2025年高起专北京市数学（文科）考试试题及答案

2025年高起专北京市数学（文科）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

解析：甲站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学站在一起，看作一个整体，有6个位置可以选择，即A(6,2)。剩下的4名同学有4!种站法。因此，总的站法为1×A(6,2)×4!=360种。但乙和丙两位同学可以互换位置，所以实际站法为360÷2=180种。

答案：A

2.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(1)的值。

A.4

B.5

C.2

D.4

解析：将x=1代入函数，得f(1)=(1)^36(1)+9=1+6+9=14。

答案：此题答案有误，正确答案应为E（题目有误）。

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=16，a6=5，求公差d。

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由等差数列的性质，S4=(a1+a4)×4÷2=16，得a1+a4=8。又因为a6=a1+5d=5，得a1=55d。将a1代入a1+a4=8，得55d+a4=8，解得d=1。

答案：A

4.已知函数f(x)=|x2|，求不等式f(x)<1的解集。

A.(1,3)

B.(2,3)

C.(1,2)

D.(2,4)

解析：当x<2时，f(x)=2x<1，解得x>1；当x≥2时，f(x)=x2<1，解得x<3。因此，不等式的解集为(1,3)。

答案：A

5.已知点A(2,3)，B(5,7)，求直线AB的斜率。

A.2

B.1

C.1

D.0

解析：直线AB的斜率k=(y2y1)/(x2x1)=(73)/(52)=4/3。

答案：此题答案有误，正确答案应为A（题目有误）。

6.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,4)，求b和c的值。

A.b=2，c=3

B.b=2，c=5

C.b=2，c=3

D.b=2，c=5

解析：因为函数图像开口向上，所以a>0。又因为顶点坐标为(1,4)，所以对称轴为x=1，即b/(2a)=1，得b=2。将顶点坐标代入函数，得(1)^2+b(1)+c=4，解得c=5。

答案：D

7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，求对角线AC与对角线B1C1的夹角。

A.60°

B.90°

C.120°

D.135°

解析：由正方体的性质，AC与B1C1的夹角等于AC与BC1的夹角。在直角三角形ABC1中，AC=√(AB^2+BC^2)=√(2^2+2^2)=2√2，BC1=2，所以sin∠ACB1=BC1/AC=2/(2√2)=√2/2，得∠ACB1=45°。因此，AC与B1C1的夹角为90°45°=45°。

答案：B

8.已知函数g(x)=2x+3/x+1，求g(x)的定义域。

A.x≠0

B.x≠1

C.x≠0且x≠1

D.x≠0且x≠3

解析：g(x)的定义域要求分母不为0，即x+1≠0，解得x≠1。又因为分母为x+1，所以x≠0。综合得g(x)的定义域为x≠0且x≠1。

答案：C

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=30，a2=6，求公比q。

答案：2

10.已知函数f(x)=|x1||x+1|，求f(x)的单调递增区间。

答案：(∞,1]

11.已知直线l的斜率为2，过点P(1,2)，求直线l的方程。

答案：y=2x4

12.已知正三角形ABC的边长为6，求高AD的长度。

答案：3√3

13.已知函数h(x)=x^33x+2，求h(x)的极值。

答案：极大值3，极小值2

三、解答题（每题20分，共40分）

14.已知函数g(x)=x^33x+1，求g(x)的单调区间和极值。

解析：求导得g'(x)=3x^23。令g'(x)=0，解得x=±1。当x<1时，g'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，g'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，g'(x)>0，函数单调递增。所以，g(x)的单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)。又因为g(1)=3，g(1)=1，所以g(x)的极大值为3，极小值为1。

答案：单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)，极大值为3，极小值为1。

15.已知椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>