教学材料《运筹学》-第11章

第11章决策分析学习目标通过本章的学习，了解决策分析的基本概念及问题基本特征，认识确定型决策问题、不确定型决策问题、风险型决策问题和效用理论在决策中的应用。掌握求解不确定型决策问题、风险型决策问题的基本思路、求解方法，并理解它们的实践意义。上一页下一页返回第11章决策分析关键词汇不确定型决策问题(DecisionMakingWithoutProbabilities)乐观准则(TheMaximaxCriterion)悲观准则(TheMaximinCriterion)折中准则(TheHurwiczCriterion)等可能准则(TheEqualLikelihoodCriterion)后悔值准则(TheMaximaxRegretCriterion)风险性决策问题(DecisionMakingwithProbabilities)期望值准则(TheExpectedValueCriterion)决策树(DecisionTree)效用(Utility)效用曲线(TheUtilityCurve)上一页下一页返回第11章决策分析案例导引例一某食品店经营一种面包，根据已往的资料每天的销售量可能是100,150,200,250,300个，通过预Y)n}}估计每天的售量的概率分别为0.20,0.25,0.30,0.15,0.10。如果一个面包没有售出，则可在当天营业结束时以0.15元的价格处理掉。每个面包的进货价格是0.25元，新鲜面包的售价是0.49元。试对进货数量给出合理的决策。例二某公司有10万元多余资金。如用于开发某个项目估计成功率为95%，成功时一年可获利15%，但一旦失败，有全部丧失资金的危险。如把资金存放到银行中，则可稳得年利4%。为获得更多的信息，该公司求助于咨询公司，咨询费为800元，但咨询意见只是提供参考。咨询公司据过去类似的200例咨询意见，给出的实施结果如表11-1所示。上一页下一页返回第11章决策分析

试分析:(1)该公司是否值得求助于咨询公司?(2)该公司多余资金该如何使用?

例三决策者面临下列情况:有n个选择方案，在方案实施时会遇到m,种不同的情况。预先可以估计出不同方案在相应情况发生时的损益值(收益或损失)。在实际无法把握哪种情况出现时，如何进行决策?

案例思考题:(1)分析上面例题的共同特点是什么?提炼问题特征。

(2)对于这类问题，我们关心哪些事情?如何做出决策?若得到有关信息，我们可以进一步做哪些有益的工作?上一页返回下一页11.1决策问题与决策

在人们的社会生活实践中，无论是个人还是企业和政府部门，无论在日常生活中还是在经营、管理过程中，都会遇到各种各样的需要人们作判断、选择等决策问题。所以说，决策是人们日常生活和工作中普遍存在的一种活动，它渗透生活的各个方面，包括到商店买什么，选举时投谁的票，求职时找什么工作等。决策通常涉及外部环境(不以人们的意志为转移的客观情况)的不确定性(如天气条件、社会状况等)以及与个人偏好的冲突(如要取得高额回报需要承担高风险，考虑应该获取更高的薪金还是更多的闲暇等)。决策过程常常从信息的集聚开始，通过概率的估计和权衡，直到选定最终行动(决策结果)。人们对决策的一个共识性理解为:决策是从一个备选方案集合中选择决策者所偏爱的方案或行动路线的过程。下一页返回上一页11.1决策问题与决策

在研究中，狭义的决策是指要从若干可能的方案中按某种标准(准则)选择一个，而这种标准可以是:最优、满意、合理等;广义的决策相当于决策分析，是人们为了达到某个目标，从一些可能的方案(途径)中进行选择的分析过程，是对影响决策的诸因素作逻辑判断与权衡。作为一门学科或学科分枝，决策理论是研究在有风险或不确定性情况下制定决策的定量分析方法。决策分析主要研究在各种可供选择的行动方案中依照某个准则选择最优(或满意)方案的问题，决策是否正确，是否合理，小则关系到决策者日常某项选择能否达到预期目的，大则关系到一个企业的盈亏，关系到一个部门、地区以至整个国民经济的兴衰。因此，管理决策者应当更好、更有效、更合理地作出决策。上一页下一页返回11.1决策问题与决策11.1.1决策分析的基本概念

1)决策问题的特点一般的决策问题常常存在不确定性的自然状况(面临不以人的意志为转移的情况)，决策人可以在各种可能的行动中进行选择;这些决策人所无法控制的因素，即凡是能够引起决策问题的不确定性的因素，统称自然状态。这里的自然状态(简称状态)是广义的，如在出门是否带伞的问题中，下雨与否是自然状态;在是否购买火灾保险的问题中，保险期内是否发生火灾是自然状态;在加工方法的选择问题中，订货数量多少、加工非标准件的过程中报废零件的数量都是自然状态。由于未来自然状态的不确定性，决策人无论采取什么行动，都会因为自然状态的不同而出现不同的后果(或者称为结果、结局)。这时的决策人实际上是被迫进行赌博，只要他采取行动，就已经处于参与赌博的位置上。他希望能赢，但也可能会输。由此可知，带有不确定性的决策问题具有如下特点。上一页下一页返回11.1决策问题与决策(1)决策人面临选择，备选方案(即可以采取的行动)不唯一。(2)自然状态存在不确定性，由于自然状态的不确定性导致后果不确定。(3)本文假设，每一方案面对不同的自然状态，其后果的价值是已知的。2)决策问题的基本要素为了能构全面表述一个决策问题，需要给出下列要素。(1)方案集，亦称行动集。用来表示决策人可能采用的所有行动的集合。(2)自然状态集用来表示所有可能的自然状态。(3)后果包括集决策问题的各种可能的后果。3)决策分析的基本步骤求解一个实际的决策问题通常包括下列步骤。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

第1步:构造决策问题。这一步要为决策问题提供可能的方案(或行动)并标定目标。对于一些简单的决策问题，可供采用的决策和要达到的目标都是非常清楚的，但在复杂的情况下，构造决策问题并不容易。有的决策问题，初看起来似乎完全没有合理的方案，这时需要启发人们的创造性，根据问题的目标去形成有效的方案。第2步:确定决策可能的各种自然状态，以及自然状态的发生是否具有规律?如有规律，这些规律如何描述?

第3步:确定各方案对应不同自然状态后果对决策人的实际价值，即确定决策人对后果的估计。第4步:对备选方案进行评价和比较。这一步的目的是在以上三步的基础上选择决策人最满意的决策。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

具体实施时，决策分析需要考虑以下三方面内容:(1)明确问题症结，确定决策目标。根据实际问题的提出，决策者应搜集、整理和分析有关的大量资料，明确问题的背景、特征、性质、原因、范围和条件等情况，找出问题的症结，针对症结所在，准确、可靠地建立要达到的目标。有了明确的目标，可为目标的实施提供依据。

(2)拟定多种可能的行动方案，供选择采用。首先，大致设想有几种可能方案;其次，要对各种入选的方案作深入分析和精心的设计，对各种方案的资源、时间、组织和措施等进行周密的思考和计算，进而作为明确的规定。上一页下一页返回11.1决策问题与决策(3)按照决策者的准则互相比较各备选方案，从中选定最优方案。根据目标的需求和决策者的价值标准，对各个方案进行评论和比较;在比较的基础上，对各个方案的优劣，利弊和得失等进行综合分析和全面衡量，从中选出最优(或满意)的方案。以上三个方面组成了一个有机整体，它们是相互交叉、相互作用、重叠反复展开的。上一页下一页返回11.1决策问题与决策11.1.2决策问题的分类笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)提倡“将试图解决的问题，尽可能按你便于解决的需要划分为许多问题”，强调了分类对研究对象条理化的重要作用和意义。莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)则强调了分类的困难性和分类方法的多样性。两位大师为我们进行研究提出了思路和建议。对于决策问题，人们为了便于分析和研究，提出如下不同角度的分类。

1)按容易区分的因素划分

(1)按决策问题涉及的决策人数量，可以把决策问题分成单人决策和多人决策(或称群决策)两类。

(2)按决策问题涉及的目标的数量，可以把决策问题分成单目标决策和多目标决策。上一页下一页返回11.1决策问题与决策(3)按决策问题的求解步骤，把一次性求得问题的解称作单步决策，而把需要多次求解，根据前一次求解的结果或执行的情况再作下一次决策称为多步决策或序贯决策。

(4)按决策时所掌握的信息的完备程度，可把决策问题分为确定性决策、风险型决策、严格不确定型决策、模糊决策等。

2)按涉及面的宽窄划分按决策问题涉及面的宽窄，亦即决策所要解决的问题性质，可以分成战略决策(StrategicDecision)、管理决策(AdministrativeDecision)和业务决策(OperatingDecision)三类。这三类决策问题的特点与差异表现在:决策权是否集中、所需信息是否完全、问题结构性态、涉及的风险大小、决策的组织工作与决策程序的复杂程度、目标数量的多少、时限的长短等。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

战略决策是具有一定规模的组织机构为了使自身与变化着的环境相适应或谋求发展的决策，战略决策具有总体性、重大性和目标长远的特点，通常由组织中的最高管理层负责;管理决策或称行政决策，是为了实现既定战略而进行的计划、实施、控制与管理的决策;业务决策则是具体业务部门为了提高工作质量与效益进行的决策。

3)个人事务决策与公务决策决策的另一个重要的分类方法是把决策问题分成个人事务决策与公务决策两大类。个人事务决策，就是在解决经济问题时强调决策者个人的意志和价值观。在决策分析时要对决策者个人的价值判断、意见、感觉进行量化，由此进行合乎逻辑的分析、推理并做出决策。这样做是必要而合理的。在我国，私有企业的决策也是个人事务决策;但是，我国的公职人员，包括行政部门的领导和国有及集体企业的负责人所做出的决策应该属于公务决策。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

公务决策，就是在决策时不能、也不允许仅仅从个人的好恶出发来考虑问题，而是要从本部门和部门全体成员乃至整个国家的利益出发进行价值判断，即使以个人的名义制定决策，实质上也是受国家和集体的委托行使职权，应该强调价值判断的客观性和理性化。

4)决策人与决策分析人的角色分化决策人所面临的实际的决策问题通常是在利益冲突、信息不全、资源有限和环境十分复杂的情况下进行的。建立复杂决策问题的适当数学模型并用现代化的科学手段求解，需要专门的知识和技能。因此，微观经济学和决策论假定，制定决策的决策人是经济人。所谓经济人，是指行为合乎理性的人，他有经济头脑，知道自己的目标和如何达到该目标;他会收集所有必要的信息，通晓自然科学，至少精通运筹学;他对决策环境十分了解，有很强的判断能力和稳定而一致的选择能力;能按照最经济、最有效的方式分配有限的资源去获得最大的经济利益。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

在现实社会中，能满足经济人要求的决策人即使存在也十分罕见，由此出现了决策人和决策分析人的分工。由具有丰富实际经验和卓越的领导与管理才能的决策人对环境(形势)进行分析、对后果作价值判断;而决策分析人则建立复杂决策问题的适当的数学模型并提供用现代化的科学手段求解所需的专门的知识和技巧，即由决策分析人运用决策论和系统、科学的方法进行分析、推理，为决策人制定正确决策提供逻辑判断，使决策人更好地达到预期目标。不失一般性，我们以下讨论，在不做特别说明时，均为效益型决策，即目标求最大。上一页下一页返回11.1决策问题与决策11.1.3确定型决策问题在决策分析研究中，所谓确定型决策是决策者可以获得完全确定的信息，即肯定地知道将要出现哪种状态。若已经确定备选方案集合，确定性决策问题将成为一个简单的决策过程。这时决策失误的原因除了考虑不周之外，就是问题的计算过于复杂。这类决策问题在决策分析中广泛采用的模型是这样的:

在决策问题中，有m种可采取的行动方案(记第i种方案为Ki)n种未来状态(记第j种状态为θj)，对应于策略(或方案)Ki和状态θj的结果值记为 ，因此离散的决策问题可如表11-2(称为决策表)所示。上一页下一页返回11.1决策问题与决策确定性决策问题应具有以下几个条件:(1)具有决策者希望的一个明确目标(收益最大或者损失最小)。

(2)具有两个以上的决策方案。

(3)只有一个确定的自然状态。

(4)不同决策方案在确定自然状态下的损益值可以推算出来。确定性决策问题的决策过程:若已知确定的自然状态是θj

，那么只需比较表11-2中第θj列的数据即可得到决策结果。确定型决策看似简单，但在实际工作中可以选择的方案很多时，往往十分复杂。比如有m,个产地和n个销地寻求总运费最小的运输问题就是这样一类问题，必须借助计算机才能解决。上一页下一页返回11.1决策问题与决策

本章主要讨论的决策问题是离散型的不确定决策和风险决策。为了达到期望的目的，可以有各种方案选择，而不确定型决策和风险型决策是指决策问题中存在不可控制的因素，决策者获得的信息不是完全确定的，即将要出现的状态是不确定的。如果决策者对于将要出现的状态能获得一定程度的确定性—状态出现的概率，就称这种决策为风险型决策;而如果只知道出现的状态，但不知道它们出现的概率，就称这种决策为非确定型决策。思考题(1)简述决策问题的特点、基本要素和一般步骤。(2)简述决策问题的分类及其特点。(3)简要说明确定型决策的特点及求解过程。(4)风险性决策和不确定型决策有什么区别?上一页返回下一页11.2不确定型决策问题

在不确定型决策和风险型决策中，决策者可根据制定的策略及状态的分布情况，制定出决策目标、选择决策方法，从而选出最优的策略。不确定型决策的特点是，不仅不知道所处理的未来状态在各种特定条件下的确切结果，而且连可能的结果发生的概率也不知道。它的决策方法都带有很大的主观性，下面介绍几个不确定型决策的准则。下一页返回上一页11.2不确定型决策问题11.2.1乐观主义准则乐观主义准则也称最大最大准则，是基于大中取大、优中选优的一种决策准则。它表明在决策时，即使情况不明，但仍不放弃任何一个可能获得最优结果的机会。决策者对客观自然状态抱最乐观的态度，从最好的自然状态出发，首先从各方案中选出最优的结果，然后再在这些最优结果中选出最优的结果，而以此结果对应的方案为最佳方案。例11.1某商店打算经销一种商品，其进货单价为20元，销售价为25元。如果每周进货商品本周内售不完，则每件损失5元，根据以往的销售情况，每周的销售情况可能是10件，20件，30件，40件四种状态，问:商店的经理怎样进货才能使利润最大?(进货方案也是10件、20件、30件、40件四种)上一页下一页返回11.2不确定型决策问题

解这个问题的未来状态θj(j=1,2,3,4)是销售量，其值分别为10,20,30,40，经理的方案，即每周购货量，也是10,20,30,40。对于每种方案可以得出在不同状态下的结果值，即利润，如当选择每周进货量为30件时，而销量为20件时

V32=20(25-20)-5(30-20)=50可列决策表如表11-3所示。各方案K1,K2,K3,K4最大收益值分别为50,100,150,200，我们在其中选择最大值，即选择方案K4为决策结果。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题11.2.2悲观主义准则悲观主义准则也称最大最小准则，是基于小中取大的一种决策准则。它是决策者对客观自然状态抱最悲观态度，从最坏的自然状态出发，首先从各方案中把最差的结果值选出，然后再从这些结果值中挑选出一个最好的结果值，其对应的方案为最佳方案，此法应用比较保守。例11.2试用悲观主义准则对例11.1进行决策。解可列决策表如表11-4所示。各方案K1,K2,K3,K4最小收益值分别为50,0、-50、-100，我们在其中选择最大值，即选择方案K1为决策结果。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题11.2.3折中主义准则拆中决策法又称赫尔威斯准则(HurwiczDecisionCriterion)。这种决策的特点是决策者对未来自然状态的估计既不乐观，也不悲观，而是在乐观与悲观的两个极端之间用一个系数拆中一下，算出各方案的拆中结果值，从这些拆中结果值中选出具有最优拆中结果值的方案作为最优方案。而乐观系数λ(0≤

λ

≤1)体现决策者对未来自然状态的估计的乐观程度，当λ>0.5时，表示比较乐观;当λ<0.5时，表示比较悲观，用以下公式表示为当aij为收益时， 。例11.3用拆中决策法对例11.1问题进行决策。取拆中系数λ=0.6。解根据题意作决策表如表11-5所示。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题

各方案K1,K2,K3,K4的拆中收益值分别为50,60,70,80，我们在其中选择最大值，即选择方案K4为决策结果。很明显，如果几取值不同，可以得到不同的结果。当情况比较乐观时，λ应取大一些，反之，应取小一些。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题11.2.4等可能准则等可能准则也称Laplace准则。运用该准则决策时，决策者认为各种未来事件的发生是等可能的，可采用等概率计算各个方案的期望结果值，然后选择期望结果值最优的方案作为最优方案。当遇到同一问题需要多次决策时，利益所得允许有时多得，有时少得，得到的是一个平均值。例11.4用等可能准则对例11.1进行决策。解列决策表如表11-6所示。各方案K1,K2,K3,K4收益均值(数学期望值)分别为50,75,75,50，我们在其中选择最大值，因为E(K2)=E(K3)，所以进一步比较D(K2)和D(K3)的大小。由于D(K2)<D(K3)，所以选择方案K2为决策结果。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题11.2.5后悔值准则后悔值准则也叫做Savage准则，是对悲观决策法的一种修正，目的是使得保守程度少一些。所谓悔值，是当某一状态出现时，对应这一状态的最优策略可知:如果决策者当初没有采取这一方案，而是采取其他方案，这时会觉得后悔，因此对某状态e的最优方案的结果值与各方案的结果值a有一个差额，我们把这个差额称为悔值。而后悔值准则就是计算在各种自然状态下的悔值，经过比较，从最大的悔值中选出最小的悔值。例11.5用后悔值准则对例11.1进行决策。解根据题设条件作表，如表11-7所示。上一页下一页返回11.2不确定型决策问题

各方案K1,K2,K3,K4最大后悔值分别为150,100,100,150，我们在其中选择最小值，即选择方案K2,或K3为决策结果。因此最优方案为每周进货20件或30件。根据以上五种决策方法的介绍，可以看出不同的决策方法会产生不同的最优方案，在解决非确定型决策问题时，理论上还不能证明哪一种决策法更合理。它们之间没有一个统一的评分标准。在实际应用中究竟将何种方法作为衡量标准，采用哪种决策方法，都带有相当程度的主观随意性，要根据决策者对各种自然状态的看法而定。思考题(1)分析5种不确定型决策方法的优缺点。(2)简要说明后悔值表是怎样得到的。上一页返回下一页11.3风险型决策问题

风险型决策是指在决策问题中，决策者除了知道未来可能出现哪些自然状态外，还知道出现这些状态的概率分布，决策者要根据几种不同自然状态下可能发生的概率进行决策。由于在决策中引入了概率，所以根据不同概率拟定不同的决策方案，不论选择哪一种决策方案，都要承担一定程度的风险。下一页返回上一页11.3风险型决策问题11.3.1最大期望值准则当人们进行多次决策时，自然地会考虑采取某个方案，并不计较一次的收益，而希望在多次行动中获得的平均收益最大。这个思路就是最大期望值准则，即把每一个决策方案看做是离散型随机变量，然后把它的数学期望值算出来，再加以比较。如果决策目标是收益最大，那么选择数学期望值最大的方案，反之，选择数学期望值最小的方案。对于有m,种方案，n种状态的决策问题，设第了种状态发生的概率为 ，则可求出每种方案的期望值上一页下一页返回11.3风险型决策问题例11.6在例11.1中，假定根据已往的统计资料估计每周销售量10件，20件，30件，40件的概率分别为0.1,0.3,0.5,0.1,试给出决策。解由题设条件可列表11-8。各方案K1,K2,K3,K4的收益期望值分别为50,90,100,60，我们在其中选择最大值，即选择方案K3为决策结果。因此最优方案是每周进货30件。上一页下一页返回11.3风险型决策问题11.3.2最大可能准则如果遇到的情况是一次性的，或者某一自然状态发生的概率远远大于其他情况时，采用期望值准则就不一定合理。人们根据概率论的原理，认识到一个事件的概率越大，其发生的可能性就越大。基于这种想法，我们在风险性决策问题中选择一个概率最大的(即可能性最大的)自然状态进行决策，而不论其他自然状态如何，这样就变成了确定型决策问题。例11.7在例11.1中，假定根据已往的统计资料估计每周销售量to件，20件，30件，40件的概率分别为0.1,0.3,0.5,0.1,试采用最大可能准则给出决策。解由题设条件可见表11-9。从表中可以看到，自然状态的概率P3=0.5最大，因此状态θ3发生的可能性最大。于是考虑按照这种自然状态决策，通过比较可知，K3是最优决策。因此最优方案为每周进货30件。上一页下一页返回11.3风险型决策问题最大可能准则有着十分广泛的应用范围。特别当自然状态的概率非常突出，比其他状态的概率大许多的时候，这种准则的决策效果是比较理想的。但是当自然状态发生的概率很接近，且变化不明显时，采用这种准则，效果就不理想，甚至会产生严重错误。从风险型决策过程我们可以看到，决策利用了事件的概率和数学期望。概率是指一个事件发生可能性的大小，但不一定必然要发生。因此，这种决策准则是要承担一定风险的。那么是不是说我们要对这种决策准则产生怀疑呢?答案是否定的。因为我们引用了概率统计的原理，也就是说在多次进行这种决策的前提下，成功还是占大多数的，比我们直观感觉和主观想象要科学合理很多，因此它是一种科学、有效的常用决策标准。上一页下一页返回11.3风险型决策问题11.3.3决策树对于离散风险型决策，在应用最大期望值准则时我们是用制表的方法予以表达和分析的。这虽然是一种常用的方法，但是对于较为复杂的问题就显得有些不方便，尤其对需逐次进行决策的多级决策问题更是如此，甚至无法使用。应用决策树的形象直观、思路清晰的特点就弥补了这一缺陷。决策树是一个按逻辑关系画出的树型图，图11-1是一个简单决策树的示意图。画决策树的方法是在左端首先画出一个方框作为出发点，它叫做决策点。从决策点画出若干条直线，每一直线代表一个策略(方案)，这些直线叫做策略枝。在各个策略枝的末端画出一个圆圈，它们叫做事件点(机会点)，从事件点出发引出若干直线，每条直线代表一种状态，这些直线叫做概率枝。最后把各个策略在各种状态下的结果值记在概率枝末端称为结果节点，这样就构成了一个决策树。上一页下一页返回11.3风险型决策问题

利用决策树方法对问题进行决策时，首先画出决策树，然后从右向左进行，根据结果值和概率枝的概率，计算出各方案的期望值，选出最优方案，并把最优方案的期望值注在决策点上，不取的方案在其策略枝上打上符号“//”。

1)单级决策问题单级决策问题是指只包含一项决策的问题，在决策树中只有一个决策点。决策方法是期望决策法。例11.8某公司为生产一种产品需要建设一个工厂。建厂有两个方案，一是建大厂，投资3000万元，一是建小厂，投资1000万元，大厂或小厂用于生产该产品的期限都是15年。根据市场预测，在产品生产的15年内，前5年销路好的概率为0.7，而如果前5年销路好，后10年销路好的概率为0.9;如果前5年销路差，后10年销路肯定差，在15年期限内两个厂的每年回收资金情况如表11-10所示(单位:万元)。上一页下一页返回11.3风险型决策问题试用决策树方法，根据15年获利润大小确定哪一个方案好。解根据题设条件可以画出决策树如图11-2所示，并计算各事件点的期望值。点4:0.9×1000x10+0.1×(一100)×10=8900(万元)

点5:1.0×(-100)×10=-1000(万元)

点2:0.7×(8900+1000×5)+0.3×(-1000+(-100)×5)-3000=6280(万元)即建大厂的期望利润值为6280(万元)。点6:0.9×200×10+0.1×50×10=1850(万元)

点7:1.0×50×10=500(万元)

点3:0.7×(1850+200×5)+0.3x(500+50x5)一1000=1220(万元)即建小厂的期望利润为1220(万元)。由此决策点1应为6280(万元)，即选建大厂的方案。上一页下一页返回11.3风险型决策问题2)多级决策问题多级决策问题是指需从决策树的右边往左依次作出两项或两项以上的决策问题，反映到决策树中是有两个或两个以上的决策点。画多级决策问题的决策树和计算各事件点的期望值与单级决策问题没有本质区别，只是步骤多一点罢了。例11.9再考虑例11.7的问题，现在假定还有第三个方案，即先建小厂，若销路好，则5年后扩建成大厂，扩建投资为1000(万元)，扩建后产品生产10年，每年回收资金与第一方案一样，试确定最佳方案。解根据题设条件及例11.7的结果可得决策树，由于建大厂这一方案各事件点的期望值在例11.7已确定，那么我们只考虑建小厂，5年后销路好的情况是否要扩建成大厂的决策。这样应是两级决策问题，如图11-3所示。上一页下一页返回11.3风险型决策问题

计算各事件点的期望值:

点2:由例1得6280(万元)

点6;0.9×1000x10+0.1×(一100)×10一1000=7900(万元)

点7;0.9×200×10+0.1×50×10=1850(万元)

决策点4:因为7400(万元)>1850(万元)，因此要扩建。而点3;0.7×(7400+200×5)+0.3×(500+50×5)-1000=5105(万元)在决策点1，由于6280(万元)>5105(万元)，所以还是第一方案好，即一次投资3000(万元)建大厂。上一页下一页返回11.3风险型决策问题

例11.10某石油公司准备在某地开采石油，它有两个方案可供选择:一是先勘探，然后再决定是否钻井或不钻井;二是不勘探，只凭经验来决定钻井或不钻井。假定勘探的费用每次1万元，钻井费为7万元，直接钻井出油的情况及其概率为:无油，0.5;油量少，0.3;油量多，0.2。据估计，如果油量少可收入12万元，油量丰富可达27万元。如果进行勘探，可能会遇到地质结构差、一般、良好三种情况，据估计三种情况出现的概率分别为0.41,0.35,0.24。不同的地质结构钻井后出油的情况及其概率如表11-11所示。问:如何决策使公司利润最大?

解根据题设条件画决策树如图11-4所示。上一页下一页返回11.3风险型决策问题

计算各事件点的利润期望值，在各决策点决策。点7:0.5×(-7)+0.3×5+0.2×20=2

点8:0.73×(-7)+0.22×5+0.05×50=一2.91

点9:0.43×(-7)+0.3×5+0.23×20=3.29

点10;0.21×(-7)+0.37×5+0.42×20=8.78因此，在决策点3，选钻井方案，在决策点4，选不钻井方案，在决策点5,6，选钻井方案。事件点2的期望值为0.41×0+0.35×3.29+0.24×8.78=3.26则勘探方案的期望值为:3.26--1=2.26(万元)，由此在决策点1应选择先勘探后决定钻井与否。思考题(1)简要说明风险性决策几种决策方法的优缺点。(2)决策树的分析计算中，决策采用什么方法?这种思想有什么优点?上一页返回下一页11.4灵敏度分析11.4.1灵敏度分析的意义在通常的决策模型中，自然状态的损益值和概率往往是通过预测和估计得到的，一般不会十分准确。因此，根据实际情况的变化，有必要对这些数据在多大范围内变动同时最优决策方案继续有效进行分析，这种分析就叫做灵敏度分析。例11.11有外壳完全相同的木盒100个，将其分为两组:一组内装白球，有70盒，另一组内装黑球。现从这100个盒中任取一盒猜球的颜色，如果这个盒内装白球，猜对的加500分，猜错减200分。如果这个盒内装的是黑球，猜对加1000分，猜错减150分。为了使得分最高，合理的决策方案是什么?有关数据如表11-12所示。下一页返回上一页11.4灵敏度分析(1)一组内装白球，有70盒，另一组内装黑球，有30盒。现从这100个盒中任取一盒猜颜色。为了使得分最高，合理的决策方案是什么?(2)如果白球为60盒，黑球为40盒。现从这100个盒中任取一盒猜颜色。为了使得分最高，合理的决策方案是什么?

解画决策树，如图11-5所示。

(1)依题意:p=0.7;1一p=0.3，于是猜白的数学期望:0.7×500分+0.3×(-200分)=290分猜黑的数学期望:0.7×(一150分)+0.3×1000分=195分显然按照最大期望值原则，猜白是最优方案。上一页下一页返回11.4灵敏度分析(2)依题意:p=0.6;1一p=0.4，于是猜白的数学期望:0.6×500分+0.4×(-200分)=220分猜黑的数学期望:0.6×(一150分)+0.4×1000分=310分现在按照最大期望原理，结果发生了改变，猜黑是最优决策方案。由例11.11看出，当自然状态的概率发生变化时，按照期望值准则会得到不同的决策结果。因此，讨论决策方案是否稳定是十分必要的，这也就是灵敏度分析的重要作用。上一页下一页返回11.4灵敏度分析11.4.2转折概率根据例11.11，我们有一种考虑:这里p是白球出现的概率，1-p是黑球出现的概率，由连续性可知，存在一个p值使得猜白与猜黑有相同的期望得分，这个p的值是什么?

计算两个方案的数学期望，并使其相等，即

p×500+(1一p)×(一200=p×(一150)+(1一p)×1000解方程后得p=0.65。进一步可知，当p>0.65时，猜白是最优方案;当p<0.65时，猜黑是最优方案。我们称这个使决策结果产生变化的点为转折概率。上一页下一页返回11.4灵敏度分析

例11.12某企业组织一种产品的生产。可供选择的行动(方案)有三个S1(大批量生产),S2(中批量生产),S3(小批量生产)。企业将面临的自然状态有两个:N1(需求大)、N2(需求小)。自然状态发生的概率分别为p,1-p，如表11-13所示，试讨论其转拆概率。解取 ，那么概率与各方案期望收益的关系如图11-6所示。由图11-6可得:p=0.35为转折概率，当p>0.35时，S1是最优方案;当p<0.35时，S3是最优方案。上一页下一页返回11.4灵敏度分析在实际中，我们估计的概率值距转拆概率越远，决策结果越稳定。从例11.12中，我们注意到，无论p选取何值，S2方案永远处于下方，即永远取不到S2方案为决策结果。这种情况下，类似S2方案被称为强劣方案。在实际的决策过程中，要经常将自然状态的概率和损益值等在一定的范围内作几次变动，反复进行计算，考察所得到的数学期望值是否变化很大，是否影响到最优方案的选择。如果这些数据稍加变化，而最优方案不变，那么这个决策方案就是稳定的。否则，这个决策方案就是不稳定的，需要进行进一步的讨论。思考题(1)灵敏度分析的概念和意义是什么?(2)什么是转折概率?转折概率在实际当中有什么应用?上一页返回下一页11.5效用理论在决策中的应用

决策往往受决策人主观意识的影响，决策者在决策时要对所处的环境和未来的发展予以展望，对可能产生的利益和损失作出反应。在公理科学中，把人们这种对于利益和损失的独特看法、感觉、反应或兴趣，称为效用。效用实际上反映了决策者对风险的态度。高风险一般伴随着高收益。对待数个方案，不同的决策者会采取不同的态度和抉择。设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值。，依据决策者的主观愿望和价值取向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用，反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作:u=u(c)。下一页返回上一页11.5效用理论在决策中的应用

在实践中，人们常常不按期望收益准则来做决策。例如，购买保险与购买彩票的数学期望都不如不购买的数学期望值大，但是仍然会有许多人购买;对于同一事物，面对同样的可能状态，不同决策人会采用不同方案，有时同一人在不同的时间也会采用不同的方案。其中的原因是人的观念并不尽相同，有的偏好A，有的偏好B。如同偏好概念那样，效用是决策者价值观念的一种反映，但它不再是一种定性的反映，而是一种数量的表现。或者说，效用是决策者偏好关系的一种度量。它实际上是反映了决策者对待得失(风险)的一种权衡的结果。如同温度是度量热的尺度一样，效用用以度量决策分析中各种可能结果，使之能在数量上进行比较。按照效用理论进行决策分析，应根据决策者的效用函数来计算各方案可能结果的加权期望效用值，并以最大的期望效用值作为选择方案的依据。上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用11.5.1效用与效用曲线效用在决策分析中是一个常用的概念。为了说明这个概念的意义，下面讨论一个决策者的效用函数。我们将通过心理测试的方法进行确定。设决策者面临两种可供选择的收入方案。第一方案:有0.5的概率可得200元，0.5的概率损失100元。第二方案:可得25元。那么决策者愿意接收哪个方案呢?如果按照期望值准则，可以计算得到第一方案的期望值为50元，显然比第二方案的25元多，是否任一个决策者都会选择第一方案呢?回答是否定的，不同的人常常会给出不同的回答。如对甲决策者，他会选择第二方案，即肯定得到25元的收入，他不愿意承担第一方案中50%的失去100元的风险;而对乙决策者，他会选择第一方案，他觉得，即使有损失100元的风险，收入200元的机会也是不应错过的。上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用

如果将第二方案改为付出10元，第一方案不变，还让甲决策者选择，这时他会选择第一方案，与其付出10元，倒不如有机会拿200元。我们把这种决策者对一利益或损失的反应和估价称为机会的效用。效用的具体度量，叫做效用值。它的大小可规定在0与1之间，效用值的大小是相对的数值关系。效用值的大小表示决策者对风险的态度，对某事物的倾向、偏爱等主观因素的强弱程度，是针对决策者本身而言的。一个决策者的效用值如何确定，一种方法是根据决策者对一系列询问的回答结果而定。假定决策目标是求收益最大，这样可把最大收益的效用值定义为1，最小收益的效用值定义为0，而对于其他收益值的效用值的确定可利用已知两收益值的效用值递推出介于两收益值之间的某一个收益值的效用值。具体做法如下。上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用

决策者对如下询问作出回答:首先提出“以0.5的概率获得x收益，以0.5的概率获得y收益”的机会，然后再给出“确一切可得到a收益”的机会，要求决策者必选择其中一个机会。测试者可通过适当调整a的数值，使决策者认为这两种机会一样，选择哪一种都行。即可以认为，对这一名决策者来讲“以0.5的概率获得x收益，0.5的概率获得)收益”的机会的效用值与“确一切可得到a收益”的机会的效用值相等，因此可定义“确一切可得到a收益”的机会的效用值，即a收益的效用值为“以0.5的概率获得x收益，0.5的概率获得y收益”的机会的效用期望值。要达到上面的要求，x收益与y收益的效用值必须已知，显然这一点可做到，如x为最大收益，可取值为u(x)=1;y为最小收益，可取值为u(y)=0。这样可以得到a收益效用值:上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用

保持概率不变，改变x与y的值(两者可都变、也可其中之一变)，再提出一次询问，让决策者进行判断。例如，再提出“以0.5的概率获得x收益，以0.5的概率获得a收益”的机会和“确切可得到b收益”的机会，决策者认为这两种机会一样，选择哪一种都行。即可以认为，对这一名决策者来说，“以0.5的概率获得x收益，0.5的概率获得a收益”的机会的效用值与“确切可得到b收益”的机会的效用值相等。这样可以得到b收益效用值为上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用经过多次重复的询问，可以得到一组收益值与效用值的数对，把这些数对画到平面直角坐标系中，其中收益值为横坐标，效用值为纵坐标，坐标原点为(y，o)(其中y为最小收益值)。然后用光滑曲线将这些点连起来，所得的曲线称为效用曲线(如图11-7所示)，根据以上定义可知此曲线必对应一函数，称此函数为效用函数，记作u(x)理论上已经证明决策者的效用函数是存在的，如果规定了特定的环境、地点和时间，它还是唯一的。上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用11.5.2效用曲线的做法下面结合例题介绍效用曲线的画法。例11.13测试人员对某决策者进行心理测试。

(1)提出下列两种收入方案供决策者选择。第一方案:有0.5的概率可得200元，0.5的概率损失100元。第二方案:可得25元。此时我们假定最大收益为200元，是小收益为-100元，则效用值为u(200)=1，u(-100)=0，就前面提出的两个方案，采用提问方式以确定“以0.5的概率得200元，以0.5的概率付出100元”的机会的效用值。①决策者选第二方案稳拿25元，说明第一方案的效用值小于25元的效用值。②若将第二方案改为付出10元，让决策者选择，此时他若选择第一方案，说明第一方案的效用值大于一10元的效用值。上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用③经过数次询问后，通过调整第二方案的收益值，最后将第二方案改为收入0元，此时，决策者认为两个方案一样，选哪一个都可以，此时可认为0元的效用值与第一方案的效用值相等，即有

(2)提出将第一方案改为“以0.5的概率得200元，以0.5的概率得0元”。第二方案适当调整，经过数次询问后得知，得60元的效用值同第一方案的效用值相等，即

(3)用同样的方法可以得到从一100到0及0到200之间的其他点的效用值。综合前面的分析已有:上一页下一页返回11.5效用理论在决策中的应用将这些点画在平面直角坐标系上，用光滑曲线连起来，这就是决策者的效用曲线，如图11-8中曲线甲所示。效用曲线不仅会因决策者不同而不同，而且同一决策者在不同时间、地点，经济状态的改变，情绪的好坏都会影响到效用曲线。效用曲线大体上可分为三类，保守型(风险厌恶型，凸曲线，如图11-8甲所示)、冒险型(凹曲线，如图11-8乙所示)及中间型(直线，如图11-8丙所示)。保守型(风险厌恶型)表明，当收益值增大时，效用值增大较慢，当收益减少时，效用值减少较快，这类决策者对收益反应较慢，对损失较敏感，属于避免风险的决策者。冒险型则相反。而介于两者之间的直线表明，收益的效用值与收益的期望值成正比关系，是按期望值进行决策的人，另外也有混合型的决策者(如图11-8中的曲线丁)，有研究表