四年级数学：探索两、三位数除以两位数的算法世界

四年级数学：探索两、三位数除以两位数的算法世界一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课内容隶属于“数与代数”领域，是整数除法运算教学的关键深化阶段。在知识图谱上，它上承三年级除数是一位数的除法及本册除数是整十数的除法，下启后续学习商的变化规律及小数除法，起着承上启下的枢纽作用。其核心是引导学生从“机械执行竖式步骤”转向“理解算理、灵活试商”的算法思维建构。过程方法上，课标强调在解决实际问题的情境中，探索并掌握基本算法，体会转化的思想方法。本节课将设计系列探究任务，引导学生在动手操作（如分小棒模型）、合作交流中，将除数是两位数的复杂计算转化为已掌握的“除数接近整十数”或“表内除法”等简单问题，亲身经历算法产生的过程。素养层面，本课是发展学生运算能力和推理意识的绝佳载体。精确试商与灵活调商的过程，本质是依据数据特点进行合理估算与逻辑推理；对算理（为什么这样算）的追问，则推动学生从程序性操作走向概念性理解，培养思维的严谨性与灵活性。同时，在解决贴近生活的数学问题中，亦能初步体会数学的应用价值。基于“以学定教”原则，需对学情进行立体诊断。学生已具备除数是一位数及除数是整十数除法的扎实基础，能熟练进行表内乘除法口算，这是本课学习的“锚点”。然而，认知难点在于面对非整十的两位数除数时，如何确定一个合适的“初商”，以及当商偏大或偏小时如何进行有效调整。常见错误集中于试商不准确、调商步骤混乱，其根源在于对“被除数里最多包含几个除数”这一除法本质理解不深，以及对“余数必须小于除数”的算理掌握不牢。因此，教学前将通过一道包含前测题的“热身挑战”快速诊断学生的起点与困惑点。课堂上，将通过观察学生操作、聆听小组讨论、分析板演作业等形成性评价手段，动态把握学情。针对不同层次学生，教学调适策略包括：为计算基础薄弱的学生提供“试商口诀卡”和分步提示的“脚手架”；为思维敏捷的学生设计“如何让试商一次就准”的探究性问题；在小组合作中，通过异质分组确保同伴互助，让每个学生都能在“最近发展区”获得成长。二、教学目标知识目标方面，学生将在具体问题情境中，理解并掌握两、三位数除以两位数（非整十数）的笔算方法，特别是“四舍五入”试商法及调商（商调大或调小）的基本原理。他们应能清晰表述试商、乘、减、比、落的每一步算理，并能正确、熟练地完成相关计算，形成结构化的笔算除法认知。能力目标聚焦于数学核心能力的提升。学生将能独立完成从现实问题抽象出除法算式、合理估算商的范围、并通过规范的竖式计算求解的全过程。他们应展现出根据除数特点灵活选择试商策略（如将除数看作接近的整十数）的能力，并能在计算后通过验算自觉检查结果的合理性，发展初步的批判性思维。情感态度与价值观目标旨在培养积极的数学学习情感。在小组合作探索算法时，鼓励学生大胆表达自己的试商想法，并耐心倾听、尊重同伴的不同思路，在观点的交流与碰撞中体验合作的乐趣与价值，树立克服计算困难、追求算法优化的信心。科学（学科）思维目标重点发展学生的模型意识与推理意识。通过将具体分物情境抽象为除法竖式模型，学生体会数学建模的过程。在试商与调商的决策中，引导学生进行“如果……那么……”的逻辑推理，例如“如果把除数看大了，初商可能会偏小，那么就需要调大”，从而将计算操作升华为有依据的数学思考。评价与元认知目标关注学生学会学习的能力。设计引导学生依据“计算步骤完整、书写规范、结果正确”的量规进行自我检查或同伴互评。在课堂小结环节，鼓励学生反思“今天我用了哪些方法来试商？哪种情况下调商最容易出错？”，促进其对学习策略的监控与调整。三、教学重点与难点教学重点确立为：掌握两、三位数除以两位数（非整十数）的基本笔算方法，特别是“四舍五入”法试商及调商的完整过程。其确立依据源于课程标准对此内容作为整数除法运算能力关键节点的定位，它是学生从机械计算迈向理解性、灵活性计算的“分水岭”。从学业评价角度看，除法竖式计算是小学数学的经典基础题型，试商调商能力直接关系到计算的准确性与速度，是后续学习小数、分数除法的基石，故而具有奠基性作用。教学难点在于：灵活、合理地选择试商策略，并理解调商的原理。学生普遍感到困难的具体节点是：当除数个位是“4、5、6”等中间数时，对“四舍”还是“五入”举棋不定；以及在初商不准时，缺乏清晰的思路判断该调大还是调小。难点成因主要在于认知的跨度：从除数是整十数的固定模式，切换到需要根据除数个位数字动态调整策略，思维抽象水平要求更高；同时，调商涉及对乘法口诀的逆向运用及对余数意义的深度理解，逻辑链条较长。预设突破方向是通过丰富的操作活动与对比辨析，将抽象的试商决策可视化、步骤化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、动态竖式演示、分层练习题）；磁性小棒教具（或计数棒）若干捆（代表十）和单根；板书设计（预留核心算法、学生作品展示区）。1.2学习材料：分层学习任务单（含前测、探究记录表、分层巩固练习）；“试商策略”微视频（供个别学生课后回顾）；小组合作评价量规卡片。2.学生准备2.1学具：每人准备小棒（或画有替代物的学具卡）若干；草稿本。2.2预习：复习除数是一位数和除数是整十数的除法竖式，尝试口算如“84÷21”这类接近整十数的题目，并记录自己的思考过程。五、教学过程第一、导入环节1.情境激疑，提出问题：同学们，学校图书馆新进了一批图书，大约有196本，管理员老师想把这些书平均分到28个班级的图书角去，每个班级大概能分到几本呢？谁能快速估一估？（预设学生用200÷30≈6本进行估算）。估算能给我们一个大概的范围，但如果想知道精确的本数，该怎么办呢？对，需要列竖式计算：196÷28。这个算式的除数和我们之前学的有什么不同？（除数不是整十数了）。1.1.唤醒旧知，明确路径：“除数变成普通的两位数，竖式该怎么算呢？是不是就没办法了？”当然不是！其实啊，我们可以想办法把它转化成我们会算的题目。这节课，咱们就化身“计算小侦探”，一起探索两、三位数除以两位数的算法奥秘。我们的侦探工具就是以前学过的除法知识和手里的小棒。先来看看大家的‘侦探基础’怎么样。1.2.前测诊断，聚焦难点：请独立完成学习单上的“前测挑战”：①84÷21（除数接近20）②196÷28（除数接近30）的竖式计算尝试。完成后同桌简单交流一下试商的想法。教师巡视，快速收集典型做法（包括正确、错误及不同试商策略），为后续教学提供精准起点。“我看到有的同学把21看成20来试商，真会想办法！也有的同学在试‘28’的时候遇到了点小麻烦，没关系，这正是我们今天要攻克的堡垒。”第二、新授环节任务一：复习唤醒，搭建思维“脚手架”教师活动：首先，通过课件动态回顾除数是一位数（如84÷4）和除数是整十数（如196÷30）的竖式计算过程，重点提问：“计算196÷30时，我们把30看作几个十？是怎么试商的？”引导学生明确“把除数看作几个十，用被除数的前两位去试商”的基本思路。接着，抛出核心问题：“现在除数从30变成了28，不再是整十数，我们还能用类似的方法吗？如果能，该把28看作多少来试商呢？”鼓励学生大胆猜想。然后，引入“小棒”这一直观模型：“俗话说‘耳听为虚，眼见为实’，我们请小棒帮帮忙，看看分的过程到底藏着什么秘密。”学生活动：观看课件演示，齐声回答教师的提问，巩固旧知。针对新问题（196÷28），进行独立思考并初步尝试口算或估算。部分学生可能提出“把28看成30”或“看成20”的想法。在教师引导下，准备利用小棒进行下一步的探究操作。即时评价标准：1.能否准确复述除数是整十数除法的试商要点。2.面对新问题（非整十除数）时，是否能主动联系旧知，提出合理的转化猜想（如“看成接近的整十数”）。3.操作学具时是否专注、有序。形成知识、思维、方法清单：★转化思想：遇到新问题（除数是任意两位数），可以想办法转化成已掌握的旧知识（除数是整十数或一位数）来解决。▲估算的价值：在精确计算前先估算，可以帮助我们预测商的大致范围，检验结果的合理性。课堂用语示例：“把不会的变成会的，这可是数学学习中一项了不起的本领！”任务二：情境操作，探索“196÷28”的算理教师活动：分发代表196根小棒（19捆和6根）。布置探究任务：“请同学们以小组为单位，用你们手中的小棒，分一分，看看196根小棒，每28根一份，到底可以分成几份，还剩几根。分的时候，想一想怎么分最快最清楚？分完后，试着将分的过程用竖式记录下来。”巡视指导，重点关注：学生是否先将小棒“以十为单位”进行合并思考；分的过程中是否体现了“先分整捆（十），不够分时拆开成单根再分”的位值思想。邀请不同分法的小组上台展示。学生活动：小组合作进行实物操作。可能出现两种主流分法：方法一，把28想成“2捆加8根”，先分整捆，19捆分给每份2捆，可以分9份，但会剩余一些整捆和单根，需要继续细分；方法二，直接估测每份大约需要3捆（30根），尝试分后发现不够分，再调整。在操作中，深刻体会“不能正好分完整捆”时需要“拆捆成根”的过程。尝试将操作步骤与竖式的每一步（试商、乘、减、落）建立联系。即时评价标准：1.操作过程是否体现了“先分大的计数单位”的位值原则。2.小组内分工是否明确，交流是否围绕“怎么分”和“为什么这样分”展开。3.能否将分小棒的步骤与除法竖式的书写步骤进行初步对应。形成知识、思维、方法清单：★除法本质：除法就是求被除数里最多包含多少个除数。分小棒的过程直观体现了这一点。★试商的直观基础：试商“几”，就是在试探被除数里大约有“几个”除数。把小棒“每28根一份”去分，就是在找这个“几”。▲位值制在除法中的应用：从高位除起，本质是从最高位的计数单位开始分。哪一位不够商1，就在那一位写0占位（或继续落下一位）。课堂用语示例：“大家分小棒时，是不是先抓一大把（整捆）去分？这对应竖式里的哪一步？对，先用被除数的前两位去除！”任务三：算法抽象，掌握“四舍五入”试商法教师活动：根据学生的小棒分法及前测尝试，聚焦核心矛盾：“不摆小棒，怎么快速确定这个‘商’呢？我们把28看作多少来试商比较方便？”组织学生对比：把28看作20试商（初商9），和把28看作30试商（初商6），哪个更接近真实结果？为什么？通过计算验证（28×9=252>196，说明商9太大；28×6=168<196，且196168=28，余数和除数一样大，说明还能再分一份，商6偏小），引导学生发现：把除数看作最接近的整十数（28接近30）来试商，初商更准确。教师总结并板书“四舍五入试商法”：除数个位小于等于4，看作比它小的整十数（四舍）；个位大于等于5，看作比它大的整十数（五入）。动态演示196÷28的规范竖式计算过程，重点标注“试商6”、“28×6=168”、“余数28等于除数，商6小了，需调大1”的思维链条。学生活动：参与对比讨论，理解将除数看作接近的整十数能使试商更合理的道理。跟随教师演示，完善自己的竖式书写，尤其注意调商的过程。尝试用自己的话说出“四舍五入试商”的规则。完成一两个跟进练习（如：84÷21，将21看作20试商），即时巩固方法。即时评价标准：1.能否理解“为什么把28看作30而不是20”背后的数学道理（减少调商次数）。2.竖式书写是否规范，调商后的计算是否准确。3.能否口头表述“四舍五入”试商的基本规则。形成知识、思维、方法清单：★“四舍五入”试商法：这是本节课的核心算法。将除数看作与其最接近的整十数来试商，能提高试商的准确率。要点是：个位14舍，个位59入。★调商的判断依据：余数！若余数大于或等于除数，说明商小了，要调大；若乘出的积大于被除数，说明商大了，要调小。▲试商的灵活性：“四舍五入”是基本方法，但不是唯一方法。如15、25等数，也可以想乘法口诀直接试商。课堂用语示例：“瞧，我们把28看成30来试商，就像给这个数戴上了一副‘整十数的眼镜’，一下子看清了它的大小！那如果除数个位是4呢？比如21，这副‘眼镜’该怎么选？”任务四：对比辨析，内化调商策略教师活动：出示一组对比题：①272÷34（除数34四舍为30，初商可能偏大）②252÷36（除数36五入为40，初商可能偏小）。让学生先独立用“四舍五入”法试商计算，预计部分学生在题①中初商9会偏大，在题②中初商6会偏小。教师不直接纠正，而是组织小组讨论：“计算中你遇到了什么新情况？初商合适吗？你是怎么发现并调整的？”引导学生归纳调商的规律：“四舍”试商，除数看小了，初商可能偏大，要调小；“五入”试商，除数看大了，初商可能偏小，要调大。教师提炼为口诀：“四舍商大下调减，五入商小上调增”，并强调最终必须以“余数小于除数”为检验标准。学生活动：独立完成两道对比题的计算，亲身经历试商、发现偏差、主动调商的全过程。在小组中分享自己调商时的思考：“我一开始商了9，一乘发现34×9=306，比272大了，所以我就改商8……”通过交流，从具体例子中抽象出调商的一般规律。跟读并理解调商口诀。即时评价标准：1.在计算中能否自主发现初商不准确并尝试调整。2.小组讨论时，能否结合自己的计算实例说明调商的原因。3.能否总结出“四舍调小、五入调大”的初步规律。形成知识、思维、方法清单：★调商的规律性认识：这是本课的难点深化。理解“四舍”导致试得的初商易偏大，“五入”导致初商易偏小，并能在计算中预见性地加以注意。▲验算习惯：计算完成后，养成用“商×除数+余数=被除数”验算的习惯，是确保计算正确的最终防线。计算心理：调商是正常过程，不必因一次试商不准而气馁，它恰恰是理解算理、锻炼思维的契机。课堂用语示例：“哈哈，看来我们给除数戴上‘整十数眼镜’后，有时会看得‘大一点’，有时会看得‘小一点’，那我们的‘商’该怎么跟着‘动一动’呢？大家从刚才的计算中找到规律了吗？”任务五：综合应用，算法初步固化教师活动：创设一个简单的综合应用情境：“探险小队共有144元，计划每人购买一份价值23元的补给包，最多可以给几个人购买？还剩多少钱？”引导学生列出算式144÷23，并独立完成竖式计算。教师巡视，进行个别辅导，重点关注中等及以下学生能否正确完成试商与调商。选择一份典型作品（含规范过程和常见错误）进行投屏展示，开展集体评议。学生活动：阅读问题，理解“最多”意味着求商，并列出除法算式144÷23。独立进行竖式计算，应用本节课所学方法。参与集体评议，能指出展示作品中的优点与错误，并说明理由。在教师引导下，口头回答实际问题。即时评价标准：1.能否从实际问题中正确提取除法模型（144÷23）。2.独立计算的准确率与规范性。3.参与评议时，能否用数学语言评价他人的计算过程。形成知识、思维、方法清单：★解决问题的一般步骤：审题→列式→计算→检验→作答。将数学计算回归于解决实际问题。▲商的取值：在解决“最多可以买几个”这类问题时，商取整数部分，余数就是剩下的、不够一份的钱数。课堂用语示例：“算出来的商是6，余数是6，单位是什么？对，商6表示6个人，余数6表示还剩6元钱。答句怎么写才完整？一起来说一说。”第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式练习，旨在促进知识的内化与迁移。基础层（全体必做）：完成学习单上的“算法直通车”。包含5道基本竖式计算题，如120÷28（五入调商）、189÷21（四舍调商）等，覆盖“四舍”与“五入”两种主要情况，但调商幅度均为1。目的是巩固基本算法，确保全体学生掌握最核心的技能。“请大家安静计算，完成后用验算检查一遍，看看谁是我们班的‘计算小能手’。”综合层（多数学生挑战）：完成“智慧加油站”。题目情境稍复杂或需稍作推理，如：“王老师用250元买足球，每个足球28元，买完后还剩多少元？”（需要先计算250÷28，得到可买数量与余数）。另设一道“灵活试商”题：140÷26，鼓励学生思考除了把26看作30，能否想到25（4个25是100）来试商更快捷。培养学生根据数字特点选择策略的灵活性。挑战层（学有余力选做）：“思维冲浪”——开放题：“在□里填上合适的数字，使竖式成立。（提供一道不完整的除法竖式，如商是6，除数是两位数，被除数部分数字缺失，让学生逆向推理）”。此题涉及对除法算理的综合运用与逆向思维。反馈机制：基础层练习采取同桌互批，对照教师出示的答案和评分要点（步骤分、结果分）。综合层和挑战层练习，教师选取有代表性的解答进行投影讲评，尤其展示不同的解题思路（如140÷26的不同试商方法）。对共性错误进行集中剖析，并请“小老师”（做对的学生）分享心得。为完成挑战题的学生提供展示平台，激发全体学生的探究欲。第四、课堂小结引导学生进行结构化总结与元认知反思。“孩子们，这节课的‘计算侦探之旅’即将到站，你的‘探案工具箱’里多了哪些宝贝？”鼓励学生自主梳理。可以采用“知识树”的形式在黑板上共同绘制：树根是“除法的意义”，树干是“两、三位数除以两位数”，主要分支包括“试商方法（四舍五入法）”、“调商规律（四舍调小、五入调大）”、“验算保证”。请学生举例说明每个分支。“谁来说说，调商时最关键看什么？（余数！）”作业布置公布清晰的分层作业：1.必做（基础性作业）：完成练习册对应页面的基础计算题（约68道），并任选一题写出试商思考过程。2.选做A（拓展性作业）：寻找一个生活中需要用“两、三位数除以两位数”解决的实际问题，编成一道数学题并解答。3.选做B（探究性作业）：研究“同头无除商八、九”、“除数折半商四、五”等趣味试商口诀，尝试用例题验证其合理性，下节课分享。最后，提出延伸思考，衔接下节课：“今天我们学会了把除数看作整十数来试商，如果除数不是接近整十数，比如是15、25，有没有更巧妙的办法呢？大家课后可以先想一想。”六、作业设计基础性作业（全体学生必做）1.竖式计算：①156÷32②245÷39③189÷27④302÷48。要求书写规范，验算其中两题。2.错题诊断：判断以下竖式计算是否正确，如错误请改正并说明错误原因。（提供一道典型的调商错误题例）设计意图：通过足量的基础练习，固化“四舍五入”试商及调商的计算技能。错题诊断旨在加深对算理的理解，培养批判性思维。拓展性作业（建议大多数学生完成）3.情境应用题：学校组织四年级学生参观博物馆，共有322名学生，每辆大巴车限乘46人。租7辆这样的车够吗？请通过计算说明。4.思维拓展：计算180÷36时，小明把36看作40试商，小芳把36看作35试商。你认为谁的方法可能更快得到准确商？为什么？设计意图：将计算置于真实问题情境中，培养应用意识。第二题鼓励学生比较不同策略，感悟算法优化，发展数感。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）微型项目：“我是试商策略师”。请你研究以下两组题目，总结规律，并尝试创造一句便于记忆的“试商口诀”：第一组：141÷24，132÷24，123÷24（观察除数都是24，被除数变化时商的变化）第二组：160÷32，160÷16，160÷8（观察被除数相同，除数变化时商的变化）将你的发现和创造的口诀制作成一张精美的数学小卡片。设计意图：此题超越了单一技能训练，引导学生观察、比较、归纳，触及商的变化规律的雏形，并鼓励创造性表达，满足资优生的深度学习需求。七、本节知识清单及拓展★1.核心概念：试商。指在笔算除法中，根据除数和被除数的前几位，预估商是几的过程。它是除法竖式计算的关键第一步，直接影响计算效率与准确性。教学提示：试商不是瞎猜，应基于对数的相对大小的估计。★2.核心算法：“四舍五入”试商法。当除数是两位数时，将其个位上的数字四舍五入，看作一个最接近的整十数去试商。个位是1、2、3、4则“舍”（看作比原数小的整十数）；个位是5、6、7、8、9则“入”（看作比原数大的整十数）。例如：53看作50，69看作70。★3.关键算理：调商的依据。调商与否的终极判断标准是余数。试商后，用商乘除数，所得积若大于被除数（或当前位的被除数），说明商偏大，应调小；计算后所得的余数若大于或等于除数，说明商偏小，应调大。★4.重要规律：“四舍易大，五入易小”。这是对调商方向的预见性总结。用“四舍”法试商时，因为把除数看小了，试得的初商可能偏大，常需调小；用“五入”法试商时，因为把除数看大了，试得的初商可能偏小，常需调大。理解此规律能减少盲目调商。★5.计算步骤（口诀化）：一看（除数，四舍五入看作整十数），二试（用整十数试商），三乘（商与原除数相乘），四减（被除数减积），五比（比较余数与除数），六调（若需要，调整商），七落（落下下一位继续除）。强调“乘”时务必用原除数。▲6.拓展：灵活试商策略。除“四舍五入”外，可根据数字特点灵活处理。如除数是15、25时，可想乘法口诀直接试商（几个15、25接近被除数）。如140÷26，26接近25，想4个25是100，5个25是125，接近140，可试商5。这依赖于良好的数感。▲7.易错点警示：①试商后，乘的是看作的整十数，而不是原除数（错误！必须乘原除数）。②调商时，只在初商基础上加减1、2，不要跨度太大。③每一次除完，务必确保余数小于除数。④当被除数当前位不够除时，要商0占位。★8.验算方法：没有余数的除法：商×除数=被除数。有余数的除法：商×除数+余数=被除数。这是检验计算是否正确的“金标准”，应养成习惯。八、教学反思本教学设计以“探索算法世界”为隐喻，试图将结构化的教学模型、差异化的学生关照与素养导向的教学目标进行深度有机融合。假设实施后，可从以下方面进行复盘：（一）教学目标达成度分析。预期通过课堂观察、随堂练习正确率及课后访谈，收集达成证据。知识技能目标，预计90%以上学生能掌握“四舍五入”试商的基本步骤并完成基础计算，但“灵活选择策略”目标可能只在中上层次学生身上有显著体现。能力目标方面，学生在“任务二”的操作与表达中展现了较好的动手与协作能力，但在“任务四”的规律归纳环节，可能需要更多教师的支架支持才能顺利抽象出调商规律。情感与思维目标渗透在各个环节，小组合作的积极性与算法探究的专注度是重要的观察点。（二）核心环节有效性评估。导入环节的“分书”情境和估算，有效激发了认知冲突，迅速锚定了学习目标。“任务二”的小棒操作是本课亮点，它将抽象的试商、调商过程可视化、触觉化，尤其帮助了直观思维型学生理解算理。然而，从操作到算法抽象（任务三）的跳跃是关键转折点，部分学生可能出现“脱节”，需要教师用更细腻的语言和板书将“分的过程”与“竖式的每一步”进行反复、清晰的对应勾连。“任务四”的对比辨析设计精当，学生通过亲身计算错误、发现错误、纠正错误，对调商规律的理解远比直接听讲来得深刻。巩固训练的分层设计照顾了多样性，但课堂时间需精准把控，确保基础层全