2025-2026学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过A(2,0)，B(0,1)两点，则直线l的斜率为(

)A.−2 B.−12 C.122.已知数列{an}满足a1=1，aA.−9 B.9 C.11 D.133.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)A.19 B.13 C.3 4.已知向量a=(1,0,0)，b=(1,1,−1)，则|a−2A.1 B.3 C.6 D.95.已知四面体ABCD，DA=a，DB=b，DC=c，点M在棱DA上，DM=3MA，N为A.−34a−12b−16.已知圆C：x2+(y−2)2=r2(r>0)和两点A(−4,0)，B(4,0)，若圆C上存在一点PA.1 B.2 C.5 D.67.设{an}是公比不为1的无穷等比数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，直线A.233 B.2 C.9.现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架ABCD，将顶点B固定，带滑槽的直杆AP的一个端点为A，点C处的铰链在直杆AP的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆DN一端固定在点N处(可绕N旋转)，另一端连接点D处的铰链，BN=2.DN与AC交点M处有一个栓子(可在带滑槽的直杆上滑动)，转动直杆DN的过程中，点M处笔尖画出的曲线记为E.以BN中点为原点，BN所在直线为x轴，BN的中垂线为y轴建立直角坐标系，则曲线E的方程为(

)

A.x24+y23=1 B.10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中、P是线段A.存在点P，使得D1P//平面A1DB

B.对于任意点P，DB1⊥A1P

C.存在点P，使得A1P⊥平面C1DB

11.已知两直线l1：x−y+1=0和l2：ax−y−1=0，若l1⊥l2，则12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=0，an+113.已知空间四点O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，则点O到平面ABC的距离为

．14.已知抛物线x2=4y的焦点为F，则点F到准线的距离为

，过点F作倾斜角为锐角的直线l，直线l与抛物线交于不同的两点P，Q，过点P作直线PQ的垂线交准线于点H，若|PH|=2|PF|，则直线l的倾斜角为

15.平面直角坐标系xOy中，曲线C是平面内与两个定点F1(−1,0)，F2(1,0)的距离之积等于常数a2(a>0)的点的轨迹.点P是曲线C上一点.给出下列四个结论．

①曲线C关于x轴对称；

②△PF1F2面积的最大值为a22；

③当a=1时，已知点Q在双曲线x2−y2=12上，若F1Q⊥F三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，a1=b1=1，a2=b2，a3+1=b17.(本小题15分)

已知圆心为C(2,1)的圆与直线3x+4y+5=0相切．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线x−y+m=0与圆C交于A，B两点，当|AB|=25时，求m的值．18.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)经过点(1,2)．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)经过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点P，Q，经过点P作准线的垂线，垂足为M，求证：直线QM经过原点．19.(本小题15分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.再从下列三个条件中选择一个作为已知，完成以下问题的解答．

条件①：BC1=AC1；

条件②：AD⊥BE；

条件③：直线CE与平面ABCD所成角的正切值为22．

(1)求证：AD⊥平面ABB1A1；20.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(0,1)，B(0,−1)，离心率为32．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设D为y轴上一点，过点D作y轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作BN21.(本小题15分)

设n为正整数，将正整数1，2，3，…，n(n≥3)按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，n的一个排列a1，a2，…，an.如果i<j时，有ai>aj(i,j=1,2,…,n)，则称(ai,aj)是排列a1，a2，…，an的一个“逆序对”，排列a1=2，a2，…，an中所有逆序对的个数称为其“逆序数”.记fn(k)为1，2，3，…，n的所有排列中“逆序数”为k的排列的个数．

(1)当n=3时，写出“逆序数”为2的所有排列(直接写出结论)；

(2)当n≥3时，求fn(2)的表达式(用n参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.C

6.B

7.B

8.D

9.A

10.C

11.−1

12.1

13.214.2；15.①③④

16.解：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由题意得1+d=q1+2d+1=q2，解得q=2d=1或q=0d=−1(舍去)，

所以an=a1+(n−1)d=n，bn17.解：(1)设圆的半径为r，

因为圆心为C(2,1)的圆与直线3x+4y+5=0相切，

所以圆心(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离d=|6+4+5|32+42=3=r，

所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=9．

(2)由|AB|=25，利用勾股定理可得圆心C到直线x−y+m=0的距离为18.解：(1)将(1,2)代入y2=2px可得4=2p，解得p=2，

因此抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=−1；

(2)证明：由题得F(1,0)，设直线方程为x=ty+1，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则M(−1,y1)，

联立方程x=ty+1y2=4x，可得y2−4ty−4=0，

则y1+y2=4t，19.解：(1)证明：选择条件①：

在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

∵AD，AB⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AB，

设AB中点为F，连接AC1，BC1，C1F，

∵AB//CD，AD=CD=1，AA1=AB=2，

∴AF//CD，AF=CD，则四边形AFCD为平行四边形，

∴AD//CF，

∵BC1=AC1，∴C1F⊥AB，

∵CC1//AA1，∴CC1⊥AB，

∵CF∩CC1=C，CF，CC1⊂平面CC1F，

∴AB⊥平面CC1F，又CF⊂平面CC1F，

∴AB⊥CF，

∴AB⊥AD，

又AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，

∴AD⊥平面ABB1A1；

选择条件②：

同①可证AA1⊥AD，

又AD⊥BE，AA1∩BE=E，AA1，BE⊂平面ABB1A1，

∴AD⊥平面ABB1A1，

选择条件③：连接AC，

在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

∴∠AEC就是直线CE与平面ABCD所成角，

∴tan∠AEC=EAAC=1AC=22，解得AC=2，

20.解：(1)依题意可得b=1e=ca=32c2=a2−b2，解得a=2c=3b=1，

因此椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)设D(0,y0)(−1<y0<1)，M(−x0,y0)，N(x0,y0)，(x0>0)，

可得x024=1−y02，因此x0221.解：(1)因为将正整数1，2，3，…，n(n≥3)按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，n的一个排列a1，a2，…，an．

如果i<j时，有ai>aj(i,j=1,2,…,n)，则称(ai,aj)是排列a1，a2，…，an的一个“逆序对”，

排列a1=2，a2，…，an中所有逆序对的个数称为其“逆序数”．

记fn(k)为1，2，3，…，n的所有排列中“逆序数”为k的排列的个数．

所以逆序数为2的所有排列为231，312；

(2)将n放在1，2，3，⋯，n−1的某个排列的最后，逆序数不变，

将n放在1，2，3，⋯，n−1的某个排列的倒数第2位，则n与最后一位构成逆序对，逆序数增加1，

将n放在1，2，3，⋯，n−1的某个排列的倒数第3位，则n与最后2位分别构成逆序对，逆序数增加2，

则fn(2)=fn−1(2)+fn−1(1)+fn−1(0)，

由于fn−1(0)=1(完全正序)，fn−1(1)=n−2(交换相邻两数)，

则fn(2)=fn−1(2)+n−1，

则fn−1(2)=fn−2(2)+n−2，

…

f4(2)=f3(2)+3，

累加可得fn(2)−f3(2)=3+4+⋯+n−1=(n−3)(n+2)2，又f3(2)=2，

所以fn