平面与平面平行2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行学习目标1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.3.会证明平面与平面平行的性质定理.4.能够应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

平面与平面平行的判定定理

文字语言如果一个平面内的两条

直线与另一个平面

,那么这两个平面平行

图形语言

符号语言a⊂β,b⊂β,

,a∥α,b∥α⇒β∥α

作用证明两个平面

相交

平行

a∩b=P

平行

名师点睛1.定理中,要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字,否则条件不充分,结论不成立.2.定理体现了化归的数学思想,证明面面平行只需证明两组线面平行.思考辨析一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,这两个平面平行吗?提示

平行.由线面平行的判定定理,这两条相交直线都平行于另一个平面,再根据面面平行的判定定理可得两平面平行.自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个平面内有两条平行直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(2)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(3)一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)××√2.在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是(

)

A.平面AA1D1D B.平面AA1B1BC.平面DD1C1C D.平面ABCDA3.(苏教版教材例题)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面C'DB∥平面AB'D'.证明

由题意可知AB∥CD,AB=CD,CD∥C'D',CD=C'D',所以AB∥C'D',AB=C'D'.所以四边形ABC'D'是平行四边形,所以AD'∥BC'.因为AD'⊄平面C'BD,BC'⊂平面C'BD,所以AD'∥平面C'BD.同理可证AB'∥平面C'BD.又AB'∩AD'=A,所以平面C'DB∥平面AB'D'.知识点2

平面与平面平行的性质定理

文字语言两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线

图形语言

符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒

作用证明两条直线

平行

a∥b平行

名师点睛1.定理成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面都相交.2.定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.3.面面平行还有如下的性质:两个平面平行,一个平面内的直线平行于另一平面.可作为证明直线与平面平行的依据.思考辨析如果平面α∥β,直线l⊂α,那么l∥β吗?提示

平行.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b⇒a∥b.(

)(2)平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β⇒a∥b.(

)(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(

)2.(北师大版教材习题)已知平面α和平面β平行,若两直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的关系不可能是(

)

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面√×√B解析

直线m,n不可能相交.假设m∩n=A,则A∈α,A∈β,这与α∥β矛盾.直线m,n可以平行,也可以异面.故选B.3.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是(

)A.平行或异面

B.相交C.异面

D.平行D解析

因为圆台的上、下底面互相平行,且平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,由平面与平面平行的性质,可得m,n的位置关系是平行.故选D.重难探究·能力素养速提升探究点一两个平面平行的判定【例1】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.证明

(1)连接B1D1.∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,D,B四点共面.(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,连接MF.∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MFAD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.变式探究本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.证明

连接AB1.∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM⊄平面C1BD,C1D⊂平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.规律方法

证明两个平面平行的方法证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:探究点二面面平行性质定理的应用【例2】

如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.(1)证明

∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解

由(1)得AC∥BD,规律方法

证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行线的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行.变式训练1(人教B版教材例题)如图所示,已知α,β,γ都是平面,且α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.证明

连接DC,设DC与平面β相交于点G,则平面ACD与平面α,β分别相交于直线AD,BG,平面DCF与平面β,γ分别相交于直线GE,CF.探究点三线面平行、面面平行判定定理的综合【例3】

如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).(1)求证:MN∥平面PAD;(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.

规律方法

探索型问题的类型及解法探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.变式训练2(2025江苏淮安高一期末)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在正方体表面上移动,若B1P∥平面A1BM,则点P的轨迹长为

.

本节要点归纳1.知识清单:(1)平面与平面平行的判定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:平面与平面平行的条件不充分导致错误.学以致用·随堂检测促达标123451.

已知平面α,β和直线m,n,下列说法正确的是(

)A.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若α∥β,直线m与平面α相交,则直线m必与平面β相交D.若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行,则平面α与平面β平行C解析

对于A,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α与β相交,故A错误;对于B,若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交,故B错误;对于C,若α∥β,直线m与平面α相交,则直线m必与平面β相交,故C正确;对于D,若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行,则平面α与平面β平行或相交,故D错误.123452.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是(

)A.平行

B.相交C.重合

D.相交或平行A解析

由三角形中位线的性质知PQ∥AB,PR∥AC,由线面平行的判定定理,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC∥平面PQR.123453.(2025江西上饶高一期末)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是(

)A.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥αD.若a∥α,b⊂α,则a∥bC12345解析

对于选项A,B,D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,例如BC⊂平面ABCD,A1D1⊂平面ADD1A1,BC∥A1D1,但平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,故A错误;例如BC∥平面A1B1C1D1,A1B1∥平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,但直线BC与直线A1B1异面,故B错误;例如BC∥平面A1B1C1D1,A1B1⊂平面A1B1C1D1,