全等三角形证明经典20题

全等三角形证明经典20题全等三角形作为平面几何的入门与基石，其证明题不仅是对逻辑推理能力的初步锤炼，更是后续学习更复杂几何知识的重要铺垫。掌握全等三角形的证明，关键在于对基本判定定理的熟练运用，以及对图形结构的敏锐观察与分析。以下精选20道经典证明题，涵盖了不同情境与常用方法，希望能为你的几何学习提供有益的参考与训练。一、知识预备在进入习题之前，我们简要回顾全等三角形的核心判定定理：*SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。这些定理是我们进行证明的“工具箱”，灵活选择与运用是解题的关键。二、经典证明题解析（一）基础巩固篇题1：已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE=DF，AB=DC，EC=FB。求证：△AEC≌△DFB。思路分析：本题给出了三组边对应相等的条件。我们只需将已知的边对应关系梳理清楚，即可直接应用SSS定理判定全等。证明：∵AB=DC（已知）∴AB+BC=DC+CB（等式性质），即AC=DB。在△AEC和△DFB中，AE=DF（已知），EC=FB（已知），AC=DB（已证），∴△AEC≌△DFB（SSS）。题2：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求证：BC=DE。思路分析：要证BC=DE，可考虑证明它们所在的△ABC和△ADE全等。已知两组边AB=AD，AC=AE，若能证明它们的夹角相等，即可用SAS定理。∠1=∠2是关键，通过角的和差关系可证得∠BAC=∠DAE。证明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式性质），即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知），∠BAC=∠DAE（已证），AC=AE（已知），∴△ABC≌△ADE（SAS）。∴BC=DE（全等三角形对应边相等）。题3：已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF。思路分析：题目给出了两组角对应相等，以及一组边对应相等。观察到相等的边BC和EF分别是∠A和∠D的对边（或∠B和∠E的夹边？需看图确定位置关系，此处按AAS条件描述）。若该边是其中一组等角的对边，则符合AAS定理。证明：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D（已知），∠B=∠E（已知），BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（AAS）。题4：已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，且AB=AD。求证：BC=DC。思路分析：由AB⊥BC和AD⊥DC可知，△ABC和△ADC均为直角三角形。已知斜边AC为公共边，一条直角边AB=AD，可直接应用HL定理证明全等，进而得到对应边BC=DC。证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）∴∠B=∠D=90°（垂直定义）。在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD（已知），AC=AC（公共边），∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。∴BC=DC（全等三角形对应边相等）。题5：已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：AF=DE。思路分析：要证AF=DE，可证△ABF≌△DCE。已知AB=DC，∠B=∠C，只需再证BF=CE即可。由BE=CF，根据等式性质，两边同时加上EF（或减去EF，视图形而定，此处应为BE+EF=CF+EF）可得BF=CE。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EF=CF+EF（等式性质），即BF=CE。在△ABF和△DCE中，AB=DC（已知），∠B=∠C（已知），BF=CE（已证），∴△ABF≌△DCE（SAS）。∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。（二）方法拓展篇题6：已知：如图，AB//DE，AC//DF，BE=CF。求证：AB=DE。思路分析：由平行线AB//DE和AC//DF，可得到对应的角相等，如∠B=∠DEF，∠ACB=∠F。又因为BE=CF，可推出BC=EF。从而利用ASA或AAS证明△ABC≌△DEF，得到AB=DE。证明：∵AB//DE（已知）∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。∵AC//DF（已知）∴∠ACB=∠F（两直线平行，同位角相等）。∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式性质），即BC=EF。在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF（已证），BC=EF（已证），∠ACB=∠F（已证），∴△ABC≌△DEF（ASA）。∴AB=DE（全等三角形对应边相等）。题7：已知：如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD于E，CF⊥AD交AD的延长线于F。求证：BE=CF。思路分析：AD是中线，则BD=CD。BE和CF都垂直于AD，可得∠BED=∠CFD=90°。对顶角∠BDE=∠CDF，从而可利用AAS证明△BDE≌△CDF，得到BE=CF。证明：∵AD是△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）。∵BE⊥AD，CF⊥AD（已知）∴∠BED=∠CFD=90°（垂直定义）。在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD（已证），∠BDE=∠CDF（对顶角相等），BD=CD（已证），∴△BDE≌△CDF（AAS）。∴BE=CF（全等三角形对应边相等）。题8：已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BD=CE。思路分析：图形中△ABD和△ACE看起来可能全等。已知AB=AC，AD=AE，若能证明∠BAD=∠CAE，则可用SAS证全等。由∠BAC=∠DAE，两边同时减去∠DAC（或加上，视角的位置而定），即可得到∠BAD=∠CAE。证明：∵∠BAC=∠DAE（已知）∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC（等式性质），即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC（已知），∠BAD=∠CAE（已证），AD=AE（已知），∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE（全等三角形对应边相等）。题9：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE。求证：BE=CD。思路分析：要证BE=CD，可证△ABE≌△ACD，或△BCE≌△CBD。考虑到AB=AC，BD=CE，可得AD=AE。又∠A为公共角，用SAS证△ABE≌△ACD更直接。证明：∵AB=AC，BD=CE（已知）∴AB-BD=AC-CE（等式性质），即AD=AE。在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已证），∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴BE=CD（全等三角形对应边相等）。题10：已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD。思路分析：要证AC=AD，可证△ABC≌△ABD。已知∠1=∠2，AB为公共边。若能证得∠ABC=∠ABD或BC=BD即可。由∠3=∠4，而∠3+∠ABC=180°，∠4+∠ABD=180°（邻补角定义），根据等角的补角相等，可得∠ABC=∠ABD。证明：∵∠3=∠4（已知），且∠3+∠ABC=180°，∠4+∠ABD=180°（邻补角定义）∴∠ABC=∠ABD（等角的补角相等）。在△ABC和△ABD中，∠1=∠2（已知），AB=AB（公共边），∠ABC=∠ABD（已证），∴△ABC≌△ABD（ASA）。∴AC=AD（全等三角形对应边相等）。（三）综合应用篇题11：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=CD。求证：EB=FC。思路分析：AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可知DE=DF。又BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，可用HL证Rt△DEB≌Rt△DFC，从而得EB=FC。证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。∠DEB=∠DFC=90°（垂直定义）。在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CD（已知），DE=DF（已证），∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。∴EB=FC（全等三角形对应边相等）。题12：已知：如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE=BF。求证：AE=DF。思路分析：由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠AEB=∠DFC=90°。CE=BF，可推出BE=CF（CE-EF=BF-EF，或CE+EF=BF+EF，视E、F位置，此处应为BF=CE，BF-EF=CE-EF，即BE=CF）。AB=CD，用HL证Rt△ABE≌Rt△DCF。证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC（已知）∴∠AEB=∠DFC=90°（垂直定义）。∵CE=BF（已知）∴CE-EF=BF-EF（等式性质），即BE=CF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=CD（已知），BE=CF（已证），∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）。∴AE=DF（全等三角形对应边相等）。题13：已知：如图，AB//CD，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，且相交于点O。求证：BE=CF。思路分析：AB//CD，可得∠ABC=∠BCD（内错角相等）。BE、CF是角平分线，则∠EBC=1/2∠ABC，∠FCB=1/2∠BCD，从而∠EBC=∠FCB。BC为公共边，∠BOC=∠COB（公共角），可证△BEC≌△CFB（ASA）。证明：∵AB//CD（已知）∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。∵BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD（已知）∴∠EBC=1/2∠ABC，∠FCB=1/2∠BCD（角平分线定义）。∴∠EBC=∠FCB（等量代换）。在△BEC和△CFB中，∠EBC=∠FCB（已证），BC=CB（公共边），∠BCE=∠CBF（已证∠ABC=∠BCD，其一半也相等，即∠FCB=∠EBC，此处∠BCE即∠FCB，∠CBF即∠EBC，故ASA条件满足），∴△BEC≌△CFB（ASA）。∴BE=CF（全等三角形对应边相等）。题14：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。思路分析：D是BC中点，故BD=CD。AB=AC，所以∠B=∠C。DE⊥AB，DF⊥AC，得∠DEB=∠DFC=90°。用AAS证△DEB≌△DFC，可得DE=DF。也可连接AD，利用等腰三角形三线合一及角平分线性质证明。证明（方法一）：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）。∵D是BC中点（已知）∴BD=CD（中点定义）。∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠DEB=∠DFC=90°（垂直定义）。在△DEB和△DFC中，∠DEB=∠DFC（已证），∠B=∠C（已证），BD=CD（已证），∴△DEB≌△DFC（AAS）。∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。题15：已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F。求证：CE=DF。思路分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，或Rt△BCE≌Rt△ADF。先看Rt△ABC和Rt△BAD，AD=BC，AB公共边，故Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），得AC=BD，∠CAB=∠DBA。再结合CE⊥AB，DF⊥AB，用AAS证△ACE≌△BDF。证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD（已知）∴∠ACB=∠BDA=90°（垂直定义）。在Rt△ABC和Rt△BAD中，BC=AD（已知），AB=BA（公共边），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。∴AC=BD（全等三角形对应边相等），∠CAB=∠DBA（全等三角形对应角相等）。∵CE⊥AB，DF⊥AB（已知）∴∠AEC=∠BFD=90°（垂直定义）。在△ACE和△BDF中，∠AEC=∠BFD（已证），∠CAE=∠DBF（已证∠CAB=∠DBA），AC=BD（已证），∴△ACE≌△BDF（AAS）。∴CE=DF（全等三角形对应边相等）。（四）能力提升篇题16