第十四章全等三角形复习课件人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形章综合复习数学人教版八年级上册全等三角形全等三角形的判定边边边(SSS)斜边和直角边(HL)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)注意：AAA、SSA不能判定三角形全等尺规作图已知三边作三角形

作已知角的平分线作一个角等于已知角全等三角形全等图形定义及性质全等三角形的性质角平的分线角平分线的性质

角平分线的判定注意：只适用于直角三角形全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形.概念性质全等形全等形的形状和大小都相同.

①一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折旋转前后的图形全等；②两个全等形的周长相等，面积相等.注意全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.概念全等三角形在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上.注意表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.如图：△ABC

和△DEF全等，写作：△ABC≌△DEF把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.全等三角形的对应元素全等三角形寻找对应元素的规律①有公共边的，公共边一般是对应边；②有公共角的，公共角一般是对应角；③有对顶角的，对顶角一般是对应角；④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.全等三角形①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等.性质①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等.①要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念.②一般地，对应边、对应角是对两个三角形面言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角.注意拓展判定方法全等三角形的判定(1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.①判定三角形全等必须有一组对应边相等.②应用“HL”判定两个直角三角形全等时，书写上必须提前说明这两个三角形是直角三角形.③AAA、SSA不能判定三角形全等.注意性质角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等.①角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；②三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.注意判定角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.已知三边作三角形尺规作图作法：(1)作线段AB＝c；CBA(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形.(2)分别以点A，B为圆心，线段b，a为半径作弧，两弧相交于点C；作一个角等于已知角尺规作图作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB

于点C，D；(2)作一条射线

O'A'，以点

O'为圆心，OC为半径作弧，交

O'A'于点C'.DCOBAO'C'A'B'D'(3)以点C'为圆心，CD

为半径作弧，与上一步作的弧相交于点

D';(4)过点

D'作射线O'B'，则

A'O'B'=

AOB.作已知角的平分线ABMNC作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.O尺规作图(3)画射线OC.射线OC即为所求.下列4个图形中的全等图形是()A.①和②B.③和④C.①和③D.②和④A.不是全等图形，故此选项不合题意；B.不是全等图形，故此选项不符合题意；C.是全等图形，故此选项符合题意；D.不是全等图形，故此选项不合题意，故选C.①②③④

C如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC≌△DEC，若AC=4，BD=13，则CE等于()A.7B.8C.9D.10CABEDC∵△ABC≌△DEC，∴CD=CA=4，CE=CB，∵BD=13，∴CE=CB=BD-CD=13-4=9故选：C.已知△

ABC的三边长互不相等，若以B，C为两个顶点画不同位置的三角形(与原三角形不重合)，使所画的三角形与△

ABC全等，这样的三角形最多可以画

个3如图，可以画△

A1BC，△A2BC，△A3BC与△ABC全等，因此这样的三角形最多可以画3个，故答案为：3.ABA1CA2A3如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若

BAC=33°，则

EFC的度数为

.33°∵△ABC≌△AED∴

DAE=

CAB=33°，

D=

C∵

AED=

CEF，∴

EFC=180°-

C-

CEF=180°-

D-

AED=

DAC=33°故答案为：33°.ABEDCF用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出

O=

O′的依据是()A.SASB.ASAC.SSSD.AAS根据尺规作图的过程可得OD=OD′，OC=O′C′，CD=C′D′，即可根据“边边边”证明△COD≌△C′O′D′.故选：C.C已知：如图，AB//

CD，AB=CD，点E，F在线段BC上，且BF=EC.请说明

△ABE≌△DCF的理由.ABFEDC如图，小丽坐在秋千的起始位置A处上，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.已知妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.8m，

BOC=90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距率地面的高度是

.由题意得：AD=1m，BD=1.3m，CE=1.8m，

BDO=

CEO∵

BOC=90°∴

BOD+

COE=90°∵

COE+

OCE=90°∴

BOD=

OCE在△BOD和△OCE中ABOEDC如图，小丽坐在秋千的起始位置A处上，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.已知妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.8m，

BOC=90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距率地面的高度是

.1.5mABOEDC方法总结

利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：(1)先明确实际问题；(2)根据实际抽象出几何图形；(3)经过分析，找出证明途径；(4)书写证明过程.如图，D是△ABC内一点，且AD平分

BAC，CD⟂AD，连接BD，若△ABD的面积为9，那么△ABC的面积是

.18ABDCE∴△

BDE和

△

BDC是等底等高的三角形.∴

S△BDE=S△BDCS△ABC=2S△ABD=2×9=18.故答案为：18.如图，已知

A=

D=90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF=DE，BE=CF.求证：

B=

C.ABDCEFO如图，在Rt△ABC中，

B=90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为()A.2B.4

C.8D.10AABDCEFGH如图，在四边形ABCD中，

B=

C=90°，

BAD=100°，DE平分

ADC交BC于点E，连接AE，若点E是BC边的中点，求

EAB的度数.ABDCEF方法总结证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等；(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等；(3)等式性质.证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明；(2)证明两个角所在的两个三角形全等；(3)利用角平分线的判定进行证明；(4)同角(等角)的余角(补角)相等；(5)对顶角相等.方法总结证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法：

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE//AB，且DE=AC.(1)求证：△ABC≌△DAE；(2)若点D是AC的中点，△ABC的面积为9，求四边形ABCE的面积.AEDBC如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE//AB，且DE=AC.(1)求证：△ABC≌△DAE；(2)若点D是AC的中点，△ABC的面积为9，求四边形ABCE的面积.(2)解：由(1)已证：△ABC≌△DAE∴S△DAE=S△ABC∵△ABC的面积为9，∴S△DAE=9.∵点D是AC的中点，∴ED是

△ACE的中线，∴S△DCE=S△DAE=9.∴四边形ABCE的面积为S△ABC+S△DCE+S△DAE=9+9+9=27.AEDBC如图，在△ABC中，AD平分

BAC，CE⟂AD于点G，交AB于点E，EF//BC交AC于点F，交AD于H.求证：

DEC=

FEC；证明：∵CE⟂AD∴

AGE=

AGC=90°∵AD平分

BAC，∴

EAG=

CAG在△AGE和△AGC中AEDBCFHG∴△AGE≌△AGC(ASA).∴EG=CG又∵CE⟂AD，∴△DEC为等腰三角形.∴

DEG=

DCG∵EF//BC，∴

FEG=

DCE∴

DEC=

FEC.方法总结

利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；

有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角、补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.如图，在△ABC中，已知

ABC=2

ACB，BD平分

ABC，AD⟂BD.(1)若△BDC的面积是5，求△ABC的面积；(2)求证：AC=2BD.ABDC∴△ABD≌△HBD(ASA)∴AD=HD∴S△BAD=S△BHD，S△CAD=S△CHD∴S△BAD+S△CAD=S△BHD+S△CHD=S△BDC=5.∴S△ABC=5+5=10.H如图，在△ABC中，已知

ABC=2

ACB，BD平分

ABC，AD⟂BD.(1)若△BDC的面积是5，求△ABC的面积；(2)求证：AC=2BD.(2)证明：过点B作BF⟂AC于F，过点C作CE⟂BD的延长线于E，则

BFC=

CEB=90°∵

ABC=2

ACB，BD平分

ABC，∴

BCF=

CBE.在△BCF和△CBE中ABDCFE如图，在△ABC中，BC=5，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD，BE相交于点O，且AE=BE.(1)求证：△AOE≌△BCE.(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当