抛物线及其标准方程-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程第三章圆锥曲线的方程教学目标

理解抛物线的定义及焦点、准线的意义（重点）01

02

会用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程（难点）03学科素养

抛物线的图像，焦点，准线的联系

直观想象

抛物线的标准方程及其推导过程逻辑推理

用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程数学运算

抛物线的标准方程

数学建模复习回顾：

我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：

·MFl0＜e

＜1

(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1

·FMl·e=1提出问题：

F几何画板观察m

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1我们把这样的一条曲线叫做抛物线.lFKMH备注：1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定三相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;三相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).2.定义中,要注意定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.在平面内,与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.（不经过点F)

1.抛物线的定义

BA小试牛刀.M.xyOFl..MxyF(O)l方案(1)方案(2)方案(3)问题：哪种方案的方程更简单呢？

MxFOly..类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，使得出抛物线的方程更简洁？2.标准方程的推导lFKMH

xHM(x,y)FyOl

2.标准方程的推导

yxM(x,y)HFl

2.标准方程的推导l

xKyoM(x,y)FH

2.标准方程的推导

比较三种方案推导出的方程，哪种更简单？.M.xyOFl.M.xyOFl..MxyFl方案(1)方案(2)方案(3)

2.标准方程的推导Ox

再次提醒：p的几何意义是：焦点到准线的距离，也称焦准距.y3.抛物线的标准方程思考.在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。类似地，对于抛物线也选择不同的坐标系，那么抛物线的标准方程会有哪些不同的形式？焦点在x轴正半轴上焦点在x轴负半轴上焦点在y轴正半轴上焦点在y轴负半轴上请填写课本第131页的表格！准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形

焦半径

图形标准方程思考.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点？左边都是平方项,且系数为1；右边都是一次项.p均为焦准距；思考.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.思考.抛物线的图像有什么特点？抛物线顶点为原点，对称轴为坐标轴，准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于原点对称.

P132思考：当a>0时与当a<0时，结论都为：

x2=－8yy2=－4x反思研究已知抛物线的标准方程⇔求其焦点坐标和准线方程先定位，后定量

(1)y2=12x(2)y2=x(3)y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y课本P133

(1)(2)(3)(4)焦点位置焦点坐标准线方程x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴

课本P133

课本P133

例2.一种卫星接收天线的轴截面如图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.yOFxAByOFxAB解：例2.一种卫星接收天线的轴截面如图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.

用定义转化条件,数形结合,思维妙!

抛物线定义的应用

总结：涉及抛物线上的点与定点、定直线有关的最值时，常利用抛物线的定义将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化．

抛物线定义的应用

与抛物线有关的轨迹问题

4.标准方程中p前面的