概率的基本性质-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

概率的基本性质事件的关系或运算含义符合表示韦恩图包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立知识回顾1.互斥事件与对立事件如是何定义的？2.古典概型的特征是什么？(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.3.古典概型的概率计算公式互斥对立A与B不能同时发生A与B有且仅有一个发生A∩B=

A∩B=

,A∪B=Ω知识回顾学习目标1.理解概率的性质；2.掌握随机事件概率的运算法则；3.会利用互斥事件的概率加法公式及其他概率的性质,计算随机事件的概率.研读教材，思考问题阅读课本241--244页，完成以下问题：问题1：概率的性质。问题2：互斥事件与对立事件的概率。新课导入

一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.

例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.类似地，在给出了概念的定义后，我们来研究概率的基本性质.概率取值范围？特殊事件发生的概率？具有特殊关系的事件，它们的概率之间的关系？问题1：你认为可以从哪些角度研究概率的性质?新知探究由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,

不可能事件一定不会发生.概率的性质：一般地，可得概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，

即P(Ω)=1，P(

)=0.新知探究问题2：设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系?我们用10.1.2节例6来探究.例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.

R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”.则事件R和G的关系是

，

互斥事件R∪G=“

”

两次摸到球颜色相同n(Ω)=12n(R)=2n(G)=2n(R∪G)=2+2=4所以P(R)+P(G)==P(R∪G)新知探究

事实上，若事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，则n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于P(A∪B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们就得到互斥事件的概率加法公式.即性质3：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).推论:

若事件A1,A2,…,Am两两互斥,则

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).新知探究问题3：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系?事件A与事件B互为对立事件事件A∪B为必然事件P(A∪B)=1事件A与事件B为互斥事件P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A)+P(B)=1性质4：若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).

即P(A)+P(B)=1.如：从10名同学(6男4女)中选3人呢，则P(至少有1男)=______________1－P(3女)1男2女2男1女3男0女0男3女（正难则反）新知探究问题4：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？如：掷一枚质地均匀的骰子,事件A=“点数为1”,事件B=“点数为奇数”则P(A)_____P(B).≤∵A⊆B，∴n(A)≤n(B)，即P(A)≤P(B).性质5：(概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B).∵

⊆A⊆Ω，∴P(

)≤P(A)≤P(Ω)，即0≤P(A)≤1.推论：任何事件的概率在0~1之间：

0≤P(A)≤1(概率的取值范围)新知探究问题5

在10.1.2节例6的摸球试验中，R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).n(Ω)=12n(R1)=6

n(R2)=6

n(R1∪R2)=10

n(R1∩R2)=2

n(R1∪R2)=n(R1)+n(R2)－n(R1∩R2)P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2)性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).追问

性质6和性质3是什么关系呢？新知探究性

质1性质2

性质3

性质4

性质5性质6

由此我们得到概率的6大性质如下，可以简化概率的计算.对任意的事件A，都有P(A)≥0.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(

)=0.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).(概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B).设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).新知探究

典型例题

例12：为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？

典型例题我们借助树状图或列表来求相应事件的样本点数.

典型例题

典型例题

同步练习

同步练习变式1-2：某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如右表：

随机选取一名被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？男生人数女生人数总人数赞成18927反对122537不发表看法201636合计5050100

同步练习

同步练习变式2-1：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；

(2)该队员最多属于两支球队的概率．

同步练习练习3：从1，2，3，…，30中任意选一个数，求这个数是偶数或能被3整除的概率.

同步练习例题1

(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；(2)小明数学考试及格（60分及60分以上为及格）.

题型一:互斥事件概率公式能力提升

例题2盒子里装有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号