三角形内角和定理(第1课时)课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.1三角形内角和定理(1)第一章

三角形的证明及其应用1．掌握三角形内角和定理的内容、证明及其简单应用；

(1)会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理(重点)；

(2)会运用三角形内角和定理进行计算(难点)；2.初步掌握添加辅助线证明的方法，发展几何直观；3.通过一题多解，体会思维的多样性，引导学生的个性化发展。课标要求1.理解三角形及其内角、外角等概念；2.探索并证明三角形的内角和定理。目标要求3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关。想一想：你都有哪些办法可以验证三角形的内角和为180°呢?情境引入480720600600＋480＋720=1800三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角。观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明。从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？三角形的内角和定理的证明【活动】在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起。尝试·交流

【方法一】证明：延长BC到D，过点C作射线CE，使CE∥BA，

则∠1=∠A，∠2=∠B。

(两直线平行，同位角相等)

∵点B，C，D在同一直线上，

∴∠1＋∠2＋∠ACB=180°，

∴∠A＋∠B＋∠ACB=180°。CBADE求证：∠A＋∠B＋∠C=180°。已知：△ABC。三角形的内角和定理的证明求证：三角形的内角和为180°。21尝试·交流求证：∠A＋∠B＋∠C=180°。已知：△ABC。∵∠2＋∠1＋∠BAC=180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC=180°。12三角形的内角和定理的证明求证：三角形的内角和为180°。【方法二】证明：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2。(两直线平行,内错角相等)尝试·交流CBAEDF

【方法三】证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB。∴∠C=∠EDB,

∠B=∠FDC。(两直线平行，同位角相等)

∠A＋∠AED=180°,∠AED＋∠EDF=180°，

(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF。∵∠EDB＋∠EDF＋∠FDC=180°，∴∠A＋∠B＋∠C=180°。想一想：同学们还有其他的方法吗？求证：∠A＋∠B＋∠C=180。已知：△ABC。求证：三角形的内角和为180°。三角形的内角和定理的证明尝试·交流C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试：同学们能否按照上图中的辅助线，给出证明的步骤？三角形的内角和定理的证明探一探565思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？CAB12345lACB12345lP6m议一议借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角。

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结

为了证明三个角的和为180°,通常会将三个内角的位置通过平行线的辅助，“移动”为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。作辅助线学一学例题学习

如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，

求∠ADB的度数。例1BCAD解：在△ABC中，

∠B＋∠C＋∠BAC=180°(三角形内角和定理)。∵∠B=38°，∠C=62°(已知)，∴∠BAC=180°－38°－62°=

80°。

在△ADB中，

∠B＋∠BAD＋∠ADB

=

180°(三角形内角和定理)，∵∠B=38°，∠BAD=40°，∴∠ADB=180°－38°－40°=102°。1.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，

点D，E分别在AB和AC上，且DE∥BC。

求证：∠ADE=50°。随堂练习BACDE证明：在△ABC中，∵∠A

=

60°，∠C

=

70°(已知),∴∠B

=

180°－∠A－∠C

=

50°(三角形内角和定理)。

∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE

=

∠B

。

∴∠ADE=50°。随堂练习2.如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它

们的交点，求∠ABD，∠COD的度数。解：∵BD与CE是△ABC的高，

∴BD⊥AC,CE⊥AB。

∴∠ADB=∠BEC=90°。BACDEO∵∠A＋∠ABD＋∠ADB=180°，∠A=50°，∴∠ABD=180°－90°－50°

=40°。∵∠ABD＋∠BEO＋∠BOE=180°，∴∠BOE=180°－90°－40°=50°。∴∠COD=50°。尝试·思考我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ABCDEF[提示]与全等有关的基本事实有

。ASA，SAS，SSS已知：如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠C，AC=BD。求证：△ABC≌△DEF。证明：在△ABC和△DEF中，

∵∠A＋∠B＋∠C=180°，

∠D

＋∠E＋∠F

=180°，(三角形内角和定理)

∠A=∠D，∠B=∠C，

∴∠C

=∠F。∵AC=BD，∴△ABC≌△DEF。(ASA)定理两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三

角形全等。尝试·思考ABCDEF

几何语言∵∠A=∠D，

∠B=∠C，

AC=BD，∴△ABC≌△DEF。(AAS)定理全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质：课堂小结1.三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°。2.通过探索过程，理解要证明三角形三个内角的和等于180°需转化为：

将三个内角借助平行线的辅助，拼接为一个平角。3.通过本节课内容的探索和交流，使学生深刻体会“图形变换”在解题中

的重要作用。4.在求三角形内角的大小时，有时要根据三角形内角和定理来列方程解决

问题,要建立起方程思想。5.三角形全等的判定方法有：ASA，SAS，SSS，AAS，

此外直角三角形全等的判定还有特殊的方法：HL。6.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。习题1.11.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比为4:3:2，求∠A，∠B

和∠C的度数。解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4:3:2，

∴设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x°，3x°，2x°。∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴由题意得4x＋3x＋2x=180，

解得x=20。

则4x=80，3x=60，2x=40。∴∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°。

习题1.110.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。

求证：∠A=∠DCB。ABCD证明：∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°。

∵∠A＋∠ACD＋∠ADC=180°，

∴∠A=180°－90°－∠ACD

=90°－∠ACD。

∵∠ACB=180°，∴∠DCB=90°－∠ACD，

∴∠A=∠DCB。习题1.111.已知：如图，AB∥CD，点E在AC上。

求证：∠A=∠CED＋∠D。ABCDE证明：在△CDE中，∵∠C＋∠CED＋∠D=180°(三角形内角和定理)，∴∠CED＋∠D

=

180°－∠C。∵AB∥CD(已知)，∴∠A＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补)。∴∠A

=

180°-∠C。∴∠A=∠CED＋∠D。12.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，求∠F的度数。习题1.1BACF解：在△ABC中，∵

∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，(三角形内角和定理)∠A=65°，∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=115°。

②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是____三角形。

1.填空：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=

。

③在△ABC中，∠A=∠B＋10°,∠C=∠A＋

10°,

则∠A=

，∠B=

，∠C=

。102°直角60°50°70°随堂检测2.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，

求∠A，∠B，∠C的度数。解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，

∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴3x＋x＋(x＋15)

=

180。解得x

=

33。∴

3x=

99，x＋15=

48。答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°。随堂检测

随堂检测

∵∠A＋∠B＋∠ACB

=180°，∴x＋2x＋3x

=180°，

解得x

=30，∴∠A

=30°，∠ACB

=90°。∵CD是△ABC的高，∴∠ADC

=90°，∴∠ACD

=180°－90°－30°

=60°。

4.如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F。

已知∠A

=30°，∠FCD

=80°，求∠D。解：∵∠FCD=80°，∴∠ACB=180°－∠FCD=180°－80°=100°。随堂检测在△ABC中,∵∠A=30°，∴∠B=180°－∠ACB－∠A=180°－100°－30°

=50°。∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴在△BED中，∠D=180°－∠BED－∠B

=180°－90°－50°