《理论力学第4版》课件 第3章 力系的平衡条件及其应用

1第三章力系的平衡条件及其应用2第三章力系的平衡条件及其应用3.1空间力系的平衡条件及其应用

3.2平面力系的平衡方程及其应用

3.3静定和静不定问题的概念

3.4

刚体系统的平衡

3.5平面静定桁架的内力分析3.6考虑摩擦时的平衡问题

3

一、空间任意力系的平衡充要条件所以空间一般力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。3.1空间力系的平衡条件及其应用4空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程为：设各力线都//z轴。因为均为恒等式空间力偶系的平衡方程为：3.1空间力系的平衡条件及其应用5一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程式只有

个。6543ABCD提交单选题6一、平面力系的平衡充要条件平面力系平衡方程的基本形式（一矩式）3.2平面力系的平衡方程及其应用7二矩式条件：x轴不AB连线三矩式条件：A,B,C不在同一直线上3.2平面力系的平衡方程及其应用8平面汇交力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程为：(设各力作用线平行y轴）（一矩式）条件：AB连线不能平行于力的作用线（二矩式）平面力偶系的平衡方程为：3.2平面力系的平衡方程及其应用9图示刚体在一个平面汇交力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的

mA(F)=0,

mB(F)=0；

Fx

=0,

Fy

=0；

Fx=0,

mA(F)=0

mA(F)=0,

mC(F)=0；ABCD提交单选题10图示刚体在一个平面平行力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的

Fy

=0,

mO(F)=0;

Fx=0,

mO(F)=0;

Fx’

=0,

mO(F)=0

mA(F)=0,

mO(F)=0；ABCD提交单选题11图示刚体在一个平面任意力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的ABCD提交单选题

Fx

=0,

mO(F)=0,

mA(F)=0;

mO(F)=0,

mA(F)=0,

mB(F)=0;

Fy

=0,

mC(F)=0,

mA(F)=0;

Fx

=0,

mB(F)=0,

mA(F)=0;12二、空间约束

观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。1、球铰链13FxFyFz圆锥滚子轴承约束力1415角接触轴承约束力FxFyFz162、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承171819圆柱滚子轴承FxFy20FxFy深沟球轴承约束力213、导向轴承4、带有销子的夹板225、止推轴承6、空间固定端 23

例1、镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀尖B的坐标x

=200mm，y

=75mm，z

=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束力。xzy20075ABFyFzFx241、取镗刀杆为研究对象：解：2、受力分析

刀杆根部是空间固定端约束，可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶表示约束反力。xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy25xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy4、联立求解3、列平衡方程26

例2、某种汽车后桥半轴可看成支承在各桥壳上的简支梁。A处是径向止推轴承，B处是径向轴承。已知汽车匀速直线行驶时地面的法向约束力FD=20kN，锥齿轮上受到有切向力Ft,径向力Fr，轴向力Fa的作用。已知：Ft=117kN，Fr=36kN，Fa=22.5kN，锥齿轮的节圆平均直径d=98cm，车轮半径r=440cm，l1=300cm，l2=900cm，l3=80cm。如果不计重量，试求地面的摩擦力和A，B两处轴承中约束力的大小。273、列平衡方程解：1、取整体系统为研究对象：2、受力分析如图ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxx28ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxx3、联立求解29例1、伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重G=2200N，吊车D，E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和铅直约束力，以及拉索BF的拉力。aαcbBFACF1F2l301、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图aαcbBFACF1F2lyxBAFBGF2F1ECDFAyFAxα解：31FAyyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl3、列平衡方程4.联立求解。

FB=12456NFAx=11290NFAy=4936N32例2、自重为G=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示，其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。ADl

l3lqBMFG331、取T

字形刚架为研究对象ADB解：2、受力分析llF1FAxFAyMAl

MFGyxADl

l3lqBMFG34ADBllF1FAxFAyMAl

MFGyx3、按图示坐标，列写平衡方程4、联立求解35例3、塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：

(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)当平衡荷重G3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？AB2m2m6m12mG1G2G3361、起重机不翻倒。满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得

空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得

取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。则有

75kN＜G3＜350kN解：AB2m2m6m12mG1G2G3372、取G3=180kN，求满载时轨道A，

B给起重机轮子的约束力。列平衡方程解方程得AB2m2m6m12mG1G2G338例4、梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100N/m，力偶矩大小M=500N·m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。BAD1mq2mM练习题：39BAD1mq2mM解：1.取梁AB为研究对象。2、受力分析如图。其中F=q×AB=300N；作用在AB

的中点C。BADFFAyFAxFDCM403、选如图坐标系，列平衡方程BADFFAyFAxFDCM4.联立求解，可得

FD=475N，FAx=0，FAy=－175N41F1ABl2l1llF2M例5、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。

练习题：42F1ABl2l1llF2M1、取梁为研究对象4、解方程解：3、列平衡方程FAyABxyFAxF1FByF2M2、受力分析43静定静不定静定问题

——

当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。静不定问题

——

当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。3.3静定和静不定问题的概念44静不定(1次）静定静不定(2次）静不定(3次）3.3静定和静不定问题的概念45一、

工程实例3.4

刚体系统的平衡46三、

特点1、不仅需要考虑外力，还需考虑内力。

2、仅仅考虑系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统）不能确定全部未知力。3、需要考虑静定和静不定问题。刚体系统：由若干个刚体通过约束组成的系统。外力：刚体系统以外任何物体作用于该系统的力。内力：刚体系统内部各物体间互相作用的力。刚体系统的平衡：系统的每个刚体都处于平衡状态。二、

概念3.4

刚体系统的平衡47四、刚体系统的静定静不定判断由n个刚体构成的刚体系统n1个平面力系n2个平面汇交力系或平面平行力系n3个平面力偶系系统平衡方程的个数为：m=3n1+2n2+n31、刚体系统的平衡方程数目2、静定静不定判断

若未知的外约束力和内约束力的总数为K个，如

,则刚体系统是静定的，否则是静不定的，静力学只研究静定平衡问题。3.4

刚体系统的平衡48例1、组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN•m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/43.4

刚体系统的平衡49l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4解：1、受力分析2、列平衡方程取CE段为研究对象CEF1M3l/8Hl/8FCyFEFCx

3、求解得：

FE=2.5kN，FCy=2.5kN一：系统静定。

3.4

刚体系统的平衡502、列平衡方程3、联立求解

FAy=15kN，MA=－2.5kNIACH取AC段为研究对象MAF2l/4Fl/8l/8FAyFAx1、受力分析二：3.4

刚体系统的平衡51

例2、三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示。ABCDEGF3mG1m6m6m6m3.4

刚体系统的平衡52ABCDEGF3mG1m6m6m6mFByFBxFAyFAx解：2、受力分析3、列平衡方程1、取整体为研究对象一：FAy=42.5kNFBy=47.5kN3.4

刚体系统的平衡533、列平衡方程1、取AC段为研究对象2、受力分析二：ACDFCxGFAxFAyFCyFAx=9.2kNFCx=9.2kNFCy=2.5kN解得：FAx带入（a）式可求FBx3.4

刚体系统的平衡54例3、A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。3.4

刚体系统的平衡55解：1、取整体为研究对象2、受力分析3、列平衡方程1、取杆AB为研究对象3、列平衡方程联立求解可得解得

一：2、受力分析如图二：FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE3.4

刚体系统的平衡56例4、如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,θ=45°

。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DⅡKCABEⅠG3.4

刚体系统的平衡574、解平衡方程解：1、取整体为研究对象2、受力分析3、列平衡方程一：DⅡKCABEⅠFAGFExFEy3.4

刚体系统的平衡581、取DEC为研究对象2、受力分析3、列平衡方程二：DⅡKCABEⅠG解平衡方程ECKDFKFEyFEx3.4

刚体系统的平衡59一、概念桁架：一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。节点：桁架中杆件的铰链接头。杆件内力：各杆件所承受的力。3.5平面静定桁架的内力分析60桁架结构3.5平面静定桁架的内力分析61无余杆桁架：

如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架就会活动变形，即失去形状的固定性。3.5平面静定桁架的内力分析62有余杆桁架：如果从桁架中抽去某几根杆件，桁架不会活动变形，即不会失去形状的固定性。3.5平面静定桁架的内力分析63简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加二根杆件，可以构成无余杆的平面桁架。3.5平面静定桁架的内力分析64二、桁架计算的常见假设1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。3.5平面静定桁架的内力分析65

桁架结构的优点

可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。

简单平面桁架的静定性

当简单平面桁架的支座反力不多于3个时，求其杆件内力的问题是静定的，否则不静定。3.5平面静定桁架的内力分析66三、计算桁架杆件内力的方法节点法——

应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。截面法——

用应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。3.5平面静定桁架的内力分析67例1、如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCACDBEFFEaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx解：节点法1、取整体为研究对象2、受力分析如图3.5平面静定桁架的内力分析683、列平衡方程4、联立求解

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析695、取节点A，受力分析如图解得列平衡方程FAxFAyAFACFAFaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析70aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx6、取节点F，受力分析如图FFEFFAFFCF解得列平衡方程3.5平面静定桁架的内力分析71FCFFCAFCCFCDFCE7、取节点C，受力分析如图列平衡方程解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析72FDEFDCDFDB8、取节点D，受力分析如图列平衡方程解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析73FBBFBDFBE9、取节点B，受力分析如图列平衡方程解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析74截面法1、取整体为研究对象2、受力分析如图解：例2、如图平面桁架，求EF、CD、CE杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCACDBEFFEaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析753、列平衡方程4、联立求解

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx3.5平面静定桁架的内力分析765.列平衡方程。

4.作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图联立求解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxFFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCEmm3.5平面静定桁架的内力分析77说明：节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力四、零力杆判断1、两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。3、三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。2、两杆节点有载荷、且一杆和载荷在一条直线上时，另一杆是零力杆。3.5平面静定桁架的内力分析2026/3/378力学中的摩擦问题3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/379摩擦在现实中的应用3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/380摩擦在现实中的应用多盘摩擦离合器单盘摩擦离合器3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/381摩擦在现实中的应用3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/382摩擦在现实中的应用3.6考虑摩擦时的平衡问题

当一物体沿着另一物体的表面（或接触面）滑动或具有滑动的趋势时，该表面会产生切向阻力的现象称为滑动摩擦，简称摩擦。这个切向阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。1.滑动摩擦的概念F：摩擦力，

：法向约束力滑动趋势3.6考虑摩擦时的平衡问题2.滑动摩擦的分类静（滑动）摩擦：仅出现相对滑动趋势而未发生运动时的摩擦。(1)

按二物体接触点（面）之间有无相对速度分类动（滑动）摩擦：已发生相对滑动的物体间的摩擦。

(2)按二物体接触面间是否有润滑分类干摩擦：由固体表面直接接触而产生的摩擦。湿摩擦：固体表面之间存在某种液体，则这时出现的摩擦。半干摩擦：当润滑油不足时，固体表面将部分保持直接接触，这种在中间状态下出现的摩擦。3.6考虑摩擦时的平衡问题摩擦力的大小有如下变化范围：0≤F≤FmaxFNGFNGFFPmaxFN=－G极限值Fmax称为极限摩擦力（最大摩擦力）。当推力FP增加到等于Fmax时的平衡称为临界平衡状态。FP=－F摩擦力的方向总是和物体的相对滑动趋势的方向相反。3.静摩擦力的性质3.6考虑摩擦时的平衡问题静摩擦力的最大值Fmax与物体对支承面的正压力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fmax=fsFN

fs

:

静摩擦因数4.静摩擦力极限摩擦定律动摩擦力的方向总是和物体的相对滑动的速度方向相反。动摩擦力Fd与物体对支承面的正压力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fd

=fdFNfd

:

动摩擦因数5.动摩擦定律3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/3876、影响摩擦系数的因素湿度、温度、摩擦表面的材料3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/388刹车盘3.6考虑摩擦时的平衡问题2026/3/389

八达岭（山区地段）高速公路进京方向有十多公里的下坡路，常常有大货车制动失灵引发交通事故。3.6考虑摩擦时的平衡问题

摩擦角

全反力FSFNFR

全反力

FR=FN+FS最大全反力FR对法向反力FN的偏角

f。FSmaxFNFRm

f最大全反力

FRm=FN+FSmax7.摩擦角、摩擦锥、自锁3.6考虑摩擦时的平衡问题由此可得重要结论：摩擦角的正切=静摩擦系数

摩擦角最大全反力FRm对法向反力FN的偏角

f。FmaxFNFRm

f最大全反力

FRm=FN+Fmax3.6考虑摩擦时的平衡问题以支承面的法线为轴作出的以2

f

为顶角的圆锥。

摩擦锥3.6考虑摩擦时的平衡问题性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角不大于摩擦角。

摩擦锥的性质摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。物体平衡时有0≤FS≤FSmax则有0≤

≤

f所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为0≤

≤

f。≤≤3.6考虑摩擦时的平衡问题●两个重要结论①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。FPFR

f这种现象称为自锁。3.6考虑摩擦时的平衡问题②如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。FPFR

f●两个重要结论3.6考虑摩擦时的平衡问题利用摩擦角测定静摩擦系数3.6考虑摩擦时的平衡问题螺旋千斤顶3.6考虑摩擦时的平衡问题斜面自锁条件GαFNFGsinα≤fsGcosα由

F≤Fmax=fsFN平衡时F=Gsinα,FN=Gcosαα≤

f≤3.6考虑摩擦时的平衡问题D99水平地面上，若地面为绝对光滑，木梯与墙之间有摩擦，其摩擦系数为f，梯子与地面的夹角为

。以下四种条件的说法，哪一种是正确的。

<arctgf杆能平衡

=arctgf杆能平衡只有当

<arctgf杆不平衡在0

<

<90

时，杆都不平衡ABCD提交单选题B100已知物块重为P，放在地面上，物块与地面之间有摩擦，其摩擦角为

m=20

，物块受图示Q力的作用，若Q=P，以下四种情况，哪一种说法是正确的。ABCD提交单选题ARO

当一物体沿着另一物体的表面滚动或具有滚动的趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还受到一个阻力偶的作用。这个阻力偶称为滚动摩阻。

2.滚动摩阻性质与产生原因FPFfWFNWAROFPW，FN组成阻止滚动的力偶，即滚阻力偶

Mr。由平衡条件得W=－FN

，Ff=－FPAOFRWFPdFfFN1.滚动摩阻的定义AOMrFfFNWFP3.6考虑摩擦时的平衡问题Mr=FNdMr,max=FNδ

3.滚动摩阻定律

实验表明：滚动摩阻力偶矩具有极限值Mr,max，力偶矩一旦增大到超过Mr,max，滚子就不能保持平衡。

滚阻力偶矩的极限值（最大值）可表示为

Mr,max=FNδδ称为滚阻系数，具有长度量纲。它与滚子以及支承面的材料、硬度等物理因素有关。3.6考虑摩擦时的平衡问题A103图示以后轮发动的汽车在粗糙地面上行驶时，其后轮受发动机的主动力偶的作用，前轮受轮轴上的水平推力的作用，在下图所示的四种情况中(A、B为汽车的前后轮与地面之间有滚动摩阻的情况，C、D为汽车的前后轮与地面之间无滚动摩阻的情况），哪一个是正确的受力分析图。ABCD提交单选题1.

临界平衡状态分析

●应用Fmax=fsFN

作为补充方程。

考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。●根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向，不能任意假设。在许多情况下其结果是一个不等式或范围。两种情况3.6考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。两种情况2.非临界平衡状态分析（平衡范围分析）●应用F≤fsFN

作为补充方程。●当物体平衡时，摩擦力F和支承面的正压力FN彼此独立。

摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程决定。3.6考虑摩擦时的平衡问题2.列平衡方程。1.取物块A为研究对象，受力分析如图。解:yAxαGFFNFsαAF

例1小物体A重G=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力,α=30°，试求作用在物体上的摩擦力。例题

4-13.6考虑摩擦时的平衡问题3.联立求解。最大静摩擦力yAxαGFFNFs因为所以作用在物体上的摩擦力为3.6考虑摩擦时的平衡问题物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。

若

fs

=0.2,动摩擦因数

fd=0.19。求作用在物体上的摩擦力。由得比较得作用在物体上的动摩擦力为yAxαGFFNFs

讨论3.6考虑摩擦时的平衡问题αGF取物块为研究对象。1.设F值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。列平衡方程解:αGFFsyxFN

例2在倾角α大于摩擦角

f

的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。例题

4-23.6考虑摩擦时的平衡问题联立求解得αGFFsyxFN将代入上式得≤≤在平衡范围内所以解得使物块不致下滑的F值≤≥（a）≥3.6考虑摩擦时的平衡问题

2.设F

值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，

受力分析如图。αGFFNFsxy联立求解列平衡方程在平衡范围内所以≤≤≤3.6考虑摩擦时的平衡问题3.综合条件（a）和（b），得所求为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上所作用水平力F的容许值范围αGFFNFfxy≤≤解得使物块不致上滑的力F值将代入上式得≤（b）≤≤3.6考虑摩擦时的平衡问题hdBAFx

例3一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F

的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。例题

4-33.6考虑摩擦时的平衡问题2.列平衡方程。3.联立求解。1.取支架为研究对象,受力分析如图。解析法解:FAFNBFNAABCFxxyhOFB补充方程3.6考虑摩擦时的平衡问题支架受力分析如图所示。由几何关系得解得几何法FDFRBFRAABCx

fh1h2

f3.6考虑摩擦时的平衡问题

例4

图示匀质木箱重G=5kN，它与地面间的静摩擦因数

fs=0.4。图中h=2a=2m，α

=30°。（1）问当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。haαADGF例题

4-43.6考虑摩擦时的平衡问题解:因为

Ff<Fmax

，所以木箱不滑动。解方程得取木箱为研究对象，受力分析如图。（1）不发生滑动，即Ff≤Fmax=fsFN

。木箱与地面之间的最大摩擦力为hdaαADGFfFNF列平衡方程1.判断木箱是否平衡3.6考虑摩擦时的平衡问题又因为d=0.171m>0

，所以木箱不会翻倒。解方程得（2）不绕点A翻倒，即

d>0

。hdaαADGFfFNF3.6考虑摩擦时的平衡问题2.求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界时的最小力F。列平衡方程解得木箱发生滑动的条件为

Ff=Fmax=fsFN木箱绕A点翻倒的条件为d=0，则F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为hdaαADGFfFNF3.6考虑摩擦时的平衡问题列平衡方程解得补充方程

Ff=Fmax=fsFNhaαADGFfFNF也可以如下分析：(1)木箱有向左滑动趋势

讨论3.6考虑摩擦时的平衡问题列平衡方程解得F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为haαADGFfFNF(2)木箱处于绕A点翻倒的临界平衡状态3.6考虑摩擦时的平衡问题αFHArOαFHAOαMr,maxGFFNyx1.取轮子为研究对象,受力分析如图。解:

例5匀质轮子的重量G=3kN，半径r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成α=30°的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05

cm，试求力FH的大小。例题

4-53.6考虑摩擦时的平衡问题2.列平衡方程。3.联立求解。补充方程αFHAOαMr,maxGFFNyx3.6考虑摩擦时的平衡问题WAROFP1.取轮子为研究对象。2.受力分析如图。

例6匀质轮子的重量W=10kN，半径R=0.5m；已知轮子与地面的滚阻系数δ=0.005m，摩擦因数fs=0.2，问轮子是先滚还是先滑？通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。解:AOMrFfFNWFP例题

4-6例题

4-63.6考虑摩擦时的平衡问题3.列平衡方程。讨论滑动：临界时Ff=Fmax=fsFNFP1=Ff=fsFN=fsW

=0.2

×10=2kN讨论滚动：临界时Mr=Mr,max=δFN比较可知先滚动。AOMrFfFNWFP3.6考虑摩擦时的平衡问题轮子只滚动而不滑动的条件临界时

FP2≤FP1

FP1=Ff=fsFN=fsW即实际上所以轮子一般先滚动。AOMr,maxFfFNWFP

讨论3.6考虑摩擦时的平衡问题1.向左滚动趋势。2.向右滚动趋势。3.滑动趋势。

例7匀质轮子的重量W=300N，由半径R=0.4m和半径r=0.1m两个同心圆固连而成。已知轮子与地面的滚阻系数δ=0.005m，摩擦因数fs

=0.2，求拉动轮子所需力FP的最小值。轮子可能发生的三种运动趋势：解:WArOFPR例题

4-73.6考虑摩擦时的平衡问题列平衡方程1.轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN临界时

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m负值说明轮不可能有向左滚动的趋势。3.6考虑摩擦时的平衡问题列平衡方程WArOFPRMr,maxFFN临界时

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m2.轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。此时滑动摩擦力为3.6考虑摩擦时的平衡问题轮子向右滚动。此时静摩擦力达到最大值F=Fmax