2025年高起专云南省数学（理科）真题试卷及答案

2025年高起专云南省数学（理科）练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x²+k在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≤1

B.k<0

C.k≥1

D.k>1

解析：函数f(x)=x²+k的导数为f'(x)=2x。当x>0时，f'(x)>0，说明函数在区间（0，+∞）上单调递增。因此，k的取值范围不影响函数的单调性。选项A正确。

答案：A

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，则该数列的首项a1和公差d分别为（）

A.a1=3，d=2

B.a1=3，d=1

C.a1=1，d=2

D.a1=1，d=1

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)可得：

S3=3/2(2a1+2d)=9

S6=6/2(2a1+5d)=27

解方程组得：a1=3，d=2。选项A正确。

答案：A

3.已知函数f(x)=2x²3x+1，求f(x)的极值。

解析：f'(x)=4x3，令f'(x)=0，解得x=3/4。当x<3/4时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>3/4时，f'(x)>0，f(x)单调递增。因此，f(x)在x=3/4处取得极小值，f(3/4)=17/16。

答案：极小值17/16

4.已知函数y=x²+2ax+b（a、b为常数）的图象上存在点（m，n），使得该函数在点（m，n）处的切线斜率为2，则a、b的取值范围是（）

A.a≤1，b≤1

B.a≤1，b≥1

C.a≥1，b≤1

D.a≥1，b≥1

解析：函数y=x²+2ax+b的导数为y'=2x+2a。在点（m，n）处的切线斜率为2，即y'(m)=2。解方程2m+2a=2得a=1m。要使a、b的取值范围满足条件，需要满足以下两个不等式：

a≤1，即1m≤1，解得m≥0；

b≤1，即b≤1。

选项A正确。

答案：A

5.若函数f(x)=x²2x+c在区间（0，1）上有两个不同的零点，则实数c的取值范围是（）

A.0<c<1

B.0<c≤1

C.1<c<2

D.1≤c<2

解析：函数f(x)=x²2x+c的导数为f'(x)=2x2。令f'(x)=0，解得x=1。当x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。要使f(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点，需要满足以下条件：

f(0)>0，即c>0；

f(1)<0，即12+c<0，解得c<1。

选项B正确。

答案：B

6.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7，S6=63，则该数列的首项a1和公比q分别为（）

A.a1=1，q=3

B.a1=1，q=2

C.a1=3，q=2

D.a1=3，q=3

解析：由等比数列的前n项和公式Sn=a1(1qⁿ)/(1q)可得：

S3=a1(1q³)/(1q)=7

S6=a1(1q⁶)/(1q)=63

解方程组得：a1=1，q=3。选项A正确。

答案：A

7.若直线y=kx+b与圆x²+y²=4相切，则k²+b²的取值范围是（）

A.k²+b²<4

B.k²+b²≤4

C.k²+b²>4

D.k²+b²≥4

解析：圆心到直线的距离为d=|k0+b0|/√(k²+1)=|b|/√(k²+1)。因为直线与圆相切，所以d=2。将d=2代入公式得：|b|/√(k²+1)=2，平方两边得：b²/(k²+1)=4。整理得：k²+b²=4。

选项D正确。

答案：D

8.已知函数f(x)=|x2||x+1|，求f(x)的单调递增区间。

解析：当x<1时，f(x)=3；

当1≤x<2时，f(x)=2x1；

当x≥2时，f(x)=3。

因此，f(x)的单调递增区间为[1，+∞)。

答案：[1，+∞)

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=45，则该数列的公差d=_______。

答案：1

10.若函数f(x)=x²4x+c在区间（0，2）上有两个不同的零点，则实数c的取值范围是_______。

答案：2<c<4

11.已知函数f(x)=x²+kx+b（k、b为常数）的图象上存在点（m，n），使得该函数在点（m，n）处的切线斜率为1，则k、b的取值范围是_______。

答案：k≤1，b≤1

12.若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则该数列的前5项和S5=_______。

答案：62

13.若直线y=kx+b与圆x²+y²=4相切，则k²+b²=_______。

答案：4

14.已知函数f(x)=|x2||x+1|，求f(x)在区间（∞，+∞）上的值域。

答案：[3，3]

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x³3x²+4x5，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

解析：f'(x)=3x²6x+4。令f'(x)=0，解得x=2/3，x=2。当x<2/3时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当2/3<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。

答案：单调递增区间为（∞，2/3）和（2，+∞），单调递减区间为（2/3，2）。

16.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=45。求该数列的首项a1和公差d，并写出数列的通项公式。

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)可得：

S5=5/2(2a1+