平面几何中的向量方法+向量在物理中的应用举例-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学习目标1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.2.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法.3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.基础落实·必备知识一遍过知识点1

向量在平面几何中的应用1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的__________

及

表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.

2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用

表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为

问题;

(2)通过

运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.线性运算数量积向量向量向量

x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=0

思考辨析

提示

不一定,直线AB与CD可能平行,也可能A,B,C,D四个点在一条直线上.自主诊断1.

在△ABC中,若

<0,则△ABC一定是(

)

A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.以上说法都不对D

矩形

3.已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,求证:AC⊥BD.知识点2

向量在物理中的应用1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤:(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题;(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.思考辨析物理学中的哪些问题可以借助向量处理?试举几个例子.提示

例如物理学中的矢量的合成与分解即为向量的合成与分解,做功问题即为向量的数量积运算等等.自主诊断1.如果一架飞机向东飞行200km,再向南飞行300km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么(

)A.s>|a|B.s<|a|C.s=|a|D.s与|a|不能比大小A解析

路程是数量,位移是向量,从而s=500

km,由位移的合成易得|a|<500

km,故s>|a|.故选A.2.在平面直角坐标系中,作用于坐标原点的两个力为F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需在原点施加力F3=

.

(-3,-4)解析

由题意知,F1+F2+F3=0,∴F3=-F1-F2=-(F1+F2)=(-3,-4).重难探究·能力素养速提升探究点一向量在平面几何中的应用角度1

平行或共线问题

规律方法

证明A,B,C三点共线的步骤证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线→说明两向量有公共点→下结论:三点共线变式训练1(人教B版教材例题)如图所示,已知平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形.角度2

垂直问题【例2】

如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.(方法二)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.规律方法

向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法

变式训练2(1)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.角度3.长度问题【例3】

如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为(

)B角度4.夹角问题【例4】

已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.规律方法

平面几何中夹角问题的求解策略利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解,这类问题也有两种方向,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.探究点二向量在物理中的应用角度1.用向量解决力学问题【例5】

(苏教版教材例题)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳子受力最大.解

设OA,OB,OC三根绳子所受的力分别为a,b,c,则a+b+c=0.如图,因为a,b的合力为c'=a+b,所以|c|=|c'|.规律方法

力的合成与分解的向量解法运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解.变式训练4一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,则F1与F3夹角的余弦值是

.

角度2.用向量解决速度问题【例6】

某人在静水中的游泳速度为4km/h,水流速度为4km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?规律方法

速度问题的向量解法运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形解决问题.B本节要点归纳1.知识清单:(1)利用向量解决平面几何中的平行(垂直)、长度、角度等问题.(2)利用向量解决物理学中的位移、速度、力做功等问题.2.方法归纳:数学建模.3.常见误区:不能将几何、物理问题建立起向量模型.学以致用·随堂检测促达标123456

D123456B123456

A

1234564.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=

.

123456