圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式.2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积并解决简单的实际问题,理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系.3.会求组合体的表面积及体积.基础落实·必备知识一遍过知识点1

圆柱、圆锥、圆台的表面积

πr22πrl

2πr2+2πrl

πr2

πrl

πr2+πrl

名师点睛运用公式时的注意事项(1)明确公式中各符号的含义.(2)S表=S侧+S底,注意所求几何体的底面个数.πr'2

πr2

π(r+r')l

πr2+πr'2+π(r+r')l思考辨析圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系?提示

如图所示.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱的侧面展开图是矩形.(

)(2)圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径等于圆锥底面的半径.(

)(3)圆台的侧面展开图是大扇形截掉一个小扇形的扇环.(

)√×√

3.(苏教版教材习题)已知圆柱的高和底面半径分别为a,b,求其侧面积.提示

2πab.知识点2

圆柱、圆锥、圆台的体积1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高).2.V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高).3.V圆台=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高).名师点睛棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下:(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);(2)V锥体=Sh(S为锥体的底面积,h为锥体高);(3)V台体

h(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).思考辨析柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?提示

如图.自主诊断1.已知圆柱的轴截面为正方形,该正方形的边长为4,则该圆柱的体积为

.

16π解析

依题意,圆柱的底面圆半径为2,高为4,所以此圆柱的体积为π×22×4=16π.2.(2025湖北武汉高一期末)已知圆台的上底面直径为1,下底面直径为2,母线长为1,则该圆台的体积为

.

知识点3

球的表面积和体积1.S球=4πR2(R是球的半径).2.V球=πR3(R是球的半径).思考辨析若球的直径为d,则球的表面积如何表示?提示

设球的半径为R,则d=2R,球的表面积S=4πR2=π(2R)2=πd2.

B

2.已知球的表面积是16π,则该球的体积为

.

重难探究·能力素养速提升探究点一圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】

如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.变式探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解

以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.规律方法

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:得到空间几何体的平面展开图→依次求出各个平面图形的面积→将各平面图形的面积相加探究点二圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】

(2025山东临沂高一期末)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的圆台的母线长为16cm,两底面面积分别为9πcm2和36πcm2,求:(1)圆台的高;(2)圆台的体积;

规律方法

求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算.变式训练1(苏教版教材例题)有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)共重6kg.已知毛坯底面正六边形边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个(铁的密度是7.8g/cm3)?所以一个毛坯的体积为V=3.741×103-0.785×103=2.956×103(mm3)=2.956(cm3).从而这堆毛坯约有6×103÷(7.8×2.956)≈260(个).探究点三球的表面积和体积【例3】

(北师大版教材例题)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径.解得R=1.5.所以钢球的半径为1.5

cm.规律方法

因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.变式训练2一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(

)A探究点四简单几何体的外接球【例4】

若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.12π B.24πC.36π D.144πB解析

正方体外接球的球心在体对角线的中点,设半径为R,则(2R)2=3×(2)2,即4R2=24,所以球的表面积为4πR2=24π.故选B.规律方法

几何体的各个顶点都在球面上,我们称球为几何体的外接球.如长方体的外接球,根据长方体的体对角线即为外接球的直径求解,其中若长方体的体对角线及长、宽、高分别为l,a,b,c,则l2=a2+b2+c2.变式训练3若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为

则其外接球的表面积是

.

6π本节要点归纳1.知识清单:(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.(3)球的表面积和体积.2.方法归纳:公式法.3.常见误区:平面图形与立体图形切换不清楚.学以致用·随堂检测促达标1234561.直径为6的球的表面积和体积分别是(

)A.36π,144π

B.36π,36πC.144π,36π

D.144π,144πB解析

球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π.123456

A

1234563.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为(

)A.40π

B.52π

C.50π

D.B1234564.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(

)B12