中考数学总复习《二次函数综合-线段周长问题》专项检测卷（含答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《二次函数综合-线段周长问题》专项检测卷（含答案）1．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来．2．已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D的横坐标是h．(1)直接写出h的值；(2)如图（1），当时，点E是第一象限抛物线对称轴上的一点，连接，过E作交抛物线于F，若，求点F坐标；(3)抛物线上有不同的两点P，Q，其横坐标分别为m，，抛物线上点P与Q之间的部分记为W区域，当时，W区域的二次函数的最大值与最小值的差是2，求a的范围．3．对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为．(1)求二次函数的解析式．(2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长．(3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值．4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值．6．综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作轴于点D，交于点E，过点P作直线，交y轴于点F，交于点G，连接，过点C作于点H．(1)求二次函数的表达式，并直接写出直线的函数表达式．(2)求线段的最大值．(3)在点P运动的过程中，是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标；(3)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N.试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．8．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标；(3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且．①求l与m的函数解析式；②当时，直接写出m的值．9．如图，已知二次函数图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接．

(1)求；(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．10．如图，抛物线：过点，顶点为M．(1)求b的值及点M的坐标；(2)点在上，若，直接写出的取值范围；(3)抛物线：（t为常数，且），顶点为N．与交于A，B（A在B的左侧）两点．①当时，求在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数；②连接，，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标．11．二次函数经过点，，．

(1)求该二次函数的解析式；(2)设点的横坐标为，过点作轴交直线于点，轴交对称轴于点，以、为边构造矩形，当矩形的周长最大时，求点的坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，与直线交于点，点为平移后抛物线对称轴上一点，点为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点、、、构成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标．参考答案1．(1)(2)(3)或或或【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等等：（1）由待定系数法即可求解；（2）点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解；（3）求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解．【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，∵点关于对称轴对称，∴，∴，∴当三点共线时，最小，即此时最小，∴与对称轴的交点即为点，如下图，设直线解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为；当时，，∴；（3）解：∵，∴，∴，当为顶点时，则，∴点的坐标为或；当为顶点时，则，∴点与点关于轴对称，∴点的坐标为；当为底边时，则，设点P的坐标为，∴，解得∴点的坐标为；综上，点的坐标为或或或．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．2．(1)(2)点坐标是或(3)当或时，；当时，【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）由抛物线顶点式即可得出答案．（2）分两种情况，当F在对称轴右侧的抛物线上和点F在对称轴左侧的抛物线上，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质，结合求解即可．（3）分两种情况求解，(i)当P，Q两点位于对称轴同侧抛物线上时和(ii)当P，Q两点位于对称轴异侧抛物线上时，利用函数的图像和性质求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴；（2）解：设抛物线的对称轴交x轴于点G，过F作于H，∵，∴，∴当时，，解得，，∴，∵，∴，设，则，，如下图，当时，由得，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，解得：（舍去），，∴；如下图，当时，，，同理可得，∴，∵，∴，，∵，∴，解得(舍去)，，∴；综上所述，点F坐标是或；（3）解：(i)当P， Q两点位于对称轴同侧抛物线上时，当，即时，当时，，，∴，化简得，∵当时，，∴即，又，∴，当时，当时，，，，化简得，当时，，∴即，又，∴；(ii)当P，Q两点位于对称轴异侧抛物线上时，此时，当，时，此时，即，∴，化简得，当，，故，当，时，此时，即，∴，化简得，当时，，故，综上所述，当或时，，当时，．3．(1)(2)2(3)【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可；（2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，，，根据，可推出，据此可得答案；（3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为，∴对称轴为直线，∴，∴，把代入到中得，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：在中，当时，解得或，∴，在中，当时，，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为；设，则，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵P，Q两点不重合，即，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为．4．(1)(2)①；(3)存在；点的坐标为或或【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可；（2）①过点作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，则；当最大时，有最大值；设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点的坐标，则对称轴为：，设点，根据两点间的距离公式，即可；（3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可．【详解】（1）∵抛物线经过点，点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）过点作于点，过点作轴交于点，∵点，点，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；∴当最大时，有最大值，设的解析式为，∴，∴，解得：，∴设的解析式为，设点且，∴点，∴，∵，∴当时，有最大值，∴；②∵，∴点，∵点，∴对称轴为：，设点，∵，，∴，，∴，解得：，∴．

（3）存在，理由如下：由（2）得，对称轴为；设点，，①当为平行四边形的对角线时∴，解得：，∴点，；②当为平行四边形的对角线时；∴，解得：，∴点，；③当为平行四边形的对角线时，∴，解得：，∴点，；

综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的几何变换，平行四边形的判定和性质，学会使用数形结合的方法．5．(1)，(2)【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标即可求解；（2）作点关于x轴的对称点，连接，可知与x轴交点即为的值最小时，利用待定系数法求得解析式为，令，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，∴，∴抛物线的解析式为．∵顶点坐标，∴．（2）作点关于x轴的对称点，连接，则，∴与x轴交点即为的值最小时，设解析式为，代入，，，∴，，令，解得，即．6．(1)抛物线解析式为，直线解析式为(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设，则，则；解直角三角形得到，则，可证明，得到，证明，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为；（3）如图所示，当点F在x轴下方时，过点F作交延长线于M，则四边形是矩形，则，由，得到，，则，根据，得到，解方程即可得到答案；同理求出当点F在x轴下上方时点F的坐标即可．【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴抛物线解析式为；在中，当时，，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为；（2）解；设，则，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵轴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴当时，有最大值，最大值为；（3）解：如图所示，当点F在x轴下方时，过点F作交延长线于M，则四边形是矩形，∴，由（2）得，，，∵，∴，，∴，在中，，∴，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，∴；如图所示，当点F在x轴下上方时，过点F作交于N，同理可得，在中，，∴，

解得或（舍去），经检验，是原方程的解，∴；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式等等，解（2）的关键在于证明，进而把求的最大值转换成求的最大值，解（3）的关键在于分两种情况，通过全等三角形的性质把所需线段转换到一个直角三角形中进行求解．7．(1)(2)线段的最大值，此时D点坐标为(3)8【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过点D作轴于点F，交于点G，则轴，得为等腰直角三角形，求出直线解析式为，设点D坐标为，列得，当时，最大，此时，，线段的最大值；（3）由翻折得抛物线的解析式为，可设直线JI的解析式为，直线FJ的解析式为，当时，，得，，同理可求：，故的定值为8【详解】（1）解：抛物线经过点，抛物线的解析式为（2）如图1，过点D作轴于点F，交于点G，则轴，

图1抛物线解析式为∵轴为等腰直角三角形，设直线解析式为解得，，，直线解析式为设点D坐标为点G坐标为当时，最大，此时，线段的最大值，此时D点坐标为；（3）是定值，理由如下：将抛物线沿y轴翻折得到抛物线的解析式为直线JI经过，可设直线JI的解析式为、I在抛物线上，可设，，，整理得：，，，，

设直线FJ的解析式为，则有解得，直线FJ的解析式为，当时，，解得：，，，同理可求：，；故的定值为8【点睛】此题考查二次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，线段最值，二次函数与抛物线的交点问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键8．(1)(2)(3)①；②或【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合．（1）把点B坐标为，点C坐标为代入列方程计算即可；（2）过作轴交于，设，则，根据表示出面积，最后求最大值即可；（3）①设，则，，点P到y轴的距离为，，再分情况讨论去绝对自即可；②根据结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：点B坐标为，点C坐标为，则，设直线解析式为，把代入，解得，∴直线解析式为，过作轴交于，设，则，∴，∴，∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时；（3）解：①设，∵过点P作轴，交直线于M，∴，∴，点P到y轴的距离为，∴，当时，；当时，；当时，；综上所述，；②∵，∴当时，，解得（舍去）或；当时，，整理得，方程无解；当时，，整理，解得或（舍去）；综上所述当时，或．9．(1)4(2)当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为(3)使以为边的菱形的N点有：【分析】（1）已知函数解析式，分别令，解方程即可求得B、C、D的坐标，再运用三角形面积公式即可求得答案．（2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值．（3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．【详解】（1）解：当时，，∴，当时，，解得：∴∴∴（2）解：设直线的解析式为，则解得：，∴直线的解析式为，设，∵∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，∴，∴，∴∴∵∴是等腰直角三角形，∴∴∵∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．平移后抛物线解析式为：，对称轴为直线．故设点又∴由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况：如图1，当时，

则，解得：由平行四边形对角线互相平分可知：∴②如图2，当时，

则解得：∴∴综上：使以BM为边的菱形的N点有：【点睛】题目主要考查二次函数综合题．综合性较高，要求学生有较强的逻辑推理能力和计算能力．10．(1)，(2)(3)①4个；②【分析】（1）把点代入抛物线：，即可求出b的值，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点M的坐标；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）①当时，抛物线为，解方程组，得到点A，B的坐标，即可求出在点A，B之间（含边界）的整点个数；②设抛物线与的交点的坐标为，B的坐标为，联立与的解析式，组成的方程组，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可推出，，因此线段的中点坐标为．求出抛物线的顶点N的坐标为，可得线段的中点坐标为，因此线段与线段的中点重合，即为点P，即可解答．【详解】（1）解：∵抛物线：过点，∴，解得，∴抛物线为．∵，∴顶点M的坐标为．（2）解：∵抛物线：的开口向上，顶点为，∴当时，函数值y有最小值，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．∵当时，，当时，，∴当，的取值范围为．（3）解：①当时，抛物线为，即，解方程组，得或，∴，，把代入抛物线：，得，把代入抛物线：，得，把代入抛物线：，得，∴在点A，B之间（含边界）的整点有，，，，共有4个．②设抛物线与的交点的坐标为，B的坐标为，由抛物线与的解析式组成的方程组，得，整理，得，∴，，∵，，∴，∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为．∵抛物线：，∴顶点N的坐标为，∵抛物线：的顶点为，∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为．∴线段与线段的中点重合，∵与交于点P，∴点P为线段与线段的中点，其纵坐标为．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数关系，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．11．(1)；(2)；(3)点的坐标为或或【分析】（1）根据点、、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用待定系数法可求出直线的解析式，由题意，，可表示出和的长，则周长可用表示，由二次函数的性质可求出周长的最大值，即可得点的坐标；（3）求出新抛物线，分两种情况考虑：当为对角线时或为边时，由菱形的性质即可求解．【详解】（1）抛物线经过点，设抛物线的解析式为，把，代入中，，解得，抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，点，，，解得，直线的解析式为，点的横坐标为，，，抛物线的解析式为；，，，矩形的周长，即当时，矩形的周长取最大值，此时点的坐标为；（3）将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线，与直线交于点，，设，如图1，若以为对角线，四边形为菱形，

，，，，解得，，点的坐标为；如图2，若以为边，四边形为菱形，

，，，，，解得或，或，点的坐标为或；综上，点的坐标为或或【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移和菱形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．12．(1)(2)(3)或【分析】（1）将点代入抛物线的解析式可得，根据二次函数