【人教A版2019选择性必修第二册】高二数学同步教学课件5.2.3简单复合函数的导数

第五章

一元函数的导数及应用人教A版2019选择性必修第二册·高二5.1导数的概念及其意义

5.2.3简单复合函数的导数

章节导读导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值学

习

目

标123了解复合函数的概念，理解函数复合的过程，培育逻辑推理的核心素养

能利用复合函数的导数解决与切线有关的问题及实际问题，培育逻辑推理的核心素养旧知回顾导数的四则运算法则新知导入问题1

如何求函数

y＝ln(2x-1)的导数？

这个函数不是由基本初等函数通过四则运算得到的，因此既没有没有相应的求导公式也无法通过导数的四则运算法则来求导.

那么该如何对这个函数进行求导呢？

下面，我们先分析这个函数的结构特点．新知探究追问2

函数y＝ln(2x-1)的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？若设u=2x-1,则y=lnu.如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为

y=f(u)=f(g(x))=

ln(2x-1).从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x-1经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.新知探究

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作：y=f(g(x)).复合函数例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.新知探究试一试：以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1u=－0.05x+3u=x+1y=log2uy=u3u=3x+5y=eu新知探究问题2如何求复合函数的导数呢？以函数y=sin2x为例，研究其导数.（分两步进行）(1)猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu，u=2x的导数有关.以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x定义新知复合函数的导数法则

一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.新知探究函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2＝问题3

现在可以用复合函数的求导法则来求函数

y＝ln(2x-1)的导数了吗？典例分析例6

求下列函数的导数:解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数

根据复合函数求导法则，有y'x＝y'u·u'x=(u3)'·(3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2.(2)y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数

根据复合函数求导法则，有y'x＝y'u·u'x=(eu)'·(－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1.总结规律(1)复合函数求导的基本步骤

(2)求复合函数的导数需要注意以下几点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．方法技巧典例分析例7

某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系式.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.课后练习课本练习课本P811.求下列函数的导数:解：课后练习课本练习课本P811.求下列函数的导数:课后练习课本练习课本P812.求下列函数在给定点处的导数:解：课后练习课本练习课本P81解：复合函数的导数题型一题型探究

BD复合函数的导数题型一题型探究

C复合函数的导数题型一题型探究提分笔记

复合函数与导数四则运算法则的综合应用题型二题型探究【例3】

求下列函数的导数.

复合函数与导数四则运算法则的综合应用题型二题型探究【例3】

求下列函数的导数.

复合函数与导数四则运算法则的综合应用题型二题型探究解题感悟复合函数与导数四则运算法则综合问题的求解方法（1）先利用换元法计算复合函数的导数；（2）再利用导数的四则运算法则求函数的导数；（3）如果求复合函数导数的方法有多种，那么尽可能运用简捷的方法.复合函数的导数的应用题型三题型探究

复合函数的导数的应用题型三题型探究

复合函数的导数的应用题型二题型探究解题感悟求复合函数图象的切线的方法步骤（1）判断问题是求复合函数图象在某点处的切线还是过某点的切线，若不知道切点，则需先设切点的坐标.（2）求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线的点斜式方程，进一步求解.课堂达标

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课堂达标

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课堂小结1.复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).2