专题09 函数的定值问题 （9种题型）（专项训练）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数专题09函数的定值问题（9大题型）目录刷考点精准巩固，扫清盲区提能力聚焦过程，优化策略测综合跨界融合，挑战创新考点一：面积定值解｜题｜技｜巧函数面积定值问题的核心是：无论函数图像上的动点如何移动，其与坐标轴/定点围成的图形面积始终为定值，解题关键是消去变量，证明面积表达式为常数。一、核心步骤（以一次函数为例）1）设点：设函数上的动点坐标（如一次函数y=kx+b上动点P(t，kt+b)）。2）定图形：明确动点与坐标轴/定点围成的图形（多为三角形、梯形）。3）列面积公式：用动点坐标表示图形的底和高，代入面积公式。4）化简消参：化简面积表达式，消去变量t，证明结果为常数。1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标；(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．①若点F与点C重合，D(m,−12)，且m>1，求证：D，E，F三点共线；②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a≠0经过点P2，1，直线y=kx+1k≠0与抛物线交于A，B两点(点A在y(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，求k的值；(3)若作点P关于y轴的对称点P'，直线AP'与直线BP相交于点Q，试探究：△P考点二：面积比值为定值解｜题｜技｜巧1）若两个图形同高（或同底），面积比可直接转化为底（或高）的比，简化计算。2）涉及函数交点时，先联立解析式求交点坐标，再确定图形的边长或高。3．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线y=x2+mx+n的图象经过0，−3，2，−3两点，与x轴交于A(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，若满足PM=a（a为常数）的点有且只有三个，求PM的值；(3)若点P为第四象限内抛物线上一动点，直线AP与y轴交于点C，连接BP．①如图①，若∠APB=90°，求点P的坐标；②如图②，直线BC与抛物线交于点D，连接AD．请判断S△ACD5．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点P是拋物线上的任意一点（点P不与点C(1)求抛物线的解析式；(2)当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问S△PEC(3)过点P作PQ⊥y轴于点Q，点G为y轴上的一点，纵坐标为−m，以GQ、PQ为邻边构造矩形PQGH，当抛物线在矩形PQGH内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．考点三：线段长为定值解｜题｜技｜巧1）优先利用函数解析式代换消去变量，比如用y=kx+b将纵坐标转化为横坐标的表达式。2）若线段两端点都在函数图像上，联立两点坐标特征，寻找隐含的等量关系简化计算。6．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为A4,0，且与y轴交于点0,83，点B的坐标为4,3，点C为抛物线上一动点，以点C为圆心，CB长为半径的圆交x轴于M，N(1)求此抛物线的函数表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦MN的长．(3)如图2，若直线BC过点1,0，求证：三角形CBN是等边三角形．7．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系xOy中，点Ax0,p，B3,q在抛物线(1)当x0=1，①求b的值；②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y=x2−8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y=x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线(2)当b<−2时，若对于1+b2<x0考点四：线段和为定值解｜题｜技｜巧1）几何转化简化计算：若线段和涉及动点到两定点的距离，可利用轴对称将折线段转化为直线段（如将军饮马模型），直接求直线段长度即为定值。2）利用函数性质代换：用函数解析式把纵坐标转化为横坐标的表达式，减少变量个数，方便消参。3）关注特殊位置验证：可先代入动点的特殊位置（如与坐标轴交点）计算线段和，预判定值，再进行一般情况的证明。8．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数y=−2x

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下x⋯−−2−−1−011325⋯y⋯−03m303230−⋯其中，m=________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；(2)点F是函数y=−2x2+4x图象上的一动点，点A2,0，点B(3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=−2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q1,0关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，9．（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点0,0、0,2、1,1、−1,1中恰有三个点在二次函数①a=________；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n−m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2（a为常数，且a>0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、10．（23-24九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过B(3，0)、C(0(1)求抛物线的解析式：(2)D为抛物线的顶点．P为对称轴右侧抛物线上一点，连接PC、BD交于点E，若BE=CE，求点P的坐标：(3)点Q为x轴上方抛物线上一动点，点G是抛物线对称轴与x轴的交点．直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．以下两个结论：①GM+GN为定值：②GM−GN为定值．请找出正确的结论，并求出该定值．考点五：加权线段和定值解｜题｜技｜巧1）权重转化优先于代数计算：直接用两点间距离公式计算加权和会出现根号，计算复杂，优先通过几何方法转化权重（如三角函数、相似），简化表达式。2）特殊位置验证定值：先取动点的特殊位置（如与坐标轴交点、函数顶点），计算加权线段和，预判定值，再推导一般情况。3）结合函数性质消参：利用函数解析式将纵坐标转化为横坐标的表达式，减少变量个数，方便约分消参。11．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A−2,0，B4,0

(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+112．（2024·广东佛山·二模）综合运用如图，直线y=3x+6与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为6,0，点P是线段BC上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线y=3x+6交于点D．连接(1)求∠BAC的度数；(2)当△ADE和△ABC相似时，求点P的坐标；(3)设点P的横坐标为m，2AD＋AE考点六：线段乘积为定值解｜题｜技｜巧1）利用韦达定理简化计算：若线段端点是函数与某条动直线的交点，联立解析式得到一元二次方程，用韦达定理直接表示两根之和/积，避免求解具体交点坐标。2）相似三角形转化线段：当线段为斜线时，构造相似三角形，将线段长度比转化为坐标比，消去根号和复杂表达式。3）特殊位置验证定值：先取动点的特殊位置（如顶点、与坐标轴交点）计算线段乘积，预判定值，再推导一般情况，减少计算失误。13．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A−1,0，B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN14．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线y=−43x+2与反比例函数y=(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)点E(−12,n)在反比例函数图象上，F是第四象限反比例函数图象上一动点，连接AF分别与x轴，y轴交于点M,P，连接EF分别与x轴，y轴交于点N,Q15．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0,B(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，过平面上一点T3,2作任意一条直线KQ交抛物线于K，Q两点，过点A作直线AK，AQ，分别交y轴于M考点七：线段长比值为定值解｜题｜技｜巧1）优先用相似三角形：若两条线段所在直线平行或共线，构造相似三角形可直接将线段比转化为对应横坐标/纵坐标的比，大幅简化计算。2）特殊位置验证：先取动点的特殊位置（如与坐标轴交点、函数顶点）计算比值，预判定值，再推导一般情况，减少计算错误。3）利用比例性质：若线段共线，可利用“线段的比例等于对应坐标差的比例”直接化简。16．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A2,4，D6,0，点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C−2,−4，AH⊥CH(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；(3)试探究FGGI17．（2025·山东淄博·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C0,8，对称轴为直线x=1，直线AD交抛物线于点(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)如图1所示，点E在线段AB上运动，过点E作AD的平行线，交BD于点F，连接DE，求△DEF面积的最大值；(3)如图2所示，直线x=4上有一个动点G，点G在第一象限内，过点G作任意一条直线交抛物线于P，Q两点，AP，AQ所在的直线，分别交y轴与M，N两点，则OM⋅ONBG18．（2024·江苏盐城·三模）抛物线y=−x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C(1)直接写出A、B、C三点坐标；(2)如图1，若一次函数y=mx−m+154m≠0的图像与抛物线相交与M①若m=1时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作ED∥y轴交MN于点D，连接ME，NE；当△MEN的面积最大时，试求面积的最大值；②取MN的中点P，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，试判断PQMN考点八：横(纵)坐标定值解｜题｜技｜巧动点在函数图像上运动时，其横坐标或纵坐标始终为固定常数，解题关键是通过代数推导消去参数，证明横（纵）坐标与动点参数无关.19．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx(1)求该抛物线的对称轴；(2)点A(x1,y1)和B(x①若a=12，且x1=x②当y2y1=x2x1时，若20．（2024·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x2+bx+c两条切线的函数解析式分别为l1：y1

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线C与x轴的两个交点分别为A、B，切线l1切抛物线于点C，l1、l2①求sin∠ADC②点E为抛物线C上一动点，过E分别作l1、l2的平行线分别交抛物线C于G、F，连接FG．点H为FG的中点．试判断点21．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)，一次函数y=mx+n(1)求二次函数的解析式；(2)如图，若直线y=mx+n(m<0)与该二次函数的图象的另一个交点为D，与反比例函数y=kx的图象只有一个交点E，判断点(3)在（2）的条件下，过点E作直线FH平行于x轴，交抛物线于点F，H（点F在点H左边），当点D在直线FH下方抛物线上运动时，求DECD题型九其它定值问题22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC=DF=DE=2cm下面是创新小组的探究过程．操作发现（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH=x1<x<2，BG=y，请你探究出y与x问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE=60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．

23．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0a≠0，设该方程的两个根为x1，这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点1,−4，当x>12时y随x的增大而增大，当x<12时y随x的增大而减小．若实数m(1)求此二次函数的解析式（也称表达式）；(2)若T=4n2−2n−3424．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系xoy中，抛物线L1:y=x2+bx+c和L2:y=x2+hx+k与x轴的交点分别为A，C和C，B，抛物线L1，L2的顶点分别用P，Q表示，其中点(1)如图1，当m=2时，①求抛物线L1和L②求P，Q两点间的距离．(2)当m≠2时，如图2，直线l1，l2分别是抛物线L1①直线l1，l②N是直线l1上一点，若△PQN为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点N25．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数y=−x2+(m−1)x+m（其中m>1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D(1)填空：点A的坐标为，∠ABC=°；(2)记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m=．26．（2023·安徽合肥·一模）已知抛物线y=x2与直线l:y=kx+8相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段AB下方抛物线上一动点，过点M作MG∥y轴交AB于点(1)当AB∥x轴时，①求点A、B的坐标；②求MGGA⋅GB(2)当k=2时，MGGA⋅GB27．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−32与x轴交于A−1,0，B3,0两点，其顶点为M．直线y=kx−k与抛物线相交于E

(1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标；(2)当线段EF被抛物线的对称轴分成长度比为1:4的两部分时，求k的值；(3)连接EM，FM，试探究∠EMF的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．28．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1)(x−3)（a为常数）与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=2．(1)求抛物线的函数表达式和对称轴；(2)如图1，直线CD:y=kx+2(k>−1)交x轴正半轴于点D，把线段CA沿直线CD翻折，若点A刚好落在抛物线的对称轴上点A'处，求此时k(3)如图2，M,N为抛物线上两动点，且MB⊥NB，当（2）中点D为(4,0)时，直线MN与直线CD交于P点，试判断S△APD29．（2024·江苏无锡·一模）如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A(0，3)，B(4，3)两点，作BC垂直x(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上一点，满足∠BOC=∠OBD，求点D的坐标；(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线PA，PB与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，1OE30．（2023·湖北·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−6a≠0与x轴交于点A−2,0,B6,0，与y

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；(3)如图2，若动直线l与抛物线交于M,N两点（直线l与BC不重合），连接CN,BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理