简单随机抽样-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章统计9.1.1简单随机抽样学习目标1.了解全面调查与抽样调查的异同.2.理解抽样调查的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.4.了解总体均值、样本均值的定义和求解公式.基础落实·必备知识一遍过知识点1

全面调查、抽样调查及抽样方法1.全面调查和抽样调查调查方式全面调查抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查调查方式全面调查抽样调查相关概念总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体(也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体)个体:组成总体的每一个调查对象称为个体(也可以把每一个调查对象的相应指标作为个体)样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本样本容量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量2.两种基本的抽样方法

思考辨析抽样调查的优点有哪些?提示

抽样调查由于只抽取一部分个体进行调查,因此具有花费少、效率高的特点.在总体的调查中,如果经费、时间等方面受限,或者调查具有破坏性,那么抽样调查是比较合适的调查方法.自主诊断1.

在以下调查中,适合用全面调查的个数是(

)①调查一个班级学生的吃早餐情况②调查某种饮料质量合格情况③调查某批飞行员的身体健康指标④调查某个水库中草鱼的所占比例

A.1 B.2 C.3 D.4B解析

①因为一个班级学生的人数不太多,调查学生吃早餐的情况也容易操作,所以适合全面调查;②某种饮料数量太多,质量合格情况适合抽样调查;③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查;④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多,不适合全面调查.故选B.2.为了了解所加工的一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,则这200个零件的长度是(

)A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量C解析

由样本的概念知这200个零件的长度是总体的一个样本.3.(人教B版教材习题)如果要了解一批节能灯的寿命,应该用普查还是抽样调查?简述理由.解抽样调查.因为要了解一批节能灯的使用寿命,调查过程带有破坏性,只能采取抽样调查,而不能将整批节能灯全部用于试验,所以不宜采用普查,而应采用抽样调查.知识点2

简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中

抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.

逐个

说明:(1)通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(2)除非特殊声明,本章中所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样,这是因为与放回简单随机抽样相比,不放回简单随机抽样的效率更高,因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样.自主诊断1.对于简单随机抽样,下列说法正确的是(

)①它要求被抽取样本的总体的个体数有限;②它是从总体中逐个进行抽取的,以便在抽样实践中进行操作;③它分不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样;④它是一种等可能抽样,在整个抽样过程中,每个个体被抽到的机会相等,从而保证了这种抽样方法的公平性.

A.①②③ B.①②④

C.①③④ D.①②③④D解析

对于①,简单随机抽样要求样本的总体个数有限,这样才能保证样本能够很好地代表总体,所以①正确;对于②,由于总体数量是有限的,所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取,以便在抽取实践中进行操作,所以②正确;对于③,简单随机抽样分不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样,所以③正确;对于④,随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中,这是基于对样本数据代表性的考虑,所以④正确.故选D.2.下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为(

)①将500个个体编号,把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个作为样本;②某班有55个同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛;③福利彩票用摇奖机摇奖.

A.1 B.2 C.3 D.0B解析

②不是等可能抽取,故不是简单随机抽样,①③是简单随机抽样.知识点3

抽签法和随机数法1.抽签法先给个体编号,然后把所有编号写在外观、

质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.抽签法简单易行,但当总体较大时,操作起来比较麻烦.因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形.2.随机数法先给个体编号,用随机数工具产生编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.

如果生成的随机数有重复,即同一编号被多次抽到,可以剔除重复的编号并重新产生随机数,直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数.思考辨析采用抽签法抽取样本时,为什么将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀?提示

为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抽签法和随机数法都是不放回抽样.(

)(2)抽签法抽签时,先抽签的人占便宜.(

)(3)生成随机数的方式多种多样,可以用随机试验生成随机数,也可用计算器、数学软件、统计软件生成随机数.(

)(4)在使用随机数法时,各个个体的编号位数要相同.(

)√×√√2.某城市共有36个大型居民小区,要从中抽取7个调查了解居民小区的物业管理状况.请写出用抽签法抽取样本的过程.解

第一步,将36个居民小区进行编号,分别为1,2,3,…,36.第二步,将36个号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签.第三步,将号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀,依次抽取7个号签,并记录上面的号码.第四步,与这7个号码对应的居民小区就是要抽取的样本.知识点4

总体均值、样本均值1.一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称=

为总体均值,又称总体平均数,如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式

=

.

样本不同,样本平均数一般会有所变化

思考辨析在学生身高的调查中,小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本均值为166.4,样本量为100;小华调查的样本均值为164.7,样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体均值的估计?是不是你选的值一定比另一个更接近总体均值?说说你的理由.提示

更愿意把164.7作为总体均值的估计,因为增加样本容量可以提高估计效果.但所选的值不一定比另一个更接近总体均值,因为样本均值具有随机性.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)由于样本的选取是随机的,因此样本平均数也是具有随机性.(

)(2)在样本平均数绘制的图形中,样本量大的一般偏离总体平均数更小.(

)√√2.随机抽取某商场4月份5天的营业额(单位:万元)分别为3.4,2.9,3.0,3.1,2.6,则这个商场4月份的营业额大约是(

)

A.90万元 B.450万元

C.3万元

D.15万元A解析

样本均值为

×(3.4+2.9+3.0+3.1+2.6)=3,所以这个商场4月份营业额约为3×30=90(万元).故选A.重难探究·能力素养速提升探究点一统计学中的基本概念【例1】

(1)下列调查中,适宜采用全面调查的是(

)A.调查某水库中现有鱼的数量B.调查某批次汽车的抗撞击能力C.选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛D.调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准C解析

调查某水库中现有鱼的数量,应采用抽样调查,故选项A不合题意;调查某批次汽车的抗撞击能力,应采用抽样调查,故选项B不合题意;选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛,适宜采用全面调查,故选项C符合题意;调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准,应采用抽样调查,故选项D不合题意.故选C.(2)(2025安徽宿州高一期末)某学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况,抽查了其中200名学生的视力,并进行统计分析.下列叙述正确的是(

)A.上述调查属于全面调查B.每名学生是总体的一个个体C.200名学生的视力是总体的一个样本D.1200名学生是总体C解析

上述调查属于抽样调查,故A错误;每名学生的视力是总体的一个个体,故B错误;200名学生的视力是总体的一个样本,故C正确;1

200名学生的视力是总体,故D错误.故选C.规律方法

全面调查和抽样调查的比较

特点方法全面调查抽样调查优点所取得的资料更加全面、系统;调查某时段的总体的数量,准确度高迅速、及时;节约人力、物力和财力,可以对每个被调查个体信息的了解更详细缺点耗费大量的人力、物力和财力,有时难以实现,有时对检验对象有一定的破坏性获取的信息不够全面、系统,有一定的误差适用范围总体容量不大;要获取详细、系统和全面的信息大批量检验;破坏性检验;没必要普查的情况等变式训练1为了调查某校学生的视力情况,在全校1700名学生中随机抽取了150名学生进行调查,下列说法正确的是(

)A.此次调查属于全面调查B.样本容量是150C.1700名学生是总体D.被抽取的每一名学生称为个体B解析

对于A,此次调查是抽取了该校学生的视力情况,不属于全面调查,A错误;对于B,样本容量是150,B正确;对于C,全校1

700名学生的视力情况是总体,C错误;对于D,被抽取的每一名学生的视力情况为个体,D错误.故选B.探究点二简单随机抽样等可能性应用角度1.简单随机抽样的概念【例2】

下列4个抽样中,简单随机抽样的个数是(

)①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;②仓库中有1万支火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;③某部队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加救灾;④某彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的不透明盒子中无放回地逐个抽取6个号签.A.0 B.1 C.2 D.3B解析

①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,等可能的抽样.故选B.规律方法

判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的三个特征,第一是总体含有有限个个体;第二是抽取样本时是逐个抽取;第三是每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等.上述三个特征,如果有一个不满足,就不是简单随机抽样.变式训练2(多选题)下面的情况适合用简单随机抽样的是(

)A.校运会为参加400m决赛的6名同学安排道次B.从某厂生产的300000件产品中抽取6000件进行质量检验C.全国人口普查D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验AD解析

A适合用简单随机抽样;B不适合用简单随机抽样(数量过大);选项C,全国人口普查不是随机抽样;D适合用简单随机抽样.故选AD.角度2.抽签法和随机数法【例3】

(1)要考察某种品牌的850粒种子的发芽率,从中抽取50粒种子进行试验,利用随机数法抽取种子,先将850粒种子按001,002,…,850进行编号,下面给出了用随机数法产生的部分随机数,如果从随机数中的第3行第1个数开始向右读,请依次写出最先检验的4粒种子的编号

.

034743738636964736614698637162332616804560111410977424676242811457204253323732270736075124517989167662276656502671073290797853135538585988975414125685992696966827310503729315571210142188264981555956356438548246223162430990061844325323830130167,662,276,656

解析

从随机数中的第3行第1个数开始向右读,第一个小于850的数字是167,第二个数字是662,第三个数字是276,第四个数字是656,符合题意.(2)某市有关部门有各县报送的空气质量材料15份,为了解全市的空气质量,要从中抽取一个容量为5的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体操作步骤.解

总体容量小,样本容量也小,可用抽签法.步骤如下:①将15份材料逐个编号,号码分别是1,2,3,…,15;②将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上,揉成小球,制成号签;③把号签放入一个不透明的容器中,充分搅拌均匀;④从容器中逐个抽取5个号签,并记录上面的号码;⑤找出和所抽号码对应的5份材料,组成样本.规律方法

两种抽样方法的优缺点

抽样方法优点缺点适用范围抽签法简单易行总体的数量较大时,操作起来比较麻烦适用于总体中个体数不多的情形随机数法简单易行,它很好地解决了总体的数量较大时用抽签法制签困难的问题总体的数量很大,样本的数量也很大时,利用随机数法抽取样本仍不方便适用于总体的数量较大,样本的数量较小的情形变式训练3(1)下列抽样试验中,方便用抽签法的是(

)A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的一箱(每箱30件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱30件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验B解析

对于A,总体容量较大,样本容量也较大,不适宜用抽签法;对于B,总体容量较小,样本容量也较小,可用抽签法;对于C,甲、乙两厂生产的两箱产品可能有明显区别,不能用抽签法;对于D,总体容量较大,不适宜用抽签法.(2)(2025福建福州高一期末)某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加一项调查.将这500名同学编号为001,002,…,500,下面给出了用随机数法产生的部分随机数,假设从第1行第4列的数字开始向右读,则第5个被抽到的同学的编号为(

)348

442

175

572

175

455

608

331047

447

672

176

335

025

839

212067

663

016

378

591

695

556

719A.331 B.047

C.447

D.672B解析

由题知,选取的编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047,剔除重复数据及超过500的数据,符合条件的是442,175,455,331,047,第五个是047.故选B.探究点三用样本均值估计总体均值【例4】

某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加方便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的方法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如下表:每户丢弃塑料袋个数123456家庭数/1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;(2)假设某市现有家庭100万户,据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数.故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.(2)3×365×100=109

500,故全市所有家庭每年丢弃塑料袋109

500万个.规律方法

样本均值与总体均值的关系(1)在简单随机抽样中,常用样本均值去估计总体均值;(2)总体均值是一个确定的数,样本均值具有随机性;(3)一般情况下,样本容量越大,估计值越准确.变式训练4(多选题)某班级有52名学生,其中有31名男生和21名女生.年级主任为了了解该班在某次物理测验中的成绩,随机询问了该班5名男生和5名女生,得到5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90;5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,则下列说法正确的是(

)A.本次抽样的样本量是10B.可以估计该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数C.可以估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D.可以据此估计该班本次物理测验的平均分ACD解析

A项明显正确.计算样本中5名男生成绩的平均数可见样本中5名男生成绩的平均数小于5名女生成绩的平均数,据此估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数,C正确,B错误.可以通过计算样本中10个成绩的平均数估计总体的平均数,故D正确.本节要点归纳1.知识清单:(1)全面调查和抽样调查.(2)简单随机抽样.(3)抽签法、随机数法.(4)用样本均值估计总体均值.2.方法归纳:数据分析.3.常见误区:要注意在简单随机抽样中,每个个体被抽取的可能性是相等的.学以致用·随堂检测促达标12341.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(

)A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地抽出5个零件进行质量检验C.从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛D解析

对于A,根据简单随机抽样的定义,总体的个数不是有限的,所以A不符合题意;对于B,满足简单随机抽样的条件,所以B符合题意;对于C,从100部手机中一次性抽取5部进