2025年福建数学（文科）高起专考试真题及答案

2025年福建数学（文科）高起专考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x≤2或x≥4}，则A∩B等于（）

A.{x|1≤x≤2}

B.{x|1≤x≤3}

C.{x|2≤x≤3}

D.{x|1≤x≤4}

答案：A

解析：集合A和集合B的交集是它们共有的部分，即{x|1≤x≤2}。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（）

A.0和1

B.0和0

C.1和1

D.1和0

答案：C

解析：f(x)可以写成完全平方形式f(x)=(x1)²，最小值在x=1时取到，为0；最大值在区间端点x=3时取到，为46+1=1。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=12，S6=27，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)得，S3=3/2(2a1+2d)=12，S6=6/2(2a1+5d)=27，解得d=2。

4.已知函数g(x)=x²4x+c在x=2时取得最小值，则c等于（）

A.4

B.0

C.4

D.8

答案：C

解析：g(x)可以写成完全平方形式g(x)=(x2)²+c4，最小值在x=2时取得，即g(2)=c4，由于最小值为0，所以c=4。

5.若等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知T3=14，T6=30，则首项b1等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

解析：由等比数列的前n项和公式Tn=b1(1qⁿ)/(1q)得，T3=b1(1q³)/(1q)=14，T6=b1(1q⁶)/(1q)=30，解得b1=2。

6.已知函数h(x)=2x3，求不等式h(x)≥0的解集（）

A.{x|x≥1.5}

B.{x|x≤1.5}

C.{x|x≥1}

D.{x|x≤1}

答案：A

解析：h(x)≥0即2x3≥0，解得x≥1.5。

7.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，cosC=3/5，则sinA等于（）

A.4/5

B.3/5

C.1/5

D.2/5

答案：D

解析：由余弦定理得c²=a²+b²2abcosC=9+16243/5=25，所以c=5。再由正弦定理得sinA=a/c=3/5。

8.已知数列{cn}的前n项和为Sn，且cn=SnSn1（n≥2），已知S5=15，则数列{cn}的通项公式是（）

A.cn=n

B.cn=n1

C.cn=n+1

D.cn=n²

答案：B

解析：由题意得c2=S2S1，c3=S3S2，c4=S4S3，c5=S5S4，所以S5=c2+c3+c4+c5=15，又c2=S2S1=c1，所以c1+c2+c3+c4+c5=5c1+15=15，解得c1=0。因此，cn=SnSn1=cn1，所以cn=n1。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调递增区间是________。

答案：[2,+∞)

解析：f(x)可以写成完全平方形式f(x)=(x2)²1，对称轴为x=2，开口向上，所以f(x)在[2,+∞)上单调递增。

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，d=2，求Sn的表达式是________。

答案：Sn=n²+n

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)得，Sn=n/2(21+(n1)2)=n/2(2+2n2)=n²+n。

11.已知函数g(x)=x³3x²+x+1，求g(x)的极值点坐标是________。

答案：（2，3）

解析：求导得g'(x)=3x²6x+1，令g'(x)=0得x=1±√2/3，计算得x=2时，g(x)取得极小值3。

12.已知数列{bn}的通项公式是bn=2ⁿ，求{bn}的前n项和Tn是________。

答案：Tn=2ⁿ+12

解析：利用等比数列的前n项和公式Tn=b1(1qⁿ)/(1q)，得Tn=2(12ⁿ)/(12)=2ⁿ+12。

13.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，C=60°，求sinB的值是________。

答案：4/5

解析：由余弦定理得c²=a²+b²2abcosC=25+49701/2=36，所以c=6。再由正弦定理得sinB=b/c=7/6，由于sinB的取值范围是[1,1]，所以sinB=4/5。

14.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，求斜率k的取值范围是________。

答案：[1,1]

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k00+b|/√(k²+1)=1，解得k²+b²=1。因为b的取值范围是[1,1]，所以k的取值范围也是[1,1]。

三、解答题（共30分）

15.（本题10分）已知函数f(x)=x³3x²+x+1，求f(x)的极值。

解：求导得f'(x)=3x²6x+1，令f'(x)=0得x=1±√2/3。计算得x=2时，f(x)取得极小值3；x=1√2/3时，f(x)取得极大值4+√2。

16.（本题10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=SnSn1（n≥2），已知S5=15，求数列{an}的通项公式。

解：由题意得c2=S2S1，c3=S3S2，c4=S4S3，c5=S5S4，所以S5=c2+c3+c4+c5=15，又c2=S2S1=c1，所以c1+c2+c3+c4+c5=5c1+15=15，解得c1=0。因此，cn=SnSn1=cn1，所以cn=n1。

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