2026届新高考数学三轮热点复习排列组合

2026届新高考数学三轮热点复习排列组合1.计数原理(1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=___________________种不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=____________________种不同的方法.

m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn2.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照________________排成一列

组合作为一组3.排列数与组合数(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数,用符号_______表示.

(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有______________的个数,用符号____表示.

一定的顺序不同排列不同组合

4.排列数、组合数的公式及性质公式性质

n(n−1)(n−2)…(n−m+1)

1n!1

√√××

√

√

√5.(选择性必修第三册P5例3变式)书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书,不同的取法种数为________;从第1,2,3层各取1本书,不同的取法种数为________.

【解析】由分类加法计数原理知,从书架上任取1本书,不同的取法种数为4+5+6=15.由分步乘法计数原理知,从第1,2,3层各取1本书,不同的取法种数为4×5×6=120.15120考点突破强技能考点一

两个计数原理的应用【例1】(1)(2025·红桥区模拟)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格中,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有(

)A.6种 B.9种 C.18种 D.24种【解析】选B.第一步:先把数字1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步:把第一步中数字1填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一,又有3种方法,第三步:填余下的两个数字,只有1种填法,共有3×3×1=9(种)填法.√(2)(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有________种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是________.

1121314012223342132233431524344424112【解析】第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法;第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的数,共有3种不同的选法;第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2种不同的选法;第四步,从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1种选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为4×3×2×1=24.先按列分析,每列必选出一个数,故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再按行分析,第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5,故从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第4行选15,此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.【解题技法】利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事.(2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题,一般是先分类再分步.【训练1】(1)从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为(

)A.7 B.9 C.10 D.13【解析】选C.各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形:①由1,1,4三个数字组成的三位数:114,141,411,共3个;②由1,2,3三个数字组成的三位数:123,132,213,231,312,321,共6个;③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数,即222.所以共有3+6+1=10(个).√

√(3)(2025·临沂模拟)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有(

)A.48种 B.36种 C.24种 D.12种【解析】选B.由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法,根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法.√【加练备选】有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是(

)A.14 B.23 C.48 D.120【解析】选C.分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48.√

√

√

1或4

5【解题技法】(1)熟练掌握排列数公式、组合数公式,注意公式之间的联系,不要混淆.(2)掌握排列数公式与组合数公式的性质,在解题中灵活运用.

【解题技法】求解排列问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中定序问题对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法

√

672角度2

组合问题【例3】(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).

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【解题技法】组合问题两类题型的解题策略(1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩