直线与平面平行-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.5.2直线与平面平行学习目标1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.2.理解并掌握直线与平面平行的性质定理.3.会证明直线与平面平行的性质定理.4.能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线与平面平行的判定定理

文字语言

包括线面平行与线面相交两类如果平面外一条直线与此平面内的一条直线

,那么该直线与此平面平行

图形语言

符号语言a

α,b

α,且a∥b⇒a∥α

作用证明直线与平面

平行

⊄⊂平行

名师点睛1.线面平行的判定定理包含三个条件:(1)平面外一条直线;(2)平面内一条直线;(3)两条直线平行.这三个条件缺一不可.2.定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行⇒线面平行.思考辨析如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?提示

不一定,直线a可能在平面α内.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果直线与平面没有公共点,那么直线与平面平行.(

)(2)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(

)√×(3)若一条直线与一个平面内的无数条直线不相交,则该直线与此平面平行.(

)(4)若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(

)××证明

如图所示,连接BD.在△ABD中,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD.又因为EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD.2.(人教B版教材例题)已知空间四边形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点.求证:EF∥平面BCD.知识点2

直线与平面平行的性质定理

文字语言一条直线与一个平面平行,如果

的平面与此平面相交,那么该直线与交线

图形语言

符号语言a∥α,a⊂β,

⇒a∥b

作用证明两条直线

过该直线

平行

α∩β=b平行

名师点睛1.定理的条件可理解为有三条:(1)a∥α;(2)α∩β=b;(3)a⊂β.这三个条件缺一不可.2.当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行.思考辨析如果l∥α,那么直线l与平面α内的直线的位置关系是怎样的?提示

平行或异面.自主诊断

1.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是(

)

A.平行

B.相交C.异面

D.不确定A解析

因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.2.[北师大版教材例题]有一块木料如图,已知棱BC∥平面A1B1C1D1,要经过木料表面A1B1C1D1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?解

因为BC∥平面A1B1C1D1,BC⊂平面B1BCC1,平面B1BCC1∩平面A1B1C1D1=B1C1,所以由直线与平面平行的性质定理,得BC∥B1C1.如图,过点P在平面A1B1C1D1内画线段EF∥B1C1,根据基本事实4,可知EF∥BC.所以EF⊂平面EBCF,BC⊂平面EBCF.连接BE和CF,则BE,CF和EF就是所要画的线.重难探究·能力素养速提升探究点一直线与平面平行的判定【例1】

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为棱AB,PD的中点.求证:直线MN∥平面PBC.证明

取PC的中点E,连接NE,EB,又因为N为PD的中点,所以在△PCD中,NE∥CD,且NE=CD,又M为棱AB的中点,MB=AB,因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB=CD,所以MB∥NE,且MB=NE,则四边形MBEN为平行四边形,所以MN∥EB,又MN⊄平面PBC,EB⊂平面PBC,所以直线MN∥平面PBC.规律方法

证明线面平行的思路及步骤证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:变式训练1(2025广西百色高一阶段练习)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1∥平面BC1D.证明

连接B1C交BC1于点O,连接OD,因为四边形BCC1B1为平行四边形,所以O为B1C的中点.因为D为AC的中点,所以OD∥AB1.因为AB1⊄平面BC1D,OD⊂平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.探究点二直线与平面平行性质定理的应用【例2】

(北师大版教材例题)求证:如果一条直线与一个平面平行,那么夹在这条直线和这个平面间的平行线段相等.已知:如图,AB∥α,AC∥BD,且AC∩α=C,BD∩α=D.求证:AC=BD.证明

因为AC∥BD,所以A,B,D,C四点在同一平面内.如图,连接CD.因为AB∥α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩α=CD,所以由直线与平面平行的性质定理,得AB∥CD.又因为AC∥BD,所以四边形ABDC是平行四边形,所以AC=BD.规律方法

1.利用线面平行的性质定理解题的步骤

2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.变式训练2如图,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F.求证:四边形BCFE是梯形.证明

因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD,且BC=AD.因为AD⊂平面APD,BC⊄平面APD,所以BC∥平面APD.又因为BC⊂平面BCFE,平面BCFE∩平面APD=EF,所以BC∥EF.所以AD∥EF.又因为E,F是△APD中PA,PD上的点,所以EF≠AD.所以EF≠BC.故四边形BCFE是梯形.探究点三线面平行性质定理与判定定理的综合应用【例3】

求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.解

已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.变式探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解

三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.规律方法

利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与平面平行的判定定理.(2)直线与平面平行的性质定理.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:证明线面平行时漏写线在平面外(内).学以致用·随堂检测促达标12341.下列四个命题中正确命题的个数是(

)①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;④如果直线a与平面α内的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0 B.1 C.2 D.3B解析

对于①,直线a与b可能在一个平面内,①不正确;对于②,直线a可能与平面α内的一条直线异面,②不正确;对于③,过直线a作与平面α相交的平面β,平面β与α交于直线c,∵a∥α,∴a∥c,又a∥b,∴b∥c,又b⊄α,∴b∥α,③正确;对于④,可能a⊂α,④不正确.故选B.123412342.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是(

)A.平行

B.相交

C.异面

D.不确定A解析

∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1