∴直线AB的解析式为y=−2x+10；（2）解：如图，记直线AB与x轴的交点为T，当y=0时，则−2x+10=0，解得：x=5，即T5,0∴△AOB的面积为12故答案为：20；②∵直线l：y=kx−2k−3，当x=2时，y=2k−2k−3=−3，∴直线l：y=kx−2k−3过2,−3．（3）解：如图，当直线l：y=kx−2k−3过Q3,0时，此时△BMN∴3k−2k−3=0，解得：k=3，如图，当直线l：y=kx−2k−3过K3,1时，此时△BMN∴3k−2k−3=1，解得：k=4，综上：△BMN内部只有5个整点（不包括边界），k的取值范围为：3<k≤4．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的图象过定点，坐标与图形面积，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．4．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A−3,0，C−2,0，过点C作CD∥y轴，设点D的纵坐标为a，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移(1)在图中画出直线AB，并求直线AB的解析式；(2)若直线AB与线段CD有交点，求a的取值范围；(3)若直线y=kx−k+2与x轴，直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出k的取值范围．【答案】(1)见解析，y=2(2)a≥2(3)−1<k≤−12或【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，点的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据点的平移得出B0,2（2）通过直线AB与线段CD有交点，列出不等式a≥2（3）分两种情况讨论,由y=kx−k+2经过定点(1,2)，再结合图象即可求出k的取值范围．解：【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，x轴上有一点A−3,0，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B∴B0,2如图1，设直线AB的解析式为y=k把A−3,0，B−3k解得：k1∴直线AB的解析式为y=2（2）解：由（1）得，直线AB的解析式为y=2∵CD∥∴C的横坐标为−2，∵直线AB与线段CD有交点，∴a≥2解得：a≥2（3）k的取值范围是−1<k≤12或由y=kx−k+2=kx−1∴y=kx−k+2经过定点1,2，分两种情况讨论：当k<0时，如图2，∵直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点，∴当x=2时，y=2k−k+2>1，当x=3时，y=3k−k+2≤1，联立得：2k−k+2>13k−k+2≤1解得：−1<k≤−1当k>0时，如图3，∴当x=−5时，y=−5k−k+2>1，当x=−6时，y=−6k−k+2≤1，联立得：−5k−k+2>1−6k−k+2≤1解得：17综上所述，k的取值范围是−1<k≤−12或5．（2025·河北石家庄·二模）如图，直线l1:y=kx−4(k为常数，k>0)与y轴交于点A，直线l2:y=−12x+k(1)若点B坐标为0,2，求k的值和点C坐标；(2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当k为整数时，求C为整点时的坐标；(3)设在直线x=1上，且落在△ABC内部（不含边界）整点的个数为m，直接写出m的值．【答案】(1)k=2；C(2)2,2(3)m=3或m=4【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质．（1）把点B坐标0,2代入l2:y=−12x+k（2）联立y=kx−4y=−12x+k，求出C1+72k+1,2（3）先求出直线x=1与直线l1和l2的两个交点间距离为72【详解】（1）解：把点B坐标0,2代入l2:y=−1∴l1:y=2x−4，联立y=2x−4y=−解得：x=12∴点C的坐标为125（2）解：联立y=kx−4y=−解得：x=k+4∴C1+∵C为整点，∴1+72k+1为整数，又∵k>0，k为整数，∴k=3，∴点C的坐标为2,2；（3）解：把x=1代入l1:y=kx−4得：把x=1代入l2:y=−1∵−1∴直线x=1与直线l1和l2的两个交点间距离为72当直线x=1与直线l1和l2的两个交点中有一个点是整点时当直线x=1与直线l1和l2的两个交点中都不是整点时综上分析可知：m=3或m=4．类型二反比例函数整点问题6．（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数y=kxx>0的图象与直线l1：y=x交于整点A，与直线l2:y=−x+2t交于整点B和整点C，直线l1与l2交于整点D，若线段【答案】5【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点D的坐标为t,t，过点D作y轴的平行线，与过点A作x轴的平行线交于点E，则∠AED=90°，联立y=xy=kx，求出Ak,k，则可得AE=DE=1，所以At−1,t−1，又线段BC上有7个整点，点B【详解】解：联立y=xy=−x+2t解得x=ty=t∴点D的坐标为t,t，过点D作y轴的平行线，与过点A作x轴的平行线交于点E，则∠AED=90°，联立y=xy=kx∴Ak∴AE=DE，∵AD=2∴AE∴AE=DE=1，∴At−1,t−1∵线段BC上有7个整点，点B，D，C都是整点，∴Bt−3,t+3∵点A，B都在反比例函数y=k∴t−12解得t=5，故答案为：5．7．（2025·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kx与直线y1=12x，y2=2x分别交于第一象限内的点A，点B，将线段OA，OB和函数y=kx(x>0)的图象在【答案】1<k≤4【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，根据题意画出图象，结合函数图象分析即可得解，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：根据题意画出图形如解图，∵y1=12x过点(2,1)，y2=2x故结合图象可知，当区域W有且仅有1个整点时，1<k≤4,故答案为：1<k≤4．8．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为1，1，4，(1)若反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心．①求k的值；②若反比例函数图象与CD交于点E，连接BD，BE，求△BDE的面积．(2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是_____．【答案】(1)①k=254(2)6<k<9【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，画出图形，熟知反比例函数图象上的点的特征是解题的关键．（1）①求得正方形ABCD的中心坐标，代入反比例函数即可解答；②画出图形，求得点E，利用三角形面积公式即可解答；（2）画出图形，求临界值，即可解答．【详解】（1）解：①∵正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为1，1，∴AB=3,∴C4,4∴正方形ABCD的中心坐标为52∵反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心，∴k=5②如图，由题意可得反比例函数解析式为y=25当y=4时，可得4=25解得x=25经检验x=25∴E25∴DE=25∴△BDE的面积为DE⋅CB2（2）解：如图，将正方形ABCD分成9个边长为1的小正方形，根据题意可得M3,3当反比例函数经过点M3,3时，k=3×3=9当反比例函数经过点P2,3,N3,2∴若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是6<k<9，故答案为：6<k<9．类型三二次函数整点问题9．（2025·上海浦东新·模拟预测）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线y=tx2−4tx+4t−2与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t【答案】1【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键．由题意知，y=tx2−4tx+4t−2=t(x−2)2−2，顶点坐标为2,−2，对称轴是直线x=2．则该抛物线开口向上，点2,0，2,−1，2,−2必在该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求【详解】解：由题意知，y=tx∴顶点坐标为2,−2，对称轴是直线x=2，∵抛物线y=tx2−4tx+4t−2与x轴交于点M∴该抛物线开口向上，∴点2,0，2,−1，2,−2必在该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域（包括边界）内．①当该抛物线经过点1,−1和3,−1时，如图1．将1,−1代入y=tx2−4tx+4t−2解得t=1，∴此时抛物线解析式为y=x当y=0时，x2解得，x=2±2∴x轴上的点1,0，2,0，3,0符合题意．∴当t=1时，恰好有1,0，2,0，3,0，1,−1、3,−1，2,−1，2,−2，共7个整点符合题意．∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，∴t≤1．②当该抛物线经过点0,0和点4,0时，如图2．此时x轴上的点1,0，2,0，3,0符合题意．将0,0代入y=tx2−4tx+4t−2解得t=1∴此时抛物线解析式为y=1当x=1时，y=−3∴1,−1符合题意．当x=3时，得y=−3∴3,−1符合题意．综上可知：当t=12时，点0,0，1,0，2,0，3,0，4,0，1,−1，3,−1，2,−1，∴t=1∴t>1综上所述，当12<t≤1时，该函数的图象与故答案为：1210．（2025·湖南娄底·模拟预测）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”．在平面直角坐标系中，点A−3,1，B0,2，点C在线段AB上运动，过C点作与x轴平行的直线l，l与抛物线y=−x2−4x+b始终有交点．设直线l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，若n满足0<n≤15【答案】−2≤b<2【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线y=−x2−4x+b=−x+22+b+4得出抛物线的对称轴为直线x=−2，顶点坐标为−2,b+4，画出图形，然后根据l与抛物线y=−x2−4x+b【详解】解：由抛物线y=−x抛物线的对称轴为直线x=−2，顶点坐标为−2,b+4，画出图形如下：∵l与抛物线y=−x∴b+4≥2，∵如图，直线l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，满足0<n≤15，∴2≤b+4<6，联立：b+4≥22≤b+4<6解得−2≤b<2，∴b的取值范围为−2≤b<2，故答案为：−2≤b<2．11．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：(1)求函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数y=x−1的图象上取两点(1,0)和(0,−1)；第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点_____和______；第三步：函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为______．(2)是否存在点P，使得函数y=1x+1关于点P(3)函数C1:y=ax2−2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2，函数①若a=12，求②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．【答案】(1)−1,0，0,1，y=x+1(2)0,1(3)①5；②3【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点(1,0)和(0,−1)关于点(0,0)的对称点，再用待定系数法求出函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”；（2）分析函数解析式可知，函数y=1x+1是由反比例函数y=1x（3）①当a=12时，C1：y1=12x−12+12，②先得出C2的解析式为y=−ax2+6ax+4−10a，在区域内找出关于点(2,2)对称的点，得出C2过点(0,1)和C【详解】（1）解：∵关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数，∴点(1,0)和(0,−1)关于点(0,0)的对称点分别是−1,0，0,1；设函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为y=kx+b，将−1,0，0,1代入得，−k+b=0b=1，解得k=1∴函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为y=x+1．（2）解：∵函数y=1x+1而反比例函数y=1x关于原点∴函数y=1x+1∴存在点P0,1，使得函数y=1x（3）解：将C1化成顶点式y=ax2∵C1、C2∴C2的顶点为∴C2①如图，当a=12时，C1：y1联立y=12x−1当x=1时，y1=12，当x=2时，y1=1，y2=3，有整点2,1，当x=3时，y1=52，故当a=12时，求②∵C2的顶点为3,4−a∴C2的解析式为y=−a∵函数C1与C2的图象关于点∴点(2,2)必为区域W内的“整点”，当区域W内恰有9个“整点”时，其它8个“整点”是4对关于点(2,2)对称的点，即(1,1)和3,3，2,1和(2,3)，(1,2)和3,2，(0,1)和4,3，此时，当C2过(0,1)时，满足题意，即4−10a=1解得：a=3当C1过(5,3)时，即16a+a=3解得：a=3此时区域W内有15个整点，如图，当区域W内恰有13个“整点”时，其它12个“整点”是6对关于点(2,2)对称的点，在前面9个“整点”的基础上增加了(0,2)、(4,2)、(3,1)及(1,3)4个“整点”，此时a>3如图，∴a的取值范围是317<a≤【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键．12．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数y=ax2−2ax+1(a≠0)的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线G(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线x=______；(2)当a=3时，求抛物线G1(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线G1围成的中间封闭区域(不包括边界)为W①当a=3时，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【答案】(1)0,1，1；(2)y=−3x(3)①1,0，1,−1，1,1共3个；②3<a≤4或−1≤a≤−1【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．（1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案；（3）①根据图象即可求得；②a>0时，抛物线y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点1,−3时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出3<a≤4；当a<0时，如图2，抛物线y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点−1,0和1,2时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得−1≤a≤−【详解】（1）解：∵二次函数y=ax∴对称轴为直线x=−−2a令x=0，则y=1，∴图象与y轴的交点坐标为0,1；故答案为：0,1，1；（2）解：∵抛物线G：y=ax∴抛物线G1：−y=a即y=−ax当a=3时，y=−3x（3）解：①当a=3时，则抛物线G：y=3x∴顶点为1,−2，令y=3x2−6x+1=0∵图象与y轴的交点坐标为0,1，∴区域W内的整点有1,0，1,−1，1,1共3个；②当a>0时，如图2，抛物线y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点1,−3∴−3=a−2a+1，解得：a=4，结合①可得：3<a≤4；当a<0时，如图2，抛物线y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点−1,0和1,2经过点−1,0时，0=a+2a+1，解得：a=−1经过点1,2时，2=a−2a+1，解得：a=−1，∴−1≤a≤−1故如果区域W内恰有5个整点，则3<a≤4或−1≤a≤−13．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数y=x(1)若点Am−3,y1，Bm,y(2)若当−1≤x≤3时，函数y=x2−m+2x−2m(3)平移二次函数y=x2−m+2x−2m的图象，使其顶点与原点重合，得到二次函数L，若直线y=mx+2m【答案】(1)y(2)m=42−6(3)4【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）分别将点Am−3,y1（2）由题意得x2−m+2x−2m=x2−2x−mx−2m，然后可令y1=x2−2x，y2=mx+2m，可得直线y2过定点−2,0，问题化为当−1≤x≤3时，直线y2与抛物线y1只有一个公共点，则[−（3）平移后的二次函数L:y=x2，可得y=mx+2m过定点【详解】（1）解：∵y1y2∴y1∵m>5，∴−3m+15<0，∴y1∴y1（2）解：∵x2∴可令y1=x∵y2∴直线y2过定点−2,0∵当−1≤x≤3时，关于x的方程x2∴当−1≤x≤3时，直线y2与抛物线y∴[−m+2解得m1=−42当x=−1时，y1则m−1+2∴m=3．当x=3时，y1则m3+2∴m=3综上，m=42−6或（3）解：∵平移二次函数y=x∴平移后的二次函数L:y=x∵y=mx+2m过定点−2,0．当直线y=mx+2m经过点0,2时，2m=2∴m=1，此时有2个整点，如图：当直线y=mx+2m经过点0,3时，则2m=3∴m=3当直线y=mx+2m经过点0,4时，则2m=4∴m=2，此时有6个以上整点，如图：当直线y=mx+2m经过点1,4时，则m+2m=4∴m=4∵封闭图形内部（不包含边界）只有6个整点，∴4314．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3aa≠0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与(1)求A、B两点的坐标；(2)当a=−1时，动直线x=m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q，线段PQ的长为d，求d关于m的函数解析式；(3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围．【答案】(1)A−1,0，B(2)d=−(3)−34≤a<−【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．（1）令y=0时，ax（2）当a=−1时，抛物线为y=−x2+2x+3，求出C0,3，再利用待定系数法求出BC解析式为y=−x+3，设Pm,−（3）分若a<0时，和②若a>0时两种情况分析即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2−2ax−3aa≠0与x轴交于∴当y=0时，ax∴x1=−1，∴A−1,0，B（2）解：当a=−1时，抛物线为y=−x当x=0时，y=3，∴C0,3设BC解析式为y=k∴3k1+∴BC解析式为y=−x+3，设Pm,−m2∴d=−（3）解：①若a<0时，∴C0,−3a，顶点为1,−4a∵恰有6个整点，∴2<−3a≤32<−4a≤3，解得：−②若a>0时，如图，∴C0,−3a，顶点为1,−4a∵恰有6个整点，∴−3<−3a≤−2−3<−4a≤−2，解得：2综上可得：a的取值范围为−34≤a<−15．（2025邯郸市模拟）如图，抛物线C1：y1=ax2+2ax+a+2与抛物线C2：y2=−x2+mx−5交于点B1,−2，且分别与y(1)直接写出a，m的值；(2)嘉嘉说：C1可由C2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，(3)作直线AD，将直线AD向下平移nn>0个单位长度后得到直线l，求直线l与抛物线C1，C2(4)直接写出抛物线C1与C2在四边形【答案】(1)a=−1，m=4(2)见解析(3)154(4)6个【分析】（1）由抛物线C1与抛物线C2交于点B1,−2，可求得a（2）由抛物线的平移的性质，即可得C1可由C2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，（3）分直线l与抛物线C2有一个交点，过点B（4）首先求得点A、C、D、E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．结合图象求出抛物线C1与C【详解】（1）解：∵抛物线C1与C2交于点把点B的坐标代入抛物线C1−2=a1+1解得：a=−1；把点B的坐标代入C2−2=−1解得：m=4；（2）解：选择嘉嘉．由（1）可知，C1的表达式为y1=−C2的表达式为y2=−两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而−1,2是由2,−1向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，所以C1可由C∴嘉嘉的说法正确；选择淇淇．由（1）可知，y2=−x∴−x−2∴y2∴无论x取何值，y2∴琪琪的说法正确；（3）解：∵C1：y1=−x2∴A−3,−2，D设直线AD为y=k∴−3k解得k1∴直线AD的表达式为y=x+1，∴将直线AD向下平移nn>0个单位长度后得到直线l的表达式为y=x+1−n当直线l过点B时，直线l与抛物线C1，C∴−2=1+1−n，解得n=4；当直线l与抛物线C2只有一个交点时，令x+1−n=−x2Δ=9−4解得n=15∴当直线l与抛物线C1，C2有三个交点时，n的值为（4）解：设AC与DE交于点F，如图，∵当y=−2时，−x+1解得：x=−3或x=1，∴点A−3当y=−2时，−x−2解得：x=3或x=1，∴点C3,−2∴AF=CF=3，AC=6，∵当x=0时，y1=1，∴D0,1，E∴DE=6，DF=EF=3，∴四边形AECD为平行四边形，∵AC=DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形；∵D0,1，C设直线CD为y=kx+b，得b=13k+b=−2解得k=−1b=1∴y=−x+1，由图象可知：点B、C、D、E在四边形内部（包括边界），当−xx=2或x=3，∴x=2时，y1x=3时，y1∴两图象的交点坐标为2,−1，3,−2，∴抛物线y2的顶点2,−1综上所述，共有6个整点在四边形内部（包括边界），抛物线C1与C2在四边形区域内（包括边界）的整点为A−3,−2，B1,−2，C3,−2，D0,1，【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用．题型02定点问题类型一一次函数定点问题16．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线y=kx−2kk≠0，则该直线过定点（

A．2,0 B．0,2 C．−2,0 D．0,−2【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．将y=kx−2kk≠0变形为y=k(x−2)【详解】解：∵y=kx−2k=k(x−2)，∴直线y=kx−2kk≠0必经过定点2,0∴直线y=kx−2kk≠0恒过一点，则该点的坐标是2,0故选：A．17．（2025·上海·模拟预测）如果不等式kx+b>0的解集为x<−1，那么直线y=kx+b（k<0）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为．【答案】−1,0【分析】解不等式kx+b>0（k<0）得x<−bk，又由不等式kx+b>0的解集为x<−1，可得−bk=−1，进而得b=k，代入直线y=kx+b中得y=kx+k=kx+1，取本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据题意得出b=k是解题的关键．【详解】解：由kx+b>0，得kx>−b，∵k<0，∴x<−b又∵不等式kx+b>0的解集为x<−1，∴−b∴b=k，∴直线y=kx+b变为y=kx+k=kx+1当x=−1时，y=0，∴直线y=kx+b（k<0）一定会经过定点−1,0．故答案为：−1,0．18．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A−1,2向上平移4个单位长度到点B，点A向左平移2个单位长度到点C，直线l:y=mx+m+2的图象与直线BC交于点D(1)画出直线BC并求直线BC的解析式；(2)嘉嘉说：m有唯一值不可取；淇淇说：无论m为何值（唯一不可取的值除外），直线l总经过一个定点；请选择其中一人的说法进行说理．(3)当直线l与直线BC的交点D到x轴的距离恰为3时，求m的值．【答案】(1)见解析，直线BC的解析式为y=2x+8(2)见解析(3)m=−23【分析】本题为一次函数综合运用，涉及解析式、点的平移、两直线位置关系等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．（1）根据点平移的规律得到点B,C的坐标，由待定系数法求出函数表达式，即可画出直线BC；（2）嘉嘉：由直线l与直线BC不平行，进而得到m≠2；淇淇：直线l:y=mx+m+2=(x+1)m+2，无论m为可取的任意值，x+1=0时y=2，即可求解；（3）由题意得：点D在直线y=2x+8上且纵坐标为3或−3，分别代入解析式求解即可．【详解】（1）解：由题意得B(−1,6),C(−3,2)，设直线BC的解析式为y=kx+b−k+b=6−3k+b=2，解得∴直线BC的解析式为y=2x+8；（2）解：嘉嘉：∵直线l与直线BC交于点D∴直线l与直线BC不平行，m≠2∴m有唯一值不可取淇淇：直线l:y=mx+m+2=(x+1)m+2无论m为可取的任意值，x+1=0时y=2∴直线l始终过A(−1,2)；（3）解：由题意得：点D在直线y=2x+8上且纵坐标为3或−3，当3=2x+8,x=−5∵y=mx+m+2过−5∴3=−52m+m+2当−3=2x+8,x=−11∵y=mx+m+2过−11∴−3=−112m+m+2∴m=−23或19．（2025·河北唐山·一模）如图，直线l1经过A−1,0,B0,1两点，已知D4,1，点P是线段BD上一动点（可与点B、D重合）；直线l2:y=kx+2−2k（k(1)求直线l1(2)无论k为何值时直线l2过定点，直接(3)在点P的移动过程中，直接写出k的取值范围______．(4)当k=−3时，设直线y=a与直线l1，l2及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出【答案】(1)直线l1的函数表达式为(2)2,2(3)k≥12或k≤−(4)a的值为195或2或【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质，中点坐标的计算方法是关键．（1）设直线l1的解析式为y=mx+1（2）将直线l2变形得y=x−2k+2，当x=2时，y=2（3）当直线l2:y=kx+2−2k经过B0,1时，k=12；当直线l2:y=kx+2−2k经过D4,1时，k=−1（4）当k=−3时，l2:y=−3x+8，如图所示，直线y=a与直线l1交于点G，与直线l2交于点F，与y轴交于点E，分类讨论：当点E,G关于点F对称，当点G,F关于点E对称，当点【详解】（1）解：直线l1经过A∴设直线l1的解析式为y=mx+1∴−m+1=0，解得，m=1，∴直线l1的函数表达式为y=x+1（2）解：直线l2:y=kx+2−2k（∴y=x−2∴当x=2时，y=2，∴直线l2过的定点的坐标为2,2（3）解：B0,1,D4,1，点P是线段BD上一动点（可与点B、D重合），直线l2:y=kx+2−2k∴当直线l2:y=kx+2−2k经过B0,1解得，k=1当直线l2:y=kx+2−2k经过D4,1解得，k=−1∵直线l1∴当k=1时，直线l2:y=x，则直线l1∵k越大，函数图象越靠近y轴，∴k≥12或k≤−1（4）解：当k=−3时，l2如图所示，直线y=a与直线l1交于点G，与直线l2交于点F，与y轴交于点直线l1:y=x+1中，a=x+1，则点G的横坐标为x=a−1，直线l2:y=−3x+8中，a=−3x+8，则点∵其中两点关于第三点对称，∴当点E,G关于点F对称，则a−12解得，a=19当点E,F关于点G对称，∴8−a3解得，a=2；当点G,F关于点E对称，∴a−1+8−a解得，a=−5综上所述，a的值为195或2或−类型二二次函数定点问题20．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE，CE,BD交于点G．

(1)若BD⊥CE，BD=1，CE=12，则四边形(2)若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD=x，求S与x之间的函数关系式，并求(3)若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x−k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点【答案】(1)1(2)S=−23x−3(3)是，1,2【分析】（1）分割法得到四边形BCDE的面积=1（2）三角形的中位线定理，证明△ADE∽△ABC，进而推出SDCBE=34S△ABC，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：（3）根据平移规则，求出抛物线y的解析式，设xF=m，根据三角形的中线平分面积，得到K为F,Q的中点，进而得到Q点坐标，设Hn,−23n2+73n−23，把H,Q的坐标代入l:y=k2【详解】（1）解：∵BD⊥CE，BD=1，CE=1∴四边形BCDE的面积=====1（2）∵在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,DE=1∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∴S△ADE∴SDCBE∴S△ABC∴当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：BM≤BG,DN≤DG，∵四边形BCDE的面积==≤=∴四边形BCDE的面积最大=1∵BD+CE=32，∴CE=3∴S=4∴当x=34时，S最大为（3）直线l是过定点：由（2）知：S=−2∴y=−2∴y=−2设xF∵S△HFK∴K为FQ的中点，∵过点F,Q的直线与直线x=1交于点K，∴xK∴xQ∴Q2−m,−设Hn,−∴2−mk解得：k2∴直线l：y−y即：y=−==−2∴当x−1=0，即：x=1时，y=1+1=2，∴直线l过定点1,2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键．21．（2025·四川南充·中考真题）抛物线y=ax2+2ax−154a≠0与x轴交于(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图1，抛物线上两点Pm,y1，Qm+2,y(3)如图2，点M−1,−5，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l【答案】(1)y=14(2)m=−4(3)存在定点T【分析】（1）把A3,0代入y=ax2（2）设直线PQ为y=−x+n，设点Pm,14m2+1（3）设直线l解析式y=kx+b，直线l与抛物线相交于点Gx3,y3，Hx4,y4，与抛物线解析式联立可得Δ>0，x3+x4=4k−2，x3x4=−15−4b．作GC⊥MN，HD⊥MN，GC=−1−x3，MC=y3+5【详解】（1）解：把A3,0代入y=a∴a=1∴抛物线的解析式为y=1令y=0，则14解得x1=−5，∴B−5,0（2）解：∵y=14x+1∴N−1,−4设直线BN的解析式为y=k∵B−5,0，N∴−5k1+∴直线BN的解析式为y=∵PQ∥可设直线PQ为y=−x+n，设点Pm,14∴14m解得：m=−4．（3）解：存在定点T满足条件．设直线l解析式y=kx+b，直线l与抛物线相交于点Gx3,∴y=∴x∴Δ>0，x3作GC⊥MN，HD⊥MN，GC=−1−x3，MC=y3+5∵∠GMN=∠HMN，∴tan即GCMC∴−1−∴x∴x∴2kx∴2k−15−4b∴−4kb−k+3∵直线l不垂直于y轴，∴k≠0，∴b−k+3=0，∴b=k−3，∴直线l解析式y=kx+1∵无论k为何值，x=−1，y=∴l过定点T−1,−3，故存在定点T【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键．22．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2−2x过点(4,0)，顶点为Q．抛物线C2:y=−(1)直接写出a的值和点Q的坐标．(2)嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C淇淇说：无论t为何值，C2请选择其中一人的说法进行说理．(3)当t=4时，①求直线PQ的解析式；②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x(4)设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA,xB，且xA<xB．点M在C1上，横坐标为m2≤m≤xB．点N在C2上，横坐标为nxA≤n≤t．若点【答案】(1)a=12(2)两人说法都正确，理由见解析(3)①y=4x−10；②112−2(4)n=2+t−m【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）把Q2,−2向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：0,−2，再检验即可，再根据函数化为y=−（3）①先求解P的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当C2:y=−12x−42+6=−6（4）如图，由题意可得C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，可得四边形APBQ是平行四边形，当点M是到直线PO的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PO的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=ax2−2x∴16a−8=0，解得：a=1∴抛物线为：y=1∴Q2,−2（2）解：把Q2,−2向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：0,−2当x=0时，∴C2∴0,−2在C2∴嘉嘉说法正确；∵C=−1当x=0时，y=−2，∴C2:y=−1∴淇淇说法正确；（3）解：①当t=4时，C2∴顶点P4,6，而Q设PQ为y=ex+f，∴4e+f=62e+f=−2解得：e=4f=−10∴PQ为y=4x−10；②如图，当C2∴x=4±26∴交点J4−26,−6由直线l∥PQ，设直线l为∴44−2解得：b=86∴直线l为：y=4x+86当y=4x+86−22=0时，此时直线l与x轴交点的横坐标为112同理当直线l过点K4+2直线l为：y=4x−86当y=4x−86−22=0时，此时直线l与x轴交点的横坐标为112（4）解：如图，∵y=12x−2∴C2是由C1通过旋转如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，∴四边形APBQ是平行四边形，当点M是到直线PO的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PO的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，∵P2,−2，Q∴L的横坐标为2+t2∵Mm,12∴L的横坐标为m+n2∴m+n2解得：n=2+t−m；【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．23．（2025·福建福州·三模）已知抛物线y=13x2−2x+c交x轴于原点O和点A，直线y=kx+b交抛物线于点B和点C，其中点B为y(1)求抛物线顶点坐标．(2)当k=−1，b=43时，若点P为直线BC下方抛物线上一点，求△BCP面积最大时，点(3)若始终有∠AOB−∠AOC=90°，直线BC是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)抛物线顶点坐标为：(3,−3)(2)P((3)直线BC经过定点(6,−3)【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象及性质，根与系数的关系，利用铅锤法求面积是解题的关键．（1）求出抛物线解析式为y=1（2）求出B(−1,73)，C(4,−83)点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P(t,1（3）过B点作BE⊥y轴交于E点，过点C作CF⊥x轴交于F点，由已知可得∠BOE=∠AOC，设B(m,km+b)，C(n,kn+b)，当kx+b=13x2−2x时，根据根与系数的关系可知，m+n=6+3k，mn=−3b，再由−mkm+b=【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∴抛物线解析式为：y=1∴顶点为(3,−3)；（2）∵k=−1，b=4∴直线解析式为：y=−x+4当−x+4解得x=4或x=−1，当x=4时，y=−83，当x=−1时∴B(−1,73)过点P作PQ∥y轴交BC于点设P(t,13t∴QP=−t+4∴S∴当t=32时，△BCP的面积有最大值为当t=32时，∴此时P(3（3）直线BC过定点，理由如下：过B点作BE⊥y轴交于E点，过点C作CF⊥x轴交于F点，∵∠AOB−∠AOC=90°，∠AOB−∠BOE=90°，∴∠BOE=∠AOC，设B(m,km+b)，当kx+b=13x∴m+n=6+3k，mn=−3b，∵tan∴−m∴mn=k整理得：6k+b=−3，∴直线BC：y=kx+b经过定点(6,−3)．24．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数y=mx【特例分析】（1）当m=−2，−1，2时，其图象对应为图中的y1，y2，y3【性质探究】（2）观察图象，发现二次函数y=mx【性质运用】（3）将函数y=mx2−2mx+3图象向下平移4m个单位，若所得图象的顶点落在（4）设点Mm,a，N2,b在该二次函数的图象上，且a<b，实数（5）已知点P12,6−m，Q32【答案】（1）见解析；（2）(0,3)和(2,3)，直线x=1；（3）m的值为−1或35；（4）m<2且m≠0；（5）m<0或0<m≤2或m≥12【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键．（1）当m=1时，y=x（2）因为y=mx2−2mx+3=mx2−2x+3（3）由y=mx2−2mx+3可知抛物线的顶点为1,3−m，由平移可知3−m−4m=0（4）由题意可知a=m3−2m2+3，b=4m−4m+3=3，从而（5）当m>0时，只要当x=32时，y≥32，且当x=12时，y<6−m，即可满足线段PQ与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得0<m≤2；或者当x=32时，y<32，且当x=1【详解】解：（1）当m=1时，y=x（2）∵y=mx2−2mx+3=m则x=0或2，此时y=3，故二次函数y=mx2−2mx+3恒过定点0,3由对称性可知对称轴为直线x=1，故答案为：0,3和2,3，直线x=1；（3）由y=mx2−2mx+3由平移可知3−m−4m当m>0时，解得m=3当m<0时，解得m=−1，综上，m的值为−1或35（4）由题意可知a=m3−2∴a−b=m∵m≠0，∴m2>0即m<2，故答案为：m<2且m≠0，（5）当m>0时，①当x=32时，y≥32，且当x=1即94解得0<m≤2；②当x=32时，y<32，且当x=1即94解得m≥12，当m<0时，当x=12时，y=3−34m因为3−3则3−3∴线段PQ与此函数图象恒有且只有一个公共点，综上所述，m的取值范围为m<0或0<m≤2或m≥12．25．（2025·湖北武汉·三模）如图，抛物线y=12x2−3x+4与x轴交于A，B两点（点A在B(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图（1），D为抛物线上一点，连接AD，若AC平分∠OAD，求点D的坐标；(3)E，F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线AE，AF分别交y轴于M，N，如图（2）若OM⋅ON=2，直线EF经过定点P，求出P点的坐标．【答案】(1)A(2,0)，B(4,0)，C(0,4)(2)20(3)(4,−1)【分析】（1）令y=12x2−3x+4=0，解一元二次方程求出点A和点B（2）过点C作CH⊥AD于点H，先证△AOC≌△AHC(AAS)，再求出AD所在直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求出点（3）设yAE=k1x+b1，yAF=k2x+b2，由已知条件可推出【详解】（1）解：令y=1解得x1=2，∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(4,0)；令x=0，则y=4，∴C点坐标为(0,4)；（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，∵AC平分∠OAD，∴∠CAO=∠CAH，在△AOC和△AHC中，∠CAO=∠CAH∠AHC=∠AOC=90°∴△AOC≌△AHC(AAS∴CH=OC=4，AH=OA=2；设H(m,n)，则42=m解得m=165，∴H16设AD所在直线的解析式为y=kx+b，将点A(2,0)，H162k+b=016解得k=43，∴AD所在直线的解析式为y=4将y=43x−解得x1=2，当x=20y=1∴D点的坐标为203（3）解：设yAE=k将A点的坐标为(2,0)代入可得，b1=−2k∴yAE=∴OM=2k1，∵OM⋅ON=2，∴2k∴k将AE所在直线的解析式与抛物线的解析式联立，可得12解得x1=2，当x=4+2k1时，∴E(4+2k同理可得F(4+2k设EF所在直线的解析式为y=k将点E(4+2k1,2(4+2k解得k3=kEF所在直线的解析式为：y=(k∴EF所在直线过定点(4,−1)，此点到原点的距离为定值，∴定点P的坐标为(4,−1)．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质，全等三角形的判定与性质等，熟练应用待定系数法求函数解析式，利用方程思想求函数图象交点是解题的关键．26．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线C1:y=ax2−2ax+c经过点1,2，与x(1)求抛物线C1(2)如图1，直线y=34x交抛物线C1于S、T两点，M为抛物线C1上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E,MF⊥ST(3)如图2，平移抛物线C1的顶点到原点得抛物线C2，直线y=x+b交抛物线于P、Q两点，已知点H0,1，连接PH、QH分别交抛物线于另一点N、M【答案】(1)y=−(2)31(3)见解析【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形等等，熟知相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）设直线ST交ME于点N，设Mt,−12t2+t+32，则Nt,34t，可得（3）根据题意可得C2:y=−12x2，设直线PH的解析式为y=kx+1，联立y=kx+1y=−12x2得，12x2+kx+1=0，则可得到xP=2xN，同理可得xQ=2xM【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=ax2−2ax+c经过点1,2∴a−2a+c=2a+2a+c=0，解得a=−∴抛物线的表达式为y=−1（2）解：设直线ST交ME于点N，设Mt,−12∴ME=−12t∴ON=NE2∵∠MNF=∠ENO，∴sin∴MF=4∴ME+MF=−1∴当t=23时，ME+MF有最大值，最大值为（3）证明：∵平移抛物线C1的顶点到原点，得到抛物线C∴C2设直线PH的解析式为y=kx+1，联立y=kx+1y=−12∴x∴x同理可得xQ联立y=x+by=−12∴x∴2∴2∴x设直线MN的解析式为y=mx+n，联立y=mx+ny=−12∴x∴−2m=−2n，∴m=n，直线MN的解析式为y=mx+m，在y=mx+m中，当x=−1时，y=0，∴直线MN过定点−1,0．题型03定值问题二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.27．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线y=ax2+bxa≠0经过点(1)求该抛物线的对称轴；(2)点A(x1,y1)和B(x①若a=12，且x1=x②当y2y1=x2x1时，若【答案】(1)对称轴是直线x=2(2)①y2>y1；②【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；（2）①根据题意得出函数的解析式，将x1②将函数值用各自自变量表示，整理x22−2【详解】（1）解：由题意得，将点4,0代入y=ax16a+4b=0，即b=−4a，所以−b故所求抛物线的对称轴是直线x=2．（2）解：①由（1）可知，当a=12时，抛物线y=ax2+bx∵x1∴y=(==1∵抛物线y=12x∴x112故y2②由题意知，y1=ax∵y2∴x2因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，故x2−2a(于是x2依题意知，a+2−4ax1则2−4a=0，解得a=1经检验，当a=12时，x2所以a=12，28．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，点P是抛物线y(1)求抛物线y2(2)设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求(3)如图②，若抛物线y3=x2−8x+t与抛物线y1=x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点【答案】(1)y2(2)4；(3)|m−n|是定值，|m−n|=6．【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求出y1=x（2）设点P的坐标为m,m2−2m，待定系数法求出直线AP的解析式为y=mx−2m，联立y=mx−2m与y2=（3）由（1）可得，y1=x2−2x，与y3=x2−8x+t联立得到x=16t，求出点C的坐标为16t,136t2【详解】（1）解：∵抛物线y1=x2+bx+c∴c=04+2b+c=0解得b=−2c=0∴y1∵抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y∴y即y（2）解：设点P的坐标为m,m2−2m，设直线AP的解析式为y=kx+t，把点A则2k+t=0解得t=−2mk=m∴直线AP的解析式为y=mx−2m，联立y=mx−2m与y2x2解得xQ则x（3）解：由（1）可得，y1=x2−2x解得x=1此时y=∴点C的坐标为16∵点M的横坐标为m，且在y1∴y=即点M的坐标为m,设直线CM的解析式为y=rx+s，把点C和点M的坐标代入得到，则m解得r=m+1∴直线CM的解析式为y=m+与y3m+1整理得到，x则xC即16即n−m=6，即|m−n|=6为定值．29．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作【答案】(1)y=−(2)为定值3，证明见解析(3)37【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB的解析式，Px1,−x12+9，则Qx1（3）设Px1,−x12+9，则Q【详解】（1）∵二次函数y=−x2+c∴5=−4+c，∴c=9，∴y=−x（2）当y=0时，0=−x∴x1∴B3,0设直线AB的解析式为y=kx+b，∴−2k+b=53k+b=0∴k=−1b=3∴y=−x+3，设Px1,−x1∴PD=−x12∴S△PDQ∴S△PDQ（3）设Px1,−设直线PQ的解析式为y=mx+n，∴mx∴m=x∴y=x当x=xy=x∴当x=−12时，线段MN长度的最大值【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．30．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1，二次函数y=815x2−415x−285与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D坐标为−1,0，过点D(1)求证：DE=DF.(2)求m的值．(3)如图2，过点A的直线交y轴于点P，过点E作EG⊥AP，连接FO交AP于点H，此时∠GHF=90°，求FH−GH是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)m=−4(3)EG=【分析】（1）分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FN⊥x轴于点N，得到DH=DN．证明△EDH≌△FDN即可得证．（2）根据DE=DF，得到815（3）如图2，过点F作FQ⊥y轴于点Q，已知EG⊥AP，FH⊥AP，连接GD并延长交FH于点N．利用待定系数法，交点法，解答即可．本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，交轨法求坐标，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【详解】（1）证明：如图1，分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FN⊥x轴于点N，∴∠EHD=∠FND=90°．∵点D坐标为−1,0，点E的横坐标为m，点F∴点H的横坐标为m，点N的横坐标为−m−2，∴DH=−1−m，∴DH=DN．∵∠EDH=∠NDF，∴△EDH≌△FDNASA∴DE=DF．（2）解：∵Em由（1）得，DE=DF，点D坐标为−1,故815整理，得m2∴m综上所述，m=−4．（3）解：如图2，过点F作FQ⊥y轴于点Q，已知EG⊥AP，FH⊥AP，连接GD并延长交FH于点N．设yOF=k∵直线OF经过点F2,−4∴yOF∵FQ=2,OQ=4，∴∵EG⊥AP，∴∠EGH=90°．∵∠EGH=∠GHF=90°，∴EG∥FH，∴∠GED=∠DFN，∴∴∵直线EG经过点E−4,4∴yEG∵∠FOQ+∠OFQ=90°，又∵∠POH=∠FOQ，∴∠OFQ=∠AOH=∠OPA，∴tan∠OFQ=当815x2由题意可得，点A−3,0∴OA=3，∴OP=设直线AP的解析式为y=hx+3故0=−3h+32，解得故直线AP的解析式为y=1故y=−2x−4y=解得x=−11∴G又直线HF的解析式为y=−2x，故y=−2xy=解得x=−3故H−∵G−设直线GD解析式为y=px+q，故−p+q=0−解得p=−1∴y=−2xy=−解得x=1故N1由（1）得，DE=DF，又∵∠EDG=∠FDN，∠EGD=∠FND，∴△EDG≌△FDNAAS∴EG=FN．分别过点G，N作y轴的平行线，过点H作x轴的平行线，交于点K，点T，∴GK=HT=45,KH=TN=∴△GKH≌△HTNSAS∴GH=HN，∴FH=HN+FN=GH+EG，∴FH−GH=EG．∵E∴EG=931．（2025·广东广州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为A3，(1)求二次函数的解析式；(2)点P为∠OAB内部一个动点，且AP=3，点P关于直线AB的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，问(3)点C为二次函数y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点，点Q为二次函数y=ax2【答案】(1)y=−(2)P1P(3)2,3或−【分析】（1）利用待定系数法和对称轴计算公式计算求解即可；（2）由轴对称的性质可得P1A=P2A=PA=3，则P，P1，P2都在以A（3）取点M1,0，连接BM，BC，可证明△BOC≌△BOMSAS，得到∠OBC=∠OBM，则可证明∠QAB=∠ABM；当点Q在点B右侧时，可证明Q1A∥BM；求出直线BM解析式为y=−3x+3，则直线AQ1解析式为y=−3x+9，联立y=−3x+9y=−x2+2x+3，解得x=2y=3或x=3y=0，则点Q1的坐标为2,3【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为A3，∴9a+3b+c=0−∴a=−1b=2∴二次函数解析式为y=−x（2）解：由轴对称的性质可得P1∴P，P1∵A3,0∴OA=OB=3，又∵∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，设直线PP2，由轴对称的性质可得PP∴∠AJP∴∠JPP∴∠P如图所示，在优弧P1P2上取一点K∴∠P∴∠P∴P1∴P1P2（3）解；如图所示，取点M1,0，连接BM在y=−x2+2x+3中，当y=−x2∴C−1,0∴OC=OM=1，又∵∠BOC=∠BOM=90°，∴△BOC≌△BOMSAS∴∠OBC=∠OBM，∵∠QAB=∠OBA−∠OBC，∴∠QAB=∠OBA−∠OBM=∠ABM；如图所示，当点Q在点B右侧时，∵∠Q∴Q1设直线BM解析式为y=k∴k1∴k1∴直线BM解析式为y=−3x+3，∴可设直线AQ1解析式为∴0=−3×3+b∴b2∴直线AQ1解析式为联立y=−3x+9y=−x2+2x+3，解得∴点Q1的坐标为2,3如图所示，取L0,1，连接AL，B∵AL=0−3∴AL=AQ又∵AB=AB，∴△ABL≌△ABQ∴∠LAB=∠Q同理可得直线AL解析式为y=−1联立y=−13x+1y=−x∴Q2的坐标为−综上所述，点Q的坐标为2,3或−2【点睛】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．32．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为A4,0，且与y轴交于点0,83，点B的坐标为4,3，点C为抛物线上一动点，以点C为圆心，CB长为半径的圆交x轴于M，N(1)求此抛物线的函数表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦MN的长．(3)如图2，若直线BC过点1,0，求证：三角形CBN是等边三角形．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=(2)弦MN的长度是定值．弦MN的长为6(3)见解析【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC,CN，设点C的坐标为a,16a−42，则Ha,0（3）求出直线BC的解析式，设Cx0,y0，则y【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为A4,0∴设抛物线的函数表达式为y=ax−4将点0，83解得a=1∴抛物线的函数表达式为y=1（2）弦MN的长度是定值．理由如下：如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC,CN，则：CB=CN，设点C的坐标为a,16a−4∵CH⊥MN，∴MH=HN．∵HN∴HN∴HN=3，∴MN=6，∴弦MN的长度为定值．（3）证明：设直线BC的解析式为y=kx+b，∵直线BC过点4,3,∴3=4k+b0=k+b，解得：∴y=x−1；设Cx0,y0∴1∴x∴x①当x0=7−33∴y0∵MN=6，∴N的坐标为x0∴BC2BN2∴BC=BN，又BC=CN，∴三角形CBN是等边三角形．②当x0=7+33∴x0∵MN=6，∴N的坐标为x0∴BCB∴BC=BN，又BC=CN，∴三角形CBN是等边三角形．1．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4ax+4a+3(a<0)与x轴的交点为A(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点，求a的取值范围．【答案】(1)对称轴x=2，顶点坐标为2,3；(2)−1≤a<−3【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题．（1）把系数代入对称轴方程x=−b2a，计算即可得对称轴，顶点横坐标为（2）根据题意可得，当x=1时，y≥2，当x=0时，y<0，解不等式即可得a的取值范围．【详解】（1）解：x=−b∴对称轴为直线x=2，当x=2时，y=4a−8a+4a+3=3∴顶点坐标为2,3（2）解：∵抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点∴点A在1,0和0,0之间

当x=1时，y≥2，即a−4a+4a+3≥2，得a≥−1，当x=0时，y<0，即4a+3<0，得a<−3∴a的取值范围是−1≤a<−32．（2025·河南南阳·二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=kxx>0交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，(1)求双曲线y=kx的解析式，并直接写出点(2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果）(3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分∠ABD时，请直接写出平移的距离．【答案】(1)y=6x(2)9个(3)沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）观察图形并结合整点的定义，即可得出答案；（3）设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC，则B2−t,0，D4−t,0，根据BC恰好平分【详解】（1）解：由题意得：AB=5cm−2cm∴A2,3∵双曲线y=kx经过点∴3=k解得：k=6，∴双曲线的解析式为y=6∵直尺的宽度为2cm∴D4,0∴C4,（2）解：如图，由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数为：2+3+4=9，∴由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数有9个；（3）解：设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC，则B2−t,0，D∴BD=2，∵BC恰好平分∠ABD，∠ABD=90°，∴∠CBD=1∵∠BDC=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=2，∴C4−t,2把点C的坐标代入y=6x，得解得：t=1，∴沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分∠ABD．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．3．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线y=kx（x>0）经过点2,2和点M4,n，经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y=kx（x>0）及线段(1)G内整点最多有个；(2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围．【答案】(1)5个；(2)74【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键．（1）取点C1,4（2）根据题意求得OM的解析式，根