《分析力学(全2册)》-18

18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子本节讨论一般微分方程组的Jacobi最终乘子，包括最终乘子、由两个最终乘子导出积分，以及最终乘子对Lagrange力学逆问题的应用等。18.1.1最终乘子令下一页返回18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子上述结论中的函数M称为微分方程组(18.1.1)的最终乘子，或称为Jacobi最终乘子。结果表明，若已知(n-1)个积分，利用最终乘子可找到最终解。寻求方程组的最终乘子问题，归为求解偏微分方程(18.1.5)的问题。18.1.2由两个乘子导出积分假设已找到最终乘子的偏微分方程(18.1.5)的两个解M和N，即有上一页下一页返回18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子这表明，微分方程组两个最终乘子的商是方程组的一个积分。因此，如果M=1是最终乘子，那么其他的最终乘子都是方程组的积分。18.1.3对Lagrange力学逆问题的应用提出如下逆问题:在什么条件下一个二阶方程上一页下一页返回18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子对于一个二阶方程确定函数L的问题，归结为确定最终乘子的问题。为解此问题，将方程(18.1.8)展开，得由此得令上一页下一页返回18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子则函数M满足方程而这就是为确定方程

的最终乘子M的方程。因此，有如下结论对于一个二阶方程确定函数五的问题，归结为确定最终乘子的问题。上一页下一页返回18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子18.1.4应用举例上一页返回18.2Hamilton系统的最终乘子本节讨论Hamilton系统的最终乘子，包括最终乘子对系统，特别是二自由度情形的应用。18.2.1最终乘子对Hamilton系统的应用Hamilton方程表示为下一页返回18.2Hamilton系统的最终乘子对10.2中所论重刚体绕固定点运动问题，Eider-Poisson方程是6个一阶方程，已知3个经典积分，方程不含时间t,M=1是最终乘子，因此问题归结为寻求第四个积分。18.2.2一自由度情形对二自由度完整保守系统，在除能量积分外还已知一个积分的情形下，可以完全积分设系统为上一页返回下一页18.2Hamilton系统的最终乘子18.2.3应用举例下一页上一页返回18.2Hamilton系统的最终乘子上一页返回18.3广义Hamilton系统的最终乘子本节讨论广义Hamilton系统的最终乘子，包括系统最终乘子的偏微分方程，以及最终乘子法的应用。18.3.1系统的最终乘子广义Hamilton方程有形式下一页返回18.3广义Hamilton系统的最终乘子18.3.2应用举例上一页返回下一页18.3广义Hamilton系统的最终乘子返回上一页下一页18.3广义Hamilton系统的最终乘子返回上一页18.4Birkhoff系统的最终乘子本节讨论Birkhoff系统的最终乘子，包括Birkhoff方程的最终乘子、广义Birkhoff方程的最终乘子，以及应用等。18.4.1系统的最终乘子Birkhoff方程有形式下一页返回18.4Birkhoff系统的最终乘子上一页返回下一页18.4Birkhoff系统的最终乘子18.4.2广义Birkhoff方程的最终乘子义Birkhoff方程有形式令最终乘子的偏微分方程有形式(18.4.5)。

下面看广义Birkhoff方程在怎样的条件下有最终乘子式(18.4.18)。令做计算，肩因此，当上一页下一页返回18.4Birkhoff系统的最终乘子时，式(18.4.14)才成立。此时，广义Birkhoff方程的最终乘子有与Birkhoff方程同样的形式(18.4.18)。条件(18.4.26)是对附加项几的限制。特别地，当时，条件(18