2025绵阳市英才中学初升高自主招生考试数学试卷带答案

2025绵阳市英才中学初升高自主招生考试数学试卷带答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=x²2x+1在区间（a，b）内单调递增，则a和b满足的条件是（）

A.a<1，b>1

B.a<1，b≥1

C.a≥1，b≥1

D.a≤1，b≥1

答案：D

解析：函数f(x)=x²2x+1的导数为f'(x)=2x2。当f'(x)>0时，函数单调递增。解得x>1。所以，区间（a，b）应满足a≤1，b≥1。

2.已知函数f(x)=2x3，则f(f(x))=（）

A.2x3

B.4x6

C.4x9

D.2x9

答案：C

解析：f(f(x))=2(2x3)3=4x63=4x9。

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²3n，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n1

B.an=2n+1

C.an=4n5

D.an=4n3

答案：D

解析：当n=1时，a1=S1=2(1)²3(1)=1。当n≥2时，an=SnSn1=(2n²3n)[2(n1)²3(n1)]=4n5。所以，通项公式为an=4n5。

4.已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinA=3/5，cosB=4/5，则sinC的值为（）

A.1/5

B.2/5

C.3/5

D.4/5

答案：A

解析：由于sinA=3/5，cosB=4/5，且A+B+C=180°，所以C=180°AB。根据sin(180°x)=sinx，得sinC=sin(180°AB)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(3/5)(4/5)+(4/5)(3/5)=1/5。

5.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k和b满足的关系式为（）

A.k²+b²=1

B.k²+b²=2

C.k²+b²=3

D.k²+b²=4

答案：A

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=|k0+b0|/√(k²+1)=1。解得k²+b²=1。

（以下题目省略解析，仅提供答案）

6.已知函数f(x)=x²2ax+a²1，其中a为实数，求实数a的取值范围，使得f(x)在区间（0，1）内有两个不同的实数根。

答案：a>1

7.若函数f(x)=|x2|+|x3|的最小值为m，求实数m的值。

答案：1

8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²+2n，求该数列的通项公式。

答案：an=6n1

9.若三角形ABC的面积为3，且AB=4，BC=5，求AC的取值范围。

答案：AC∈[3，7]

10.已知直线y=2x+1与圆x²+y²=4相切，求切点坐标。

答案：（3/2，1）

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若函数f(x)=x²2x+1在区间（a，b）内单调递减，则a和b满足的条件是__________。

答案：a≥1，b≤1

12.已知函数f(x)=2x+3，则f(f(x))=_________。

答案：2x+7

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=4n²3n，则该数列的通项公式为__________。

答案：an=8n7

14.若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinA=1/2，cosB=3/4，则sinC的值为__________。

答案：1/4

15.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相离，则k和b满足的关系式为__________。

答案：k²+b²>1

（以下题目省略解析，仅提供答案）

16.已知函数f(x)=x²3x+2，求实数a的取值范围，使得f(x)在区间（1，2）内有两个不同的实数根。

答案：a∈(2，3)

17.若函数f(x)=|x1|+|x+1|的最小值为m，求实数m的值。

答案：2

18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=5n²4n，求该数列的通项公式。

答案：an=10n9

19.若三角形ABC的面积为6，且AB=5，BC=4，求AC的取值范围。

答案：AC∈[3，7]

20.已知直线y=3x2与圆x²+y²=9相切，求切点坐标。

答案：（2/√13，1/√13）

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x²4x+3，求实数a的取值范围，使得f(x)在区间（0，3）内有两个不同的实数根。

答案：a∈(3，4)

解析：f(x)在区间（0，3）内有两个不同的实数根，即f(x)=0在区间（0，3）内有两个不同的实数根。令f(x)=0，得x²4x+3=0，解得x1=1，x2=3。所以，实数a的取值范围为a∈(3，4)。

22.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+3n，求该数列的通项公式。

答案：an=