基本立体图形（第2课时+圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.1

基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征学习目标1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,认识这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.3.了解简单组合体的概念和基本形式.4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述现实生活中简单物体的结构特征.基础落实·必备知识一遍过知识点1

圆柱的结构特征

圆柱及相关概念图形及表示定义以

所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

用表示它的轴的字母表示

图中圆柱记作:圆柱O'O相关概念轴:

叫做圆柱的轴;

底面:

的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;

侧面:

的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;

母线:无论旋转到什么位置,不垂直的边都叫做圆柱侧面的母线矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴名师点睛圆柱的性质(1)圆柱的底面是两个半径相等的圆面,两圆面所在平面互相平行.(2)通过轴的各个截面叫做轴截面,轴截面是全等的矩形.(3)母线平行且相等,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高.思考辨析圆柱上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线是圆柱的母线吗?提示

不一定.圆柱的母线与圆柱的轴是平行的.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱的两个底面互相平行.(

)(2)圆柱的母线长度与圆柱的高相等.(

)(3)圆柱的母线与圆柱的轴平行.(

)√√√2.下列图形中是圆柱的序号为

.

②

解析

由圆柱的几何特征知②为圆柱.3.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?提示

边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.知识点2

圆锥的结构特征

圆锥及相关概念图形及表示定义以直角三角形的

所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

用表示轴的字母表示

图中圆锥记作:

相关概念轴:旋转轴叫做圆锥的轴;底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线

母线即为直角三角形的斜边一条直角边

圆锥SO名师点睛圆锥具有以下性质:(1)圆锥的底面是一个圆面,圆面的半径就是直角边OA的长,底面和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆面.(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰三角形,如△SAB.(4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形,如等腰三角形SAC.(5)母线都过顶点且相等,各母线与轴的夹角相等.思考辨析以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥,这句话对吗?提示

不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆锥的轴截面是等腰三角形.(

)(2)圆锥的底面半径、高、母线构成一个直角三角形.(

)√√2.已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=

.

3解析

如图,A是底面圆周上一点,SA为母线,连接SO,OA.3.(苏教版教材例题)如图,将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单空间图形构成的?解

这个空间图形是由圆柱和圆锥组合而成的,如图.知识点3

圆台的结构特征

圆台及相关概念图形及表示定义用

于圆锥底面的平面去截圆锥,

与截面之间的部分叫做圆台;以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台

用表示它的轴的字母表示

图中圆台记作:

相关概念轴:旋转轴叫做圆台的轴;底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面;侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆台的母线平行

底面

圆台O'O名师点睛圆台具有以下性质:(1)圆台的底面是两个半径不等的圆面,两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆面.(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰梯形,如梯形ABB1A1.(4)任意两条母线确定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形,如梯形ACC1A.(5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(

)(2)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(

)××2.(北师大版教材习题)一个圆台的高为4cm,上底面和下底面直径分别为2cm和8cm,求圆台的母线长.解

如图,作出圆台的轴截面,则OO1=4,AB=2,CD=8,过点B作BE⊥CD于点E,知识点4

球的结构特征

球及相关概念图形及表示定义

所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球

用表示球心的字母表示

图中的球记作:

相关概念球心:半圆的

叫做球的球心;半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径

半圆以它的直径

圆心

球O名师点睛用平面截球截面为圆面,过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,不过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.思考辨析球面与球是同一概念吗?提示

不是,球是球体的简称,它是球面所围成的几何体,通俗地讲,篮球可抽象成球面,铅球可抽象为球.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)球面简称球.(

)(2)连接球面上任意两点的线段不大于球的直径.(

)(3)球的直径必经过球心.(

)×√√2.下列空间几何体的截面一定是圆面的是(

)

A.圆台

B.球

C.圆柱

D.圆锥B解析

对于A,圆台的截面可能是等腰梯形,故A错误;对于B,球的截面一定是圆面,故B正确;对于C,圆柱的截面可能是矩形,故C错误;对于D,圆锥的截面可能是等腰三角形,故D错误.故选B.3.过球面上任意两点A,B作大圆,可能的个数是(

)A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确B解析

当直线AB经过球心时,经过A,B的平面截球面所得的圆都是球的大圆,这时过A,B作球的大圆有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的平面截球面所得就是一个大圆,这时只能作出一个大圆.知识点5

简单组合体1.简单组合体的概念:由

组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组成的.

2.简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体

而成;一种是由简单几何体

或

一部分而成.

简单几何体

拼接

截去

挖去

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)现实世界中的物体表示的几何体多是由简单几何体组合而成.(

)(2)简单组合体的构成都是由简单几何体拼接而成.(

)√×2.如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.重难探究·能力素养速提升探究点一旋转体的结构特征【例1】

下列说法正确的是

.(填序号)

①以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥;②半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球;③用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.④以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台;⑤圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.①②③⑤

规律方法

1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.变式训练1下列说法:①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个;②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;④球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段.其中正确的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3C解析

②错误,截面可能是一个三角形;③错误,圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;①④正确.故选C.探究点二组合体的结构特征【例2】

描述下列几何体的结构特征.解

图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.规律方法

判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧:(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?解

旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.探究点三旋转体中的计算【例3】

如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O的母线长.解

设圆台的母线长为l

cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r

cm,4r

cm.过轴SO作截面,如图.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3

cm,故圆台的母线长为9

cm.规律方法

1.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算,可利用轴截面求解,即将立体问题平面化.2.利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.变式训练3已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.本节要点归纳1.知识清单:(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳:分类讨论、转化与化归.3.常见误区:同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.学以致用·随堂检测促达标123451