余弦定理、正弦定理（第3课时+余弦定理、正弦定理应用举例）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的“不能到达”类的实际问题.2.体会数学建模的一般步骤.基础落实·必备知识一遍过知识点1

测量问题中的常用概念1.基线(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的

叫做基线.

(2)性质:为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的

.一般来说,基线越长,测量的精确度越

.

线段基线长度高2.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示).3.视角观察物体的两端,视线张开的夹角叫做视角,如图所示.4.方位角与方向角(1)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α,如图①所示.(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图②所示.图①

图②

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同.(

)(2)北偏东45°的方向就是东北方向.(

)(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(

)√√×2.(1)若P在Q的北偏东37°方向上,则Q在P的(

)A.东偏北53°方向上 B.北偏东37°方向上C.南偏西37°方向上 D.南偏西53°方向上C解析

如图所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(2)下图中,两个方向对应的方位角分别等于

.

30°,240°解析

左题图中方向对应的方位角等于30°,右题图中方向对应的方位角等于240°.知识点2

解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路2.一般步骤(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.自主诊断1.

如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向,则灯塔A与灯塔B之间的距离为(

)D2.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是(

)D3.甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼的高是

,乙楼的高是

.

重难探究·能力素养速提升探究点一测量距离问题【例1】

如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.规律方法

三角形中与距离有关的问题的求解策略解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.变式训练1(人教B版教材例题)如图,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100m,求AB的长.解

因为A,B,C,D

4点都在水平面上,所以∠BDC=∠BDA+∠CDA=15°+45°=60°,因此∠CBD=180°-30°-60°=90°,所以在Rt△BCD中,BC=100

cos

30°=50(m).在△ACD中,因为∠CAD=180°-45°-30°-45°=60°,所以由正弦定理可知探究点二测量高度问题【例2】

如图,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m到点C处,测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10m至点D处,测得仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高度.规律方法

测量高度问题的求解策略(1)在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边,如图所示.(2)解决测量高度问题的一般步骤是:

(1)请计算大厦AB的高度(保留整数部分);(2)为庆祝某重大节日,在大厦上A到E处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.已知AE=100米,高AB直接取(1)的整数结果,市民在底部B的正东方向的F处欣赏“灯光秀”,如图2,请问当BF为多少米时,欣赏“灯光秀”的视角θ最大?(结果保留根式)图1图2

探究点三测量角度问题

变式训练3如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470m;从B到C,方位角是80°,距离是860m;从C到D,方位角是150°,距离是640m,试计算从A到D的方位角和距离.角度2.航海与追及中的角度问题【例4】

某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.变式探究本题中其他条件不变,将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”,将“我海军舰艇的速度”改为“10nmile/h”,求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间.规律方法

测量角度问题画示意图的基本步骤

本节要点归纳1.知识清单:不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:方位角是易错点.学以致用·随堂检测促达标123451.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于(

)D12345解析

在△ACD中,CD=100

m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,12345

A12345

123453.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35°的方向航行了40nmile到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,那么此船航行的方向和路程分别为(

)C12345123454.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为

a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.12345123455.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2h在C处追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sinα的值.解

(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB