小学五年级数学（北师大版）下册“分数除法”复习知识清单

小学五年级数学（北师大版）下册“分数除法”复习知识清单

一、核心概念与基本原理

（一）倒数的认识【基础】【必考】

1、定义：乘积为1的两个数互为倒数。这是理解分数除法计算法则的基石，揭示了除法与乘法之间的内在转换关系。倒数描述的是两个数之间的一种相互依存关系，是相互的，不能孤立地说一个数是倒数。

2、求一个数（0除外）的倒数的方法：

（1）求一个分数的倒数，交换分子和分母的位置即可。例如，2/3的倒数是3/2。

（2）求一个整数（0除外）的倒数，可以把这个整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母的位置。例如，5可以看作5/1，其倒数是1/5。

（3）求一个小数的倒数，可以先将小数化成分数，再求其倒数。例如，0.75化为3/4，其倒数是4/3。

（4）求一个带分数的倒数，先将带分数化为假分数，再求其倒数。例如，1⅔化为5/3，其倒数是3/5。

3、特殊数的倒数：

（1）1的倒数是1。

（2）0没有倒数。因为0乘任何数都得0，不可能等于1。

（二）分数除法的意义【理解】

分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。例如，3/4÷1/2，就是已知两个因数的积是3/4，其中一个因数是1/2，求另一个因数是多少。这也为我们后续理解“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”提供了逻辑支撑。

二、分数除法的计算法则与技巧【核心】【高频考点】

（一）分数除以整数

1、算理：分数除以一个非零整数，相当于把这个分数平均分成若干份，取其中的一份。例如，6/7÷3，表示把6/7平均分成3份，每份是2/7，即（6÷3）/7=2/7。当分子的整数倍能够被整数整除时，可以直接用分子除以整数。

2、通用法则：分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。例如，4/5÷6=4/5×1/6=4/30=2/15。这种方法更具普适性，尤其当分子不能被整数整除时。

（二）一个数除以分数

1、算理：这是分数除法中的核心难点。其算理源于包含除和商不变的规律。例如，小明走1/2小时走了2千米，求每小时走多少千米？数量关系为速度=路程÷时间，即2÷1/2。可以理解为1小时里有2个1/2小时，所以1小时走的路程是2千米的2倍，即2×2=4千米，从而推导出2÷1/2=2×2=4。

2、计算法则：【非常重要】除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。这一法则将分数除法统一转化为分数乘法。

（1）整数除以分数：4÷2/3=4×3/2=6。

（2）分数除以分数：2/5÷3/4=2/5×4/3=8/15。

（三）分数除法的混合运算【重要】【难点】

1、运算顺序：分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。在同一级运算中，如果没有括号，应按从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。

2、简便运算：整数的运算定律（如乘法交换律、结合律、分配律）在分数运算中同样适用。灵活运用这些定律可以使计算更简便。

例如：（5/9+5/6）÷5/18，可以转化为（5/9+5/6）×18/5，再利用乘法分配律简算。

3、易错警示：

（1）切忌将除法运算“分配律”错误使用。例如，a÷（b+c）≠a÷b+a÷c。

（2）在连除运算中，如a÷b÷c，一定要按照从左到右的顺序计算，或转化为a÷（b×c）进行计算，但要注意括号内的运算符号变化。

三、分数除法的应用——解决问题【高频考点】【难点】

（一）已知一个数的几分之几是多少，求这个数。【核心模型】

1、题型特征：题目中通常会给出一个具体的数量，以及这个数量占单位“1”的几分之几，要求我们求出单位“1”的量。

2、解题步骤：

（1）找准单位“1”。通常，“的”字前面的量，“比”字后面的量，或者分率“几分之几”前面的量是单位“1”。

（2）分析数量关系。画出线段图可以帮助理解。例如，一条路修了3/5，正好是120米，求这条路全长多少米？单位“1”是全长，修了的长度（120米）是全长的3/5。数量关系为：全长×3/5=120米。

（3）列式解答。根据数量关系，用除法计算：120÷3/5=120×5/3=200（米）。

3、方程解法：对于较复杂的问题，设单位“1”的量为x，根据等量关系列方程解答，是更通用、更不易出错的方法。如上题，解：设全长x米，则3/5x=120，x=120÷3/5=200。

（二）已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。【高频考点】【拓展】

1、题型特征：题目中会给出一个具体的数量，以及这个数量比单位“1”多（或少）了单位“1”的几分之几，求单位“1”。

2、数量关系：

（1）单位“1”×（1±几分之几）=已知量。

（2）单位“1”±单位“1”×几分之几=已知量。

3、解题关键：先确定单位“1”，再找出已知量对应的分率（即已知量占单位“1”的几分之几）。然后用已知量除以它对应的分率，即可得到单位“1”。

例如：一种商品现价120元，比原价降低了1/5，求原价。单位“1”是原价，现价对应的分率是（1-1/5）。列式：120÷（1-1/5）=120÷4/5=150（元）。

（三）工程问题【拓展】【综合运用】

1、基本模型：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数。

2、数量关系：工作总量÷工作效率和=合作时间。

3、典型例题：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？

分析：甲队工作效率为1/10，乙队工作效率为1/15，合作效率和为1/10+1/15=1/6。合作时间=1÷1/6=6（天）。

4、变式练习：当工作总量不是“1”时，或涉及轮流工作、中途加入或退出等情况时，需要灵活运用基本数量关系进行分析。

四、考点、考向与解题策略

（一）常见题型与考查方式

1、直接计算题：考查倒数的概念和分数除法的基本计算法则。要求计算结果必须是最简分数。【基础】

2、填空题与判断题：考查倒数概念、计算法则中的细节（如0没有倒数）、运算顺序等易错点。【基础】

例如：（）的倒数是0.25。判断：一个数除以分数，商一定大于这个数。（×）

3、解方程题：将分数除法与方程结合，考查学生的逆向思维能力。【重要】

例如：解方程2/3x=8，x÷4/5=10。

4、图文结合题：以线段图或情境图的形式呈现，要求学生根据图意列式计算，重点考查对数量关系的理解。【高频考点】

5、应用题：这是分数除法考查的重头戏。【非常重要】

（1）基础型应用题：直接套用“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的模型。

（2）稍复杂应用题：涉及“比一个数多/少几分之几”、“和倍问题”、“工程问题”等。

（3）综合型应用题：将分数除法与分数乘法、比和比例、几何图形等知识结合，考查学生综合运用知识解决问题的能力。

（二）解题步骤与要点【通用策略】

1、审题四步法：

（1）读：通读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。

（2）找：找准单位“1”，确定它是已知还是未知。

（3）析：分析数量关系，画出线段图辅助理解，找出已知数量对应的分率。

（4）定：根据数量关系，确定解题方法（算术法或方程法）。

2、列式解答要点：

（1）算术法：单位“1”未知，用除法。即对应量÷对应分率=单位“1”。

（2）方程法：设单位“1”为x，根据等量关系列出方程。这是解决复杂分数除法问题的首选方法，能有效降低思维难度。

3、检验反思：

（1）将计算结果代入原题，看是否符合题意。

（2）检查结果是否合理，是否符合实际。

（三）易错点辨析与突破

1、混淆乘法与除法：看到“的”字就用乘法，看到“是”、“占”、“比”后面的量未知时，不知该用除法。突破方法：强化对数量关系的分析，明确求的是单位“1”还是单位“1”的几分之几。

2、对应分率找错：在“已知比一个数多/少几分之几”的问题中，找错已知量所对应的分率。突破方法：紧抓“已知量÷已知量的对应分率=单位‘1’”这一核心，借助线段图明确哪个分率对应哪个量。

3、计算过程中的错误：

（1）除以一个数时，忘记将其改为乘它的倒数。

（2）在连除或乘除混合运算中，运算顺序出错。

（3）约分不彻底，结果不是最简分数。

突破方法：加强计算练习，养成“一看（看运算符号）、二想（想计算法则）、三算（仔细计算）、四查（回头检查）”的良好习惯。

4、单位“1”判断错误：在复杂的语境中，不能准确识别单位“1”。突破方法：熟记找单位“1”的几种方法，并通过专项训练加以巩固。

五、思维拓展与跨学科视野

（一）数形结合思想

分数除法的算理和应用题的解决，都离不开数形结合思想。线段图是将抽象的数量关系直观化、形象化的有力工具。无论是理解“除以一个数等于乘它的倒数”，还是分析应用题中量与率之间的对应关系，画图都能帮助学生化难为易，找到解题的突破口。这是贯穿整个小学阶段数学学习的重要思想方法。

（二）转化思想

分数除法的核心计算法则“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，本身就是转化思想最生动的体现。它将未知的（除法）转化为已知的（乘法），将复杂的转化为简单的。这种思想不仅在数学学习中至关重要，也是解决日常生活和未来学习、工作中各种问题的通用策略。

（三）模型思想

“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”是分数除法中最基本的数学模型。后续学习的“和倍问题”、“差倍问题”、“工程问题”等都是这个基本模型的拓展和延伸。掌握这个基本模型，并理解其变式，是培养数学建模能力的关键。学生应学会从纷繁复杂的现实情境中抽象出数学模型，并运用模型解决问题。

（四）跨学科应用

1、在科学（理化）中的应用：在配制溶液时，已知溶质的量和它占溶液的几分之几，求溶液的总量；在速度、时间、路程的关系中，已知时间和部分路程对应的分率，求总路程等。

2、在统计与概率中的应用：在统计图表中，已知部分量和它占总量的百分比（即分母为100的分数），求总量，其本质就是分数除法问题。

3、在生活中的应用：购物折扣（已知现价和折扣，求原价）、工程进度（已完成