河南省名校联考2025-2026学年下学期高三开学考数学试题（含答案）

高三数学考生注意:1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围:高考范围。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面内对应的点为0,−2,则A.2iB.2C.-2iD.-22.已知集合M={x∣1A.{2,C.(1,3.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,若S3=5aA.14B.14.将函数y=fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数yA.5tan3xC.5tanx5.若函数fx=x2+1x的图象在点1,A.-2B.-1C.0D.16.若函数fx=2−ax2+2x,x<1,A.1,2C.2,37.若直线l:mx−y+m=0与曲线A.0,3B.[0,8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,cA.34B.32C.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.如图，矩形ABCD是圆柱OO1的轴截面，AB=2,AD=4,E为AB⏜的中点，A.圆柱OO1的侧面积为B.三棱锥B−ADE的体积为C.圆柱OO1的外接球的表面积为D.O1M//10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,长轴长为4,F为C的右焦点,点A,B在C上,且关于y轴对称,其中点B.PQC.AE的最小值为3D.△OPF的面积的取值范围为11.已知函数fx满足∀x,y∈RA.f0=C.f2−x<fx三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=1,0,b=0,−13.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点−1,0的直线与C在第四象限内交于A,B14.某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下:先从这6人中随机选1人回答问题,再从剩下的5人中随机选1人回答问题,依此进行,直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束.X为答题结束时选取答题的人数,则EX四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩x(分)和高一第一学期期末考试数学成绩y(分)进行了统计，如下表:中考数学成绩x5060708090100高一第一学期期末数学成绩y658095105120130(1)规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记A为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，B为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求PB∣(2)由散点图可知y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩(成绩保留整数，采用四舍五入法).附:经验回归模型y=bx+a参考数据:i=16.(本小题满分15分)在数列an中,a(1)求an(2)设Sn为an的前n项和，求数列1an+2Sn17.(本小题满分15分)如图，在△ABC中，AB=5,AC=2+2,D为线段AC上一点，AD=2,BD=5，过点D作DE⊥ AC,交BC于点(1)证明:AP⊥平面PDE(2)在线段DE上是否存在点M，使得平面PBD与平面PBM的夹角的余弦值为7618?若存在，求出DM18.(本小题满分17分)已知双曲线C:x2a2−y2b(1)求C的方程；(2)若D,E是C上不同于A,B的两点，过D作与直线y=13x平行的直线交直线AE于点P，过D作与直线y=−(i)若点D在第一象限，记直线AD，BD的斜率分别为k1，k2，求4(ii)证明:直线PQ恒过定点.19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)求fx(2)证明:∀x∈(3)设gx=lnx+sinx，若存在0<x1<高三数学参考答案、提示及评分细则1.A由题意知z=−2i，所以42.D因为M=⟨x∣3.C设an的公比为qq>0,由S3=5a1+a2,得a1+a4.A将函数y=5tanx−π4的图象向左平移π12个单位长度,得到y=5tanx+5.C由题意得f′x=2x−1x2，则f′1=1，所以fx的图象在点1,2处的切线方程为y−2=x−1，即y=x+1.设直线y=x+1与gx6.D当a=2时,fx=2x,x<1,2x+log2x−1,x≥1由2×1>21+log21−1,知fx7.D由题意得y=2x−x2≥0,所以x−12+y2=1,当x≤0时,曲线C为C1:x+12+y2=1y≥0;当x≥0时,曲线C为C2:x−12+y2 =1y8.C由题意及正弦定理,得3sinAsinC=3sinC−2sinCcosBcosC,又sinC≠0,所以3sinA=3−2cosBcosC,则3sinA+2cosBcosC=3,因为cosB−C=cosBcosC+sinBsinC,cosB+C=cosBcosC−sinBsinC9.BCD圆柱OO1的侧面积SAB=2πrl=2π×1×4=8π,故A错误;由题意得AE⊥BE,且AE=BE= 2，所以V三棱锥B−ADE=V三棱锥D−ABE=13×12×2×2×4=43，故B正确；取OO1的中点F，连接FD，易求得FD=5，所以圆柱OO1的外接球的半径为5，故该球的表面积为4π×52=20π，故C正确;取AE的中点Q,连接DQ,MQ10.ABD设C的焦距为2c,由题意知ca=22,2a=4,解得a=2,c=2,所以b2=a2−c2=2,所以C的方程为x24+y22=1,故A正确;如图,设C的左焦点为F1,连接AF1,BF,由C的对称性知AF1=BF,因为P,Q分别为线段AF,AB的中点,所以PF= 12AF,PQ=12BF=12AF11.ACD令x=−2,y=0,则f−2f0−2f−2=0,即f−2f0−2=0,因为f−2≠0,所以f0−2=0,则f0=2,故A正确;令x=2,y=−2,则f2f−2−2f0=−4,所以f2f−2=0,又f−2≠0,所以f2=0,故B错误;令y=2,得fxf2−2fx+2=2x,即fx+2=−x,所以fx=2−x,由f2−x<fx12.4由题意得ma−b=m,2,a+b=1,−13.−223设Ax1,y1,Bx2,y2,由题意知直线AB的斜率存在,设为kk<0,则AB的方程为y=kx+1,联立y2=4x,y=kx+1,整理得k2x2+2k2−4x+14.6415 X的可能取值为2,3,15.解:(1)由题意知PA=所以PB∣或PB∣(2)由题意得x=50y=65所以b=i所以a=y−bx=当x=110时,y=1310×16.解:(1)因为n+1an=n所以数列ann是常数列,又a11=1,所以ann(2)由(1)可知，an是等差数列，则an+2=n+2所以1an故Tn==1217.(1)证明:因为DE⊥AC,所以DE因为AD∩PD=D,且AD,PD⊂平面PAD,所以又AP⊂平面PAD,所以DE⊥AP,由题意易知而AP=2,AD=2,所以A又DE∩PD=D,且DE,PD⊂平面PDE,所以(2)解:取AD的中点O，连接OP，OB，则OP⊥AD，OB由(1)易证平面PAD⊥平面ABED,平面PAD∩平面ABED=AD,OP⊂平面PAD,所以又OB⊂平面ABED,所以OP⊥OB,故OB,OC,OP两两垂直,以O为原点,直线OB,OC,OP分别为x轴,y轴,设平面PBD的一个法向量m=x,y,z,则令y=2,得x=1,z易证OB//DE,又所以DE=CD设Mt,1,00≤t≤则PB⋅n=0,BM⋅n=0,即2a−c=设平面PBD与平面PBM的夹角为θ,则cosθ=解得t=1,或t=−95所以在线段DE上存在点M使得平面PBD和平面PBM的夹角的余弦值为7618,且此时DM18.(1)解:由题意得2a=6，所以a=3又C的渐近线方程为y=±13x,所以ba=故C的方程为x29(2)(1)解:由(1)知A−3,0，B3,0，设Dx0,y0，则x所以k1k又k1>0,k2>0,所以4k1故4k1+k2(II)证明:由题意设直线PD的方程为y=13x+mm≠0,且m≠±1由y=13x+m,x29−y2y=13×−3由题意得直线DQ的方程为y−12m−1由(i)知直线BE的斜率为19k,故其方程为y=19kx由y=19kx−3,y=−1设点Mx,y为直线PQ上一点,则PM//PQPQ则x−所以−m所以−m所以−m−故直线PQ恒过定点0,−119.(1)解:由fx=4x−tanx=令f′x>0,解得−π3<x<π3;令故fx的单调递增区间为−π3,π3,单调递减区