2025年高起专青海数学考试真题及答案

2025年高起专青海数学考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^36x+9在x=a处取得极小值，则a的取值范围是（）

A.a>2

B.a<2

C.a=2

D.a≥2

答案：C

解析：求导数f'(x)=3x^26，令f'(x)=0，得x=±√2。将x=±√2分别代入f'(x)的左右两边，可知f'(x)在x=√2左侧为负，在右侧为正，故x=√2为极小值点；f'(x)在x=√2左侧为正，在右侧为负，故x=√2为极大值点。因为题目给出f(x)在x=a处取得极小值，所以a=√2。

2.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，且f(2)=3，则f(2)的值为（）

A.3

B.3

C.0

D.6

答案：B

解析：因为函数y=f(x)的图像关于原点对称，所以f(x)=f(x)。将x=2代入，得f(2)=f(2)=3。

3.若a、b为实数，且a+b=3，则a^2+b^2的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.6

答案：C

解析：利用平方差公式，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。将a+b=3代入，得9=a^2+2ab+b^2。要求a^2+b^2的最小值，只需令2ab=0，此时a^2+b^2=9。

4.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式（）

A.an=4n3

B.an=2n+1

C.an=4n+1

D.an=2n1

答案：A

解析：根据等差数列前n项和的公式S_n=n(a1+an)/2，得2S_n=n(a1+an)。将S_n=2n^2+n代入，得4n^2+2n=n(a1+an)。又因为an=a1+(n1)d，代入得4n^2+2n=n(a1+a1+(n1)d)。整理得an=4n3。

5.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的取值范围是（）

A.(0,1]

B.[0,1)

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

答案：A

解析：圆心到直线的距离公式为d=|k01b+0|/√(k^2+1)。因为直线与圆相切，所以d=1。代入得|b|/√(k^2+1)=1。两边平方，得b^2=k^2+1。所以k^2+b^2=b^2+1k^2=1，即k^2+b^2的取值范围为(0,1]。

6.若函数f(x)=x^33x^2+3x1在区间(0,1)内有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）

A.a>1

B.a<1

C.a≥1

D.a≤1

答案：B

解析：求导数f'(x)=3x^26x+3，令f'(x)=0，得x=1/2。将x=1/2代入f(x)，得f(1/2)=1/8。因为f(0)=1，f(1)=0，所以f(x)在(0,1/2)内单调递减，在(1/2,1)内单调递增。又因为f(x)在(0,1)内有两个不同的实数根，所以f(1/2)<0。代入得a<1。

7.若数列{an}满足an=3an12，且a1=2，求证数列{an}是等比数列（）

A.证明成立

B.证明不成立

答案：A

解析：因为an=3an12，所以an+1=3an2。将an=3an12代入，得an+1=3(3an12)2=9an18。所以an+1/an=9/3=3。因为a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列。

8.若函数g(x)=x^22x+1在区间(0,2)内有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m>1

B.m<1

C.m≥1

D.m≤1

答案：B

解析：因为g(x)=(x1)^2，所以g(x)在区间(0,2)内只有一个实数根x=1。题目要求g(x)在区间(0,2)内有两个不同的实数根，所以题目条件不成立，无法求出m的取值范围。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数f(x)=x^22x+c在x=1处取得极小值，则c的值为______。

答案：0

解析：求导数f'(x)=2x2，令f'(x)=0，得x=1。将x=1代入f(x)，得f(1)=c1。因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f(1)=c1=0，解得c=0。

10.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k的取值范围是______。

答案：(1,1)

解析：直线与圆相切，圆心到直线的距离为1，根据距离公式，有|b|/√(k^2+1)=1。两边平方，得b^2=k^2+1。因为k^2+b^2=1，所以k^2<1，即k的取值范围为(1,1)。

11.若数列{an}是等差数列，且an=3an12，则该数列的公差为______。

答案：2

解析：因为an=3an12，所以an+1=3an2。将an=3an12代入，得an+1=3(3an12)2=9an18。所以an+1an=9an18(3an12)=6an16。因为{an}是等差数列，所以an+1an=d，即d=6an16。又因为d为常数，所以d=2。

12.若函数g(x)=x^22x+1在区间(0,2)内有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是______。

答案：m<1

解析：因为g(x)=(x1)^2，所以g(x)在区间(0,2)内只有一个实数根x=1。题目要求g(x)在区间(0,2)内有两个不同的实数根，所以题目条件不成立，无法求出m的取值范围。

13.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，且k=0，则b的取值范围是______。

答案：[1,1]

解析：直线与圆相切，圆心到直线的距离为1，根据距离公式，有|b|/√(k^2+1)=1。因为k=0，所以|b|/1=1。所以b的取值范围为[1,1]。

三、解答题（每题10分，共30分）

14.解方程：2x^33x^22x+1=0。

答案：x=1或x=1/2或x=1/2

解析：将方程左边因式分解，得(2x1)(x^2x1)=0。所以2x1=0或x^2x1=0。解得x=1或x=1/2或x=1/2。

15.已知函数f(x)=x^22x+c在x=1处取得极小值，求c的值，并求出f(x)的单调区间。

答案：c=0，单调增区间为[1,+∞)，单调减区间为(∞,1]

解析：求导数f'(x)=2x2，令f'(x)=0，得x=1。将x=1代入f(x)，得f(1)=c1。因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f(1)=c1=0，解得c=0。因为f'(x)在x=1左侧为负，在右侧为正，所以f(x)的单调增区间为[1,+∞)，单调减区间为(∞,1]。

16.若数列{an}满足an=3an12，且a1=2，求该数列的通项公式。

答案：an=