2025年福建省高起专数学（理科）考试真题及答案

2025年福建省高起专数学（理科）考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^36x+9在区间（∞，a）上是减函数，求实数a的取值范围。

A.a≤2

B.a≤3

C.a≤4

D.a≤5

答案：B

解析：求导数f'(x)=3x^26，令f'(x)<0，解得x<1或x>2。因此，函数在区间（∞，1）和（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数。所以a的取值范围是a≤3。

2.若函数y=f(x)的图像关于点（1，2）对称，则f(3)的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

解析：因为函数图像关于点（1，2）对称，所以f(3)=2×2f(1)=4f(1)。由于f(1)=2，所以f(3)=4。

3.若a、b是方程x^2(a+1)x+b=0的两个实根，且a、b满足a+b=4，则方程的判别式Δ的取值范围是：

A.Δ>0

B.Δ=0

C.Δ<0

D.无法确定

答案：A

解析：根据韦达定理，a+b=a+1+b=4，所以a+1=4，解得a=3。由于a、b是实根，所以判别式Δ=(a+1)^24b≥0。将a=3代入，得Δ=164b≥0，解得b≤4。因此，Δ>0。

4.若函数g(x)=x^22x+c在区间（∞，2）上是减函数，求实数c的取值范围。

A.c≤1

B.c≤2

C.c≤3

D.c≤4

答案：C

解析：求导数g'(x)=2x2，令g'(x)<0，解得x<1。因此，函数在区间（∞，1）上是减函数。要使函数在区间（∞，2）上是减函数，则c≤3。

5.若函数h(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（2，3），求a、b、c的值。

A.a=1，b=4，c=3

B.a=1，b=4，c=3

C.a=1，b=4，c=3

D.a=1，b=4，c=3

答案：A

解析：开口向上说明a>0。顶点坐标为（2，3），所以h(2)=3，代入得4a+2b+c=3。另外，顶点的横坐标为b/(2a)=2，解得b=4a。将b=4a代入4a+2b+c=3，得8a+c=3。联立方程组求解，得a=1，b=4，c=3。

6.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的取值范围是：

A.k^2+m^2>1

B.k^2+m^2=1

C.k^2+m^2<1

D.k^2+m^2≥1

答案：D

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+m10|/√(k^2+1)=1。化简得k^2+m^2≥1。

7.已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，求该数列的通项公式。

A.an=2n1

B.an=n^2

C.an=2n

D.an=n^2+n

答案：A

解析：an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。

8.若a、b是方程x^2(a+b)x+ab=0的两个实根，且a、b满足a/b+b/a=4，则a+b的取值范围是：

A.a+b>4

B.a+b=4

C.a+b<4

D.a+b≥4

答案：D

解析：由a/b+b/a=4，得a^2+b^2=4ab。代入a+b的平方，得(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)=(4ab+2ab)=6ab。因为a、b是实根，所以ab>0。所以a+b的取值范围是a+b≥4。

二、填空题（每题5分，共40分）

1.函数y=x^33x在区间（∞，2）上是______函数。

答案：减

解析：求导数y'=3x^23，令y'<0，解得x<1。因此，函数在区间（∞，1）上是减函数。

2.若函数y=f(x)的图像关于点（1，2）对称，则f(1)=______。

答案：0

解析：因为f(1)+f(3)=2×2，又f(3)=4，所以f(1)=0。

3.方程x^24x+3=0的根是______。

答案：1，3

解析：因式分解得(x1)(x3)=0，解得x=1或x=3。

4.若函数g(x)=x^22x+c在区间（∞，2）上是减函数，则c的取值范围是______。

答案：c≤3

解析：求导数g'(x)=2x2，令g'(x)<0，解得x<1。因此，函数在区间（∞，1）上是减函数。要使函数在区间（∞，2）上是减函数，则c≤3。

5.若函数h(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（2，3），则a=______，b=______，c=______。

答案：1，4，3

解析：开口向上说明a>0。顶点坐标为（2，3），所以h(2)=3，代入得4a+2b+c=3。另外，顶点的横坐标为b/(2a)=2，解得b=4a。将b=4a代入4a+2b+c=3，得8a+c=3。联立方程组求解，得a=1，b=4，c=3。

6.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的取值范围是______。

答案：k^2+m^2≥1

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+m10|/√(k^2+1)=1。化简得k^2+m^2≥1。

7.已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则该数列的通项公式是______。

答案：an=2n1

解析：an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。

8.若a、b是方程x^2(a+b)x+ab=0的两个实根，且a、b满足a/b+b/a=4，则a+b的取值范围是______。

答案：a+b≥4

解析：由a/b+b/a=4，得a^2+b^2=4ab。代入a+b的平方，得(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)=(4ab+2ab)=6ab。因为a、b是实根，所以ab>0。所以a+b的取值范围是a+b≥4。

三、解答题（共20分）

1.（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间。

解：求导数f'(x)=3x^26x。令f'(x)>0，解得x<0或x>2。因此，函数在区间（∞，0）和（2，+∞）上是增函数。令f'(x)<0，解得0<x<2。因此，函数在区间（0，2）上是减函数。所以f(x)的单调增区间为（∞，0）和（2，+∞），单调减区间为（0，2）。

2.（10分）已知数列{an}的通项公式为an=2n1，求该数列的前n项和Sn。

解：数列{an}的前n项