2025-2026学年广东省江门市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省江门市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是(

)A.23 B.24 C.25 D.262.某人打靶连续射击3次，设Ai=“共中靶i次”，i=0，1，2，3，则A0∪A.“全部中靶” B.“至少中靶1次”C.“至少中靶2次” D.“至多中靶1次”3.已知直线l1：3x−y+2=0，l1⊥lA.30° B.60° C.120° D.150°4.已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是(

)A.12 B.13 C.145.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.x22+y2=1 B.x6.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则(

)A.a=b=c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<b<a7.已知斜率为1的直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且被抛物线截得的弦长为6，则p=(

)A.12 B.14 C.328.如图所示，在两条异面直线a，b上分别取不同的点A，E和B，F，使AB⊥a，且AB⊥b.已知EA,FB的夹角是120°，AB=3，EA+BF=4，则线段EF的长度的取值范围为A.[21,5)

B.(42,6)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O：x2+y2=9，直线A.直线l过定点(3,−1)

B.圆心O到直线l的距离的最大值为2

C.直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[25,6]

D.当直线l10.已知双曲线C：x2a2−y212=1(a>0)的左右两个焦点分别是FA.a=4

B.双曲线C的离心率为2

C.双曲线C的渐近线方程为3x±y=0

D.若M是双曲线C上一点，且|MF1|=5，则11.在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z).若P是直线l上的任意一点，直线l经过点P0，且以u为方向向量，则直线l的方程为x−x0a=y−y0b=z−zA.平面OCD1的一个法向量为(−1,1,−1)

B.直线B1D的方程为x1=y−1−1=z2

C.若过点D1的平面α的方程为−x+(y−1)−(z−1)=0，则正方体OBCD−A1B1C1D1被平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，则数据4x1+3，4x2+3，13.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P(A∩B)=0.2，P(A∪B)=0.8，则P(B)=

．14.已知圆C：(x+1)2+y2=32，直线l1：x−y=0，l1⊥l，圆C上恰有3个点到直线l的距离为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆心为C(1,−2)，圆C与直线x+y−1=0相切．

(1)求圆C的方程；

(2)经过点(2,1)的直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l的方程．16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=AA1=2，∠ABC=90°，点D，E分别为B1A1，B1C1中点．17.(本小题15分)

为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核(满分100分)，考核成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)求t的值；

(2)从得分在[70,90)中，按[70,80)，[80,90)分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率；

(3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A、B、C三个等级.若在两项考核中，至少一项为A级，且另一项不低于B级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得A、B、C等级的概率分别是12、13、16；乙在每项考核中取得A、B、C等级的概率分别是14、518.(本小题17分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，BC=2，AD=1，AB=AE=2，AB⊥AD，AB⊥AE，AD//BC，平面ABE⊥平面ABCD，M是棱BE的中点，P为CE上的点，设CP=λCE．

(1)当λ=13时，求异面直线AP，BE所成的角的余弦值；

(2)是否存在实数λ，使得平面EAP与平面APB的夹角的余弦值为12？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由．

(3)若BP⊥CD，平面APM∩平面CDE=l，求直线l19.(本小题17分)

已知点R是圆O：x2+y2=4上的动点，过点R作x轴的垂线段RD，D为垂足，T为线段RD的中点．

(1)求点T的轨迹方程E；

(2)过点M(4,0)的直线l与曲线E交于A，B两点．

(ⅰ)求OA⋅OB的取值范围；

(ⅱ)若曲线E与x轴交于A1，A2两点，直线A1A，A参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.D

7.C

8.A

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.11

13.0.4

14.x+y+5=0或x+y−3=0

15.解：(1)因为圆C与直线x+y−1=0相切，

所以圆心C(1,−2)到直线x+y−1=0的距离d=|1−2−1|2=2，

即圆C的半径r=2，

所以圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=2；

(2)因为经过点(2,1)的直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=2，

所以圆心C(1,−2)到直线l的距离：d=r2−(|AB|2)2=2−1=1；

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，

圆心C(1,−2)到直线l的距离d=2−1=1，故x=2符合题意；

②当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y+1−2k=0，

则圆心C(1,−2)16.解：(1)由题意得，BA，BC，BB1两两垂直且相交，

故以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，C(0,2,0)，D(1,0,2)，E(0,1,2)，

所以BD=(1,0,2)，BE=(0,1,2)，AC1=(−2,2,2)，

设平面BDE的法向量n=(x,y,z)，则n⋅BD=x+2z=0n⋅BE=y+2z=0，

令z=−1，得x=2，y=2，则n=(2,2,−1)，

设直线AC1与平面BDE所成的角为α(0<α<π2)，

则sinα=|cos<AC1，n>|=|AC117.解：(1)根据题意可得(0.01+0.015+0.02+t+0.025)×10=1，解得t=0.03；

(2)因为按[70,80)、[80,90)分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，

所以从成绩在[80,90)中抽出的人数为5×0.030.02+0.03=3，分别记为M、N、Q，

从成绩在[70,80)中抽出的人数为：5×0.020.02+0.03=2，分别记为m、n，

从5人中抽取2人进行考核，则样本空间为：

Ω={{m,n}，{m,M}，{m,N}，{m,Q}，{(n,M)}，{n,N}，{n,Q}，{M,N}，{M,Q}，{(N,Q)}}，

记“至少有1人分数低于80分”为事件R，

则R={{m,n}，{m,M}，{m,N}，{m,Q}，{(n,M)}，{n,N}，{n,Q}}．

所以P(R)=n(R)n(Ω)=710；

(3)记甲获得参赛资格的概率为P甲，乙获得参赛资格的概率为P乙，

18.解：(1)在四棱锥E−A B C D中，AD⊥AB，平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面A B C D=A B，

AD⊂平面ABCD，则AD⊥平面ABE，又AB⊥AE，即直线AE，AB，AD两两垂直，

以点A为原点，直线AE，AB，AD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：

由AB=AE=2，BC=2，AD=1，得A(0,0,0)，E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,1)，

当λ=13时，点P(23,43,43)，AP=(23,43,43)，BE=(2,−2,0)，

则|cos〈AP,BE〉|=|AP⋅BE||AP||BE|=432⋅22=26，

所以异面直线AP，BE所成角的余弦值为26．

(2)由(1)得AE=(2,0,0)，AB=(0,2,0)，AC=(0,2,2)，CE=(2,−2,−2)，

设平面EAP的法向量n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅AE−=2x1=0n1⋅AC−=2y1+2z1=0，令z1=−1，得n1=(0,1,−1)，

由CP=λCE=(2λ,−2λ,−2λ)，得P(2λ,2−2λ,2−2λ)，AP=(2λ,2−2λ,2−2λ)，

设平面BAP的法向量n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅ AB=2y1=0n2 ⋅AP=2λx2+(2−2λ)y2+(2−2λ)z2=0，

令z2=λ，得平面BAP的法向量n2=(λ−1,0,λ)，设平面EAP和平面APB的夹角为α，19.解：(1)设点T的坐标为(x,y)，点D的坐标为(x,0)，

点T是线段RD的中点，所以R(x,2y)，又R在圆x2+y2=4上，

所以x2+4y2=4，即x24+y2=1，

所以点T的轨迹方程E为x24+y2