【人教A版2019选择性必修第二册】高二数学同步教学课件5.3.1函数的单调性（第2课时）

第五章

一元函数的导数及应用人教A版2019选择性必修第二册·高二5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性（第2课时）

章节导读导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值学

习

目

标123进一步理解函数的单调性与导数的关系能利用函数的单调性去求参数的取值范围、比较大小、解不等式，能利用导数的方法解决相关的单调性问题，培育逻辑推理、数学运算的核心素养.新知导入上节课，我们学习了函数的导数与其单调性的关系，你还记得是什么吗？在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

注

形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.新知探究问题1如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？例3解：

x=ￚ1和x=2把函数定义域划分成三个区间,

f'(x)在各个区间的正负，以及f(x)的单调性如表所示：x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,+∞)f′(x)f(x)xyO-11•2•新知探究追问1你能利用单调性定义求函数

的单调区间吗？……追问2

相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势？不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数转化新知探究利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.第2步，求出导数f′(x)的零点；第1步，确定函数f(x)的定义域；新知探究

三次函数F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的导函数F′(x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．借助二次函数的图像，以及导数和单调性的关系，我们能否得出三次函数的单调性呢？问题2

由于F′(x)=3ax2＋2bx＋c=0，那么根据二次方程根的情况，如何讨论？新知探究情形1若函数F′(x)没有零点，则F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．(1)若a

>

0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．(2)若a<0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．新知探究情形2

函数F′(x)有一个零点x=w，如图．(1)若a

>

0,则F′(x)在(－∞,w)∪(w,＋∞)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．(2)若a<

0,则F′(x)在(－∞,w)∪(w,＋∞)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．新知探究情形3

函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，(1)若a>0,则F′(x)在(－∞,u)和(v,＋∞)为正,在(u,v)为负，F(x)在(－∞，u)上递增，

在(u，v)上递减，

在(v，＋∞)上递增．(2)若a<0,则F′(x)在(－∞,u)和(v,＋∞)为负,在(u,v)为正，F(x)在(－∞，u)上递减，

在(u，v)上递增，

在(v，＋∞)上递减．归纳小结∆F′(x)的图像F(x)的图像F(x)的单调性a>0∆≤0∆>0a<0∆≤0∆>0在(－∞,＋∞)上递增在(－∞，u)上递增在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增在(－∞,＋∞)上递减在(－∞，u)上递减在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减三次函数的单调性课后练习课本练习课本P891.判断下列函数的单调性，并求出单调区间:解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,+∞)f′(x)f(x)xyO-1•1•课后练习课本练习课本P891.判断下列函数的单调性，并求出单调区间:解：x1(1,+∞)f′(x)f(x)xyO•1•课后练习课本练习课本P89证明：函数

的定义域为R.新知探究问题3

如何说明对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况的不同呢？y=lnxxyO1•(1)y=x3xyO(2)结论生成函数增减的快慢与导数的关系

一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：

如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；

反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.典例分析例4设x>0，f(x)=lnx，

两个函数的图象如图所示．判断f(x)，g(x)的图像与C1，C2之间的对应关系.xyO1•解：课后练习课本练习课本P893.函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.xyOabedc解：xyOabedc利用函数的单调性求参数的取值范围题型一题型探究

利用函数的单调性求参数的取值范围题型一题型探究

利用函数的单调性求参数的取值范围题型一题型探究

利用函数的单调性求参数的取值范围题型一题型探究

利用函数的单调性求参数的取值范围题型一题型探究提分笔记

利用函数的单调性比较大小题型二题型探究

C

利用函数的单调性比较大小题型二题型探究

B

利用函数的单调性比较大小题型二题型探究解题感悟利用导数比较大小的注意事项

对于比较大小问题，可直接对函数求导，利用单调性比较大小.注意常数函数的导数恒等于0.比较大小不要漏掉取等号的情况.利用函数的单调性解不等式题型三题型探究

利用函数的单调性解不等式题型三题型探究

利用函数的单调性解不等式题型三题型探究

D

利用函数的单调性解不等式题型三题型探究解题感悟利用导数解不等式的解题思路

对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数的定义域.课堂达标

B

课堂达标

AA.

1

B.

2

C.

3

D.

4

课堂达标

A

课堂达标

课堂小结1.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.第2步，求出导数f′(x)的零点；第1步，确定函数