2025年高起专黑龙江数学试题含答案

2025年高起专黑龙江数学试题含答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x+3在区间（1，3）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a≥1

C.a≤3

D.a<2

答案：A

解析：函数f(x)=2x+3的导数为f'(x)=2，由于导数恒大于0，所以函数在区间（1，3）上单调递增，故选A。

2.下列函数中，奇函数是（）

A.f(x)=x^33x

B.f(x)=x^2+2x+1

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x^22x

答案：A

解析：奇函数满足f(x)=f(x)。将各选项代入检验，只有A满足条件，故选A。

3.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(3)的值（）

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：D

解析：将x=3代入函数f(x)=x^22x+1，得f(3)=3^223+1=7，故选D。

4.下列等式中，正确的是（）

A.(a^2)^3=a^5

B.(a^3)^2=a^6

C.(a^2)^2=a^4

D.(a^3)^4=a^12

答案：D

解析：幂的乘方运算公式为(a^m)^n=a^(mn)。将各选项代入检验，只有D满足条件，故选D。

5.若函数f(x)=2x+3与g(x)=4x5在x=a处有相同的切线斜率，则a的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：两个函数在x=a处有相同的切线斜率，即导数相等。f'(x)=2，g'(x)=4，所以2=4a5，解得a=3，故选C。

6.下列各数中，是无理数的是（）

A.√2

B.√9

C.√16

D.√1

答案：A

解析：无理数是不能表示为两个整数比的数。√2无法表示为两个整数比，故选A。

7.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值（）

A.0

B.1

C.1

D.4

答案：A

解析：函数f(x)=x^22x+1可以写成完全平方形式，即f(x)=(x1)^2，最小值为0，当x=1时取得，故选A。

8.若a、b是方程x^23x+2=0的两根，则a^2+b^2的值是（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：C

解析：根据韦达定理，a+b=3，ab=2。所以a^2+b^2=(a+b)^22ab=3^222=7，故选C。

二、填空题（每题5分，共30分）

1.函数f(x)=x^33x^2+4在x=2处的导数f'(2)=_______

答案：3

解析：f'(x)=3x^26x，将x=2代入得f'(2)=32^262=1212=3。

2.若函数f(x)=2x^33x^2+4x+1在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是_______

答案：a≤1

解析：f'(x)=6x^26x+4，要使f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，需f'(x)>0，即6x^26x+4>0。解不等式得a≤1。

3.若方程x^2+2ax+b=0的两根相等，则a、b的关系是_______

答案：a^2=b

解析：两根相等，即判别式Δ=0，所以4a^24b=0，化简得a^2=b。

4.已知函数f(x)=|x2|+|x+3|，求f(1)的值_______

答案：4

解析：将x=1代入函数f(x)，得f(1)=|12|+|1+3|=3+2=4。

5.若函数f(x)=x^24x+3的图像与x轴的交点为A、B，则AB的距离是_______

答案：5

解析：函数f(x)=x^24x+3与x轴的交点为x=1和x=3，所以AB的距离为31=5。

6.已知函数f(x)=x^22x+1的图像上有一点P，使得点P的切线斜率为2，求点P的横坐标_______

答案：3

解析：函数f(x)=x^22x+1的导数为f'(x)=2x2，要使切线斜率为2，需2x2=2，解得x=3。

三、解答题（共30分）

1.（10分）已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间。

解：f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，得x^24x+3=0，解得x=1或x=3。

当x<1时，f'(x)>0；当1<x<3时，f'(x)<0；当x>3时，f'(x)>0。

所以f(x)在（∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减。

2.（10分）解方程组：

\[

\begin{cases}

x+y=4\\

2x3y=1

\end{cases}

\]

解：将第一个方程乘以2得2x+2y=8，与第二个方程相减得5y=7，解得y=7/5。将y=7/5代入第一个方程得x=13/5。

所以方程组的解为x=13/5，y=