《分析力学(全2册)》-21

21.1Lagrange系统Lagrange系统的形式不变性在一定条件下可导致新型守恒量、Noether守量，以及Hojman型守恒量。21.1.1运动微分方程Lagrange系统的运动微分方程为下一页返回21.1Lagrange系统21.1.2形式不变性取时间和坐标的无限小变换定义如果用变换后的Lagrange函数L*代替变换前的L时，方程(21.1.2)的形式保持不变，则称这种不变性为Lagrange系统的形式不变性。由上述定义，有

Es(L)=0(s=1，2，…，n)(21.1.9)上一页下一页返回21.1Lagrange系统将式(21.1.8)代人式(21.1.9)，忽略eV及更高阶小项，并用方程(21.1.2),得到Es{X"'(L)}=0(21.1.10)于是有判据对Lagrange系统(21.1.2)，如果无限小生成元满足方程(21.1.10)，则相应不变性为系统的形式不变性。称方程(21.1.10)为形式不变性的判据方程。一般说来，形式不变性不一定是Noether对称性，也不一定是Lie对称性。21.1.3新型守恒量对Lagrange系统，由形式不变性可直接导出一类新型守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.1Lagrange系统上一页下一页返回21.1Lagrange系统21.1.4Noether守恒量由形式不变性通过Noether对称性可间接导出Noether守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.1Lagrange系统21.1.5Hojman型守恒量由形式不变性通过Lie对称性可间接导出Hojman型守恒量，有如下结果:命题3对Lagrange系统，在时间不变的特殊无限小变换下，如果形式不变性的生成元ξs满足Lie对称性的确定方程上一页下一页返回21.1Lagrange系统21.1.6应用举例例1Emden方程为

试研究形式不变性导致的守恒量。解:Emden方程可化为Lagrange系统，其Lagrange函数为做计算，得取生成元则有上一页下一页返回21.1Lagrange系统结构方程(21.1.11)给出于是肩命题1给出新型守恒量形式不变性的生成元也是Noether对称性的。结构方程(21.1.15)给出L-L+Gn=0因此Gn=0命题2给出Noether守恒量上一页返回21.2Hamilton系统Hamilton系统的形式不变性在一定条件下可导致新型守恒量、Noether守量，以及Hojman型守恒量。21.2.1运动微分方程Hamilton系统的运动微分方程表示为下一页返回21.2Hamilton系统21.2.2形式不变性取时间和正则变量的无限小变换上一页下一页返回21.2Hamilton系统21.2.3新型守恒量对Hamilton系统，由形式不变性可导出一类新型守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.2Hamilton系统21.2.4Noether守恒量对Hamilton系统，形式不变性通过Noether对称性可间接导出Noether守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.2Hamilton系统21.2.5Hojman型守恒量在时间不变的无限小变换上一页下一页返回21.2Hamilton系统形式不变性通过Lie对称性可间接导出Hojman型守恒量，有如下结果:命题3如果Hamilton系统形式不变性的生成元ξs，ηs满足式(21.2.14),则形式不变性导致Hojman型守恒量21.2.6应用举例上一页返回下一页21.2Hamilton系统下一页上一页返回21.2Hamilton系统下一页上一页返回21.2Hamilton系统上一页返回21.3一般完整系统一般完整系统的形式不变性在一定条件下可导致新型守恒量、Noether守量，以及Hojman型守恒量。21.3.1运动微分方程一般完整力学系统在广义坐标下的微分方程表示为下一页返回21.3一般完整系统则由方程(21.3.1)可解出所有广义加速度，记作21.3.2形式不变性取时间和坐标的无限小变换上一页下一页返回21.3一般完整系统21.3.3新型守恒量对一般完整系统，形式不变性可直接导致一类新型守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.3一般完整系统21.3.4Noether守恒量对一般完整系统，形式不变性通过Noether对称性可间接导致Noether守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.3一般完整系统21.3.5Hojman型守恒量对一般完整系统，形式不变性通过Lie对称性可间接导致Hojman型守恒量，有如下结果:命题3在时间不变的无限小变换上一页下一页返回21.3一般完整系统21.3.6应用举例上一页返回下一页21.3一般完整系统下一页上一页返回21.3一般完整系统上一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统LIeTaes型非完整系统在一定条件下可由形式不变性导出新型守恒量、Noether守恒量，以及Hojman型守恒量。21.4.1运动微分方程假设力学系统的位形由n个广义坐标9,(s=1,2,...n)来确定，它的运动受有g个双面理想LIeTaes型非完整约束下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统其中t为约束乘子。设系统非奇异，即设

则由方程(21.4.1)和(21.4.3)，在运动微分方程积分之前，可求出孙作为t,g,g的函数。于是，方程(21.4.3)可写成形式其中

为广义非完整约束力。方程(21.4.5)可简写成

Es(L)=Qs+As(s=1，2，…n)(21.4.7)称方程(21.4.5)为与非完整系统(21.4.1),(21.4.3)相应的完整系统的方程。非完整系统的运动可在完整系统(21.4.5)的解中找到，只要运动的初始条件满足非完整约束(21.4.1)。21.4LIeTaeb型非完整系统展开方程(21.4.6}，可求出所有广义加速度，记作21.4.2形式不变性取无限小变换上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统21.4.3新型守恒量对于LIeTaes型非完整系统，由形式不变性可直接导出一类新型守恒量，肩如下结果:上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统21.4.4Noether守恒量对于LIeTaes型非完整系统，形式不变性通过Noether对称性可间接导出Noether守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统21.4.5Hojman型守恒量对于LIeTaes型非完整系统，由形式不变性通过Lie对称性可间接导出Hojman型守恒量，有如下结果:命题5对于LIeTaes型非完整系统(21.4.1),(21.4.3)，在特殊无限小变换上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统21.4.6应用举例例1非完整系统为

试研究形式不变性导致的守恒董解:方程(21.4.3)给出

方程(21.4.5)给出

做计算，有上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统首先，取生成元为

则肩代人结构方程(21.4.15)，得命题1给出新型守恒量上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统最后，取生成元为

已满足方程(21.4.13)和方程(21.4.14)，因此是非完整系统的形式不变性。将其代人结构方程(21.4.19)，得

由此得规范函数守恒量式(21.4.20)给出这是非完整系统形式不变性导致的相应完整系统的Noether守恒量，因为生成元不满足限制方程(21.4.21).上一页下一页返回21.4LIeTaeb型非完整系统其次，取生成元为则有因此，它是形式不变性的。方程(21.4.23)给出它也满足，因此，一也是Lie对称性的。方程(21.4.24)给出它有解u=1命题5给出Hojman守恒量上一页返回21.5Birkhoff系统Birkhoff系统的形式不变性在一定条件下可导致新型守恒量、Noether守量，以及Hojman型守恒量。21.5.1运动微分方程Birkhoff系统的微分方程为下一页返回21.5Birkhoff系统21.5.2形式不变性取无限小变换上一页下一页返回21.5Birkhoff系统21.5.3新型守恒量对Birkhoff系统，形式不变性可直接导致一类新型守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.5Birkhoff系统21.5.4Noether守恒量对Birkhoff系统，形式不变性通过Noether对称性可间接导出Loether守恒量，有如下结果:上一页下一页返回21.5Birkhoff系统21.5.5Hojman型守恒量对Birkhoff系统，形式不变性通过Lie对称性可间接导致Hojman型守恒量。取时间不变的特殊无限小变换上一页下一页返回21.5Birkhoff系统有如下结果:21.5.6应用举例上一页返回下一页21.5Birkhoff系统下一页上一页返回21.5Birkhoff系统下一页上一页返回21.5Birkhoff系统上一页返回21.6广义Hamilton系统

广义Hamilton系统的形式不变性在一定条件下可导致新型守恒量，以及Hojman型守‘恒量。21.6.1运动微分方程广义Hamilton系统的运动微分方程有形式下一页返回21.6广义Hamilton系统21.6.2形式不变性取无限小变换上一页下一页返回21.6广义Hamilton系统21.6.3新型守恒量对广义Hamilton系统，由形式不变性可直接导出一类新型守恒量