重难点09 费马点与瓜豆模型（2大类型9种题型）（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点09费马点与瓜豆模型目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 14固·重难考点拓·创新能力重难点一费马点定义：平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点。判定条件：三角形类型费马点位置核心特征三个内角均小于120∘三角形内一点P∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘有一个内角大于等于120∘最大角的顶点该顶点到三顶点距离和最小通用步骤1）旋转三角形：将△APB绕顶点B逆时针旋转60°，得到△A′P′B；2）构造等边三角形：由旋转性质得PB=P′B，△PBP′为等边三角形，故PB=PP′；3）转化线段和：PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC；4）求最小值：当A′、P′、P、C四点共线时，线段和最小，最小值为A′C的长度。【扩展】题型01普通费马点最值问题1．（2024安徽模拟预测）如图，已知矩形ABCD，AB=8，BC=12，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（

）A．6+42 B．4+413 C．8+62．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．3．（2024河北省模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=75°，M是△ABC内的动点，连接MA，MB，MC，则AM+BM+CM的最小值是4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB=4，则AP+BP+CP的最小值为．5．（2025永州市三模）如图，△ABC中，AB=AC=7，BC=23，P为△ABC内一点，∠APB=∠APC=120°，则PA+PB+PC的最小值为

6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点P是矩形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是7．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP由②可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/题型02加权费马点・单系数型8．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接P'P，借助旋转的性质可以推导出△PAP【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论．【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，直接写出PA+2题型03加权费马点・多系数型9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC内有一点O，连接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值为45，则AC

10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形内部一点，求PA+2PB+511．（2025九年级下·全国·专题练习）在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求12重难点二瓜豆模型模型定义：瓜豆模型也叫“主从联动模型”，即：一个动点随另一动点的运动而运动，分别叫做“主动点”与“从动点”，它们的运动轨迹相似。出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”，在几何上叫“种线得线，种国得圆”.【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)；①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动；②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角;③两个动点到定点的距离的比值是定值.模型应用：1)本模型一般出现在选择题或填空题的压轴题中，可以直接利用结论秒杀.2)在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值.3)部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于“瓜豆”模型，就可以利用路径之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得.【总结】1）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值；2）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于"瓜豆“模型，就可以利用路经之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得题型01构造中位线1．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为−6,4；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段2．（2023·河南周口·三模）如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为．

3．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，点P3,4，⊙P的半径为2，A2.8,0，B5.6,0，点M是⊙P上的动点，点C是MB题型02直线型轨迹4．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF．将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为（

）A．2 B．3 C．2−1 D．5．（2025河北省一模）如图，在平·面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ

A．455 B．5 C．526．（2025咸阳市模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(0,8)，点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为．7．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是对角线AC上的一动点，连接BE，若以BE为边向右上侧作等边△BEG；点E从点A运动到点C的过程中，连接CG，则线段CG的最小值是．8．（24-25九年级下·北京海淀·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，P为线段BC上的动点（不与点C重合），将线段AP绕点A顺时针旋转α得到线段AQ．(1)如图1，当P是BC中点时，连接BQ，求证：BP=BQ；(2)如图2，过点Q作直线QM∥AC，交直线BC于点M，作QN⊥QM交射线MB于点N，请补全图2，探究线段MN和线段(3)如图3，若AB=AC=6，α=120°，O为BC的中点，M为线段AO上的动点，N为线段BC上的动点，MN=2，D为线段MN的中点，求线段QD的最小值．题型03圆弧型轨迹9．（2023江都区模拟）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则A．43+4 B．4 C．410．（2025厦门市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则11．（2025·佛山市一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使得∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为12．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形ABCD中，AB=6，点E在BC上，点F在平面内，BE=2，EF=3，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最大值为．13．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转60°，得到线段AQ，连接MQ．若AB=4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为，MQ的最大值为．题型04加权线段和14．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是0,2，点C的坐标是0,−2，点Bx,0是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持△ABP是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC，求得AP+1215．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,3)，点P是x轴上的一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AQ，连接OQ，PQ，求16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF=90°，∠CFE=30°

题型05路径长度类问题17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（

）A．36 B．33 C．3218．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为．19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点21．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为，点F运动的路径长为．题型06取到最值时求其它量22．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=1

A．5 B．4 C．25 D．23．（2025·安徽宣城·一模）正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE=CF，连接AE，BF，交于点P，连接CP，当CP的值最小时，点P到AB的距离是（

）A．455 B．2 C．2524．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形ABCD中，AD=9,AB=6，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A运动，将PC绕点P顺时针旋转60°，得到PE，连接EC,EB．当BE的值最小时，点P运动的时间为（

）A．2秒 B．23秒 C．92秒 D．3325．（2025·河南南阳·二模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P在BC上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段AP上，且∠ADE=∠BAP．（1）连结BE，则BE的最小值是；（2）当∠PBE最小时，BP的长为．26．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，连接BE，若AB=2AD，则旋转过程中，当∠EBC最大时，其度数为°，当∠EBC最小时，其度数为1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．

2．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC，AB=6．点D是BC边上一点，AC=BD，连结AD【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为AC=BD，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作BE⊥AB，使点E和点C在直线AB同侧，且BE=6，连结DE，则△ABC≌△BED，可知∠BDE恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹．以下是小明证明∠BDE=90°的部分过程：证明：过点B作BE⊥AB，使点E和点C在直线AB同侧，且BE=6，连结DE．证明过程缺失……又∵AC=BD，AB=BE=6，∴△ABC≌△BED，∴∠ACB=∠BDE=90°．请你补全缺失的证明过程．【解决问题】在图③中，点O是线段BE的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段AD长度的最小，此时线段AD长度的最小值是________．（保留作图痕迹）3．（2025·广东广州·二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，点E是线段AB上的一个动点，点G在BC的延长线上且满足CG=AE连接EG，以EG为直径作⊙O，交AC于点N，交BC(1)证明：BE=2BP；(2)连接OC，若⊙O和AB相切，求线段OC的长；(3)点E在线段AB上运动的过程中，当线段OC长度最小时，求四边形AEPN的面积．4．（24-25九年级上·重庆·期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，连接AD、DE，且∠ADE=45°．(1)如图1，若AC=1，CD=2−1，求(2)如图2，F为ED延长线上一点，连接CF，且∠F=∠AED，求证：BE+CF=2(3)如图3，连接CE，将△ACE沿CE翻折至△ABC所在平面内得到△FCE，连接AF交CE于点M，连接BM、DF，当CE最小时，请直接写出BMDF5．（2025·广东广州·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，tanA=34，点D是AC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DQ，连接PQ．设点P

(1)求AC的长度；(2)当PQ的长度最小时，求t的值；(3)连接BD，当点Q在△BCD的内部（包括边界）时，求点P在AB上的运动长度．6．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题材料一：数形结合是一种重要的数学思想如a2+b2可看做是图一中AB的长，材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：将△ABP绕B点向外旋转60°得到△A1B1C1，并连接PP1易得△PP1B请结合以上两材料求出x2

7．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）提出问题：如图1，在△ABC中，∠A=120°，BC=100，则△ABC的外接圆的半径是___________．（2）问题拓展：如图2，在等边△ABC中有一点P，AP=3，BP=5，CP=4，求∠APC的度数？（3）问题应用：某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图3所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形ABCD中有E、F两点，E在△ABC内，F在△ACD内，测量AB=60米、BC=80米、AE=AF，∠E+∠F=240°，∠ECF=60°，在四边形AECF中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是300元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？8．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践：(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=36∘，AB=AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上．则∠ACD=(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D为AC边的中点，AC=4，如果在平面内有一点P，且点P到点D的距离为1，则线段BP长度的最大值是(3)如图3是某公园的设计示意图，已知∠ABC=90∘，AD∥BC，AD=BC=900m．弧CD的半径为400米，圆心角为120∘，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路AP，BP，PQ，且满足点1．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．(1)请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为______；(2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形ABCD，点B与原点重合，C坐标为4,0，∠ABC=60°，若在菱形ABCD内部有一动点P，试求PA+PB+PC的最小值，并求出此时点P的坐标是多少；(3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的A,B,C三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点P，经研究发现，运输点P到A,B,C三个菜窖的总路程至少为219千米，若AB=22．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值3．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践（1）【初步感知】如图①，△ABC和△ADE中，∠C=90°，AE⋅AB=AD⋅AC，∠CAD=∠EAB，求∠E的度数；（2）【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEF=12S矩形ABCD（3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=8，BC=16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG=14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边△BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边△BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF=60°，又∠ABC=60°，∴∠BCF=∠AB