2025-2026学年湖南省长沙市高一上学期期末模拟考试数学试题02（人教A版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1．已知集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若函数，则（

）A． B． C． D．4．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．下列选项正确的是（

）A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角B．若，则是第一或第二象限角C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角6．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（

）A．800 B．625 C．1550 D．7507．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．38．已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（

）A．6 B．7 C．9 D．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，下列说法正确的有（

）A．为偶函数 B．恰有2个单调区间C．的最小值为 D．值域是10．下列结论中正确的是（）A．若角的终边过点，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．对任意，恒成立D．若，，则11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（

）A．为偶函数B．的值域是C．若，则D．是上的减函数第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设集合A是的子集，对于，定义.给出下列四个结论：①若，，则且；②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且；③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有；④设，，对任意，都有.其中所有正确结论的序号是.13．设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为.14．对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，若，且，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．已知集合或．(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．16．已知集合，集合．(1)求集合P；(2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．17．已知函数(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.18．已知函数的图象经过点.(1)求c的值；(2)解不等式：；(3)证明：存在零点，且所有零点之积小于1.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02高一数学(解析版）题号12345678910答案DADBCABBABDACD题号11答案CD1．D【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围.【详解】因为，又且，则.故选：D2．A【分析】先由题求得，再结合不等式性质即可得解.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.3．D【分析】采用换元法求解析式求解即可.【详解】因为，且，所以．故选：D4．B【分析】举出反例得到①②③错误，对于④，对的正负分类讨论，结合基本不等式可得④正确.【详解】对于①，若，则，则，显然不满足，错误；对于②，若，则，则，显然不满足，错误；对于③，若，则，故不成立，错误；对于④，显然，若均为非正数，显然，满足，若一正一负，且，不妨设，则，，满足，若一正一负，且，不妨设，则，，则，故，若，则，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，综上，，④正确.故选：B5．C【分析】选项A：设，该角是第三象限角，即可判断；选项B：取，则，该角是第三象限角，即可判断；选项C：先求出，则,分类讨论为偶数和奇数，即可判断；选项D：是锐角，即，则，即可判断；【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则是第三象限角，故A错误;选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误;选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则，因此，当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限；当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限;故C正确;选项D：是锐角，即，则，当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误.故选：C.6．A【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可.【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：，集合的元素之和为，所以集合的全部非空子集的厚度之和为：.故选：A7．B【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可.【详解】由条件可得，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，且，即，，等号成立.故选：B.8．B【分析】先根据函数的单调性求出的表达式,再分别求出在上的最大值在上的最大值,最后根据已知条件求出的最小值.【详解】设,t为常数,则.且在上单调，由已知可知,即即,解得且在上单调递增.所以在上的最大值为.在上的最大值.∵对,，，…，,使得成立,只需,即,即.故选:B.9．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD.【详解】根据题意，设

对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确；对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确；对于C，由于，则，不存在最小值，C错误；对于D，，则，则的值域为，D正确．故选：ABD10．ACD【分析】根据三角函数的定义、象限角、三角函数恒等变换等知识点对各选项进行分析和计算.【详解】选项A：当时，，则，故A正确；选项B：若是第二象限角，则，，所以，，所以为第一象限角或第三象限角，故B错；选项C：因为，如图，射线与单位圆交于点，作轴，垂足为点，单位圆与轴正半轴的交点为点，设，由弧度制的定义可知，劣弧的长度为，根据三角函数线可知，，，，，，易得，所以，所以，故C正确；对于D，由，可得，因，故，所以，又，则，故D正确.故选：ACD．11．CD【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可.【详解】由函数是幂函数，设，又的图像经过点，所以，∴，即．对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以，所以，故C正确；D：，由函数单调性的性质可知中：函数是上的减函数，故D正确，故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查幂函数的定义及性质，运用不等式的性质，结合函数单调性的性质进行判断是解题的关键.12．①②④【分析】对于①④，根据定义判断正误即可，对于②③结合实例判断正误即可.【详解】∵对于，，对于①，因为，，，故，①正确；对于②，取，则，故对任意，都有且，故②正确；对于③，取，当时，,,,③错误；对于④，，，则，，若为偶数且，则，则且，故，则有；若为偶数且，则，，故，则有；若为奇数，则，，故，则有；故总成立，故④正确∴所有正确结论的序号是：①②④.故答案为：①②④.13．3【分析】分析可知或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可.【详解】，，又，或，当时，，解得；，解得；，，解得，无实数根；，解得，有一个实数根；，解得或，有两个实数根；当时，表示方程只有一个实数根，即方程只有一个根为，对于，若，原方程，唯一实根，此时，符合题意；若，解得，此时无实根，符合题意；故实数的可能值为或，当时，表示方程只有三个不同的实数根，第一个根，第二个根，若，当时，，解得，的根为，符合题意；当时，，解得，的根为，不符合题意；若，有两个不同的实根，其中一个根与或重合才可以，当是的实根，即舍掉；当是的实根，即，无实数解，舍掉；故实数的可能值为.综上所述，实数的所有可能值为.其和为.故答案为：.14．【分析】根据得到，对方程变形，根据，得到要么没有实根，要么实根是方程的根，分两种情况讨论，得到.【详解】因为，所以有实根，当时，，符合要求，时，有实根，故，解得且，所以，又，即，由题意得函数的不动点一定为函数的稳定点，故，所以的左边有因式，从而变形得到，因为，所以要么没有实根，要么实根是方程的根，若没有实根，时，，故方程无根，符合题意，时，，解得，故当没有实根时，，若的实根是方程的根，两边同乘以得，将其代入得，，故，解得，再将代入中，得，解得，综上，故答案为：【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.15．(1)，(2)或【分析】（1）由集合的运算可得；（2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得.【详解】（1）因为，所以或或所以，或（2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集．则或，所以或，所以实数m的取值范围为或.16．(1)(2)【分析】（1）解分式不等式即可求解；（2）化简集合Q，根据题意转化为是的真子集，列出不等式求解即可.【详解】（1）由，故.（2）因为，所以，因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，所以.因此实数的取值范围为.17．(1)为定义域上的奇函数，证明见解析；(2)为上的增函数，证明见解析；(3).【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到不等式恒成立，列出不等式求解.【详解】（1）为定义域上的奇函数，证明：易知为定义域为，关于原点对称，又由，故为奇函数；（2）函数在上单调递增，证明：任取，且，可得，分子，当、同号时，不妨设，，则，此时，当、异号时，不妨设，，则，且，此时，又因为，所以，即，故为上的增函数；（3）由为奇函数，由，可得，又因为为定义域上的增函数，从而有对于任意实数恒成立，即对于任意实数恒成立，当时，不等式化为恒成立；当时，要使对于任意实数恒成立，则需要满足，解不等式组得，综上所述，的取值范围为.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由对数的运算可得；（2）整理后设，分和结合对数的运算可得；（3）取特殊值结合零点存在定理可判断；结合单调性和对数的运算性质可证明.【详解