棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题.2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.3.会求组合体的表面积及体积.基础落实·必备知识一遍过知识点1

棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的

.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的

.

常常表示为侧面积+底面积和

和

思考辨析直棱柱的侧面展开图是什么图形?如果直棱柱底面周长为c,侧棱长为l,那么直棱柱的侧面积如何表示?提示

直棱柱的侧面展开图是矩形,所以侧面积为cl.自主诊断1.正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为

,表面积为

.

62.(苏教版教材例题)设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是1.0m,底面的边长是1.5m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1m2)?解

如图,S表示塔的顶点,O表示底面的中心,则SO是高.设点E是底面上一条边的中点,连接SE,则SE是斜高.在Rt△SOE中,知识点2

棱柱、棱锥、棱台的体积1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=

.

2.一般地,如果棱锥的底面面积是S,高为h,那么该棱锥的体积V棱锥=

.

3.如果棱台的上、下底面面积分别为S',S,高是h,那么这个棱台的体积V棱台=

.

棱台两底面之间的距离Sh思考辨析如何作出正棱锥的高?提示

连接正棱锥的顶点和底面正多边形中心的线段即为正棱锥的高.自主诊断

1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为(

)A.1 B.2

C.4 D.8B解析

正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.2.(2025江西景德镇期末)一个正四棱锥的底面周长为8,高为3,则该正四棱锥的体积为

.

4

3.(北师大版教材例题)已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm,高为3cm.求其体积.重难探究·能力素养速提升探究点一棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】

正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求原来的大棱锥、截得的小棱锥、截得的棱台的侧面积之比;(2)若原来的大棱锥的侧棱长为12cm,截得的小棱锥的底面边长为4cm,求截得的棱台的侧面积与全面积.解

(1)如图,点O'是正六棱锥P-ABCDEF的高PO的中点,正六边形A'B'C'D'E'F'所在平面与正六边形ABCDEF所在平面平行.设正六棱锥P-ABCDEF的高PO=2h,底面边长AB=2a,因为原来的正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥,所以小棱锥P-A'B'C'D'E'F'的高为PO'=h,底面边长A'B'=a.

规律方法

空间几何体表面积的求法技巧求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,若求表面积,要根据题意判断需要加上的底面个数.

探究点二棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】

(1)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.求V1,V2以及V1∶V2.(2)已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm,侧面面积为780cm2,求其体积.解

如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10

cm,AB=20

cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高.设O1,O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1为直角梯形.变式探究1在例2(1)中,求四棱锥A1-BDD1B1的体积.变式探究2在例2(1)中,设三棱锥A1-BDD1的体积为V3,比较V1与V3的大小.变式探究3在例2(1)中,求三棱锥C1-A1BD与正方体的体积之比.规律方法

求几何体体积的常用方法

探究点三与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题

规律方法

正棱锥的性质如下:(1)正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;(2)从顶点向底面作垂线,垂足为底面(正多边形)的中心;(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.变式训练2(2025广东湛江高一期中)石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅,是一种常见的户外休闲设施.如图,这是某广场的石凳直观图,它是由正方体ABCD-A1B1C1D1截去四面体A1EIJ,B1FJK,C1GKL,D1HLI得到的,其中E,F,G,H,I,J,K,L均为各棱的中点,且AB=60厘米.(1)求该石凳的体积;(2)求该石凳的表面积(不包含底面ABCD).

本节要点归纳1.知识清单:(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.2.方法归纳:等体积法、割补法.3.常见误区:平面图形与立体图形的切换不清楚.学以致用·随堂检测促达标1234561.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为(

)A.48

B.64

C.16 D.96B解析

设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.1234562.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为(

)D1234563.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(

)C1234564.“斗”不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,下底面是边长为6的正方形,上底面是边长为2的正方形,高为4.“斗”的面的厚度忽略不计,则该“斗”的所有侧面的面积之和与上底面的面积之比为(

)A1234565.底面是菱形的直棱柱,它的侧棱长是5,体对角线的长分别是9和15,则这个直棱柱的表面积是