2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导运算正确的是(

)A.(sin1)′=cos1 B.(x3)′=3x4 2.已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x−(a−4)y+1=0，且l1⊥lA.6 B.−6 C.1或3 D.−1或−33.圆(x−2)2+(y−2)2=2A.外离 B.相交 C.相切 D.内含4.如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在MN上且满足MP=23MN，若OA=a，OB=b，A.13a+13b+16c

5.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2A.3 B.4 C.5 D.66.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1aA.32 B.12 C.−7.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+aA.0 B.ln2 C.1 D.e8.函数f(x)=sinx+12sin2x+1A.(0,3+424] B.(0,3+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点P(x0,yA.抛物线C的准线方程为x=−2 B.F的坐标为(4,0)

C.若y0=4，则|PF|=4 10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1A.AC⊥BE

B.EF/​/平面ABCD

C.三棱锥A−BEF的体积为定值

D.异面直线AE，BF所成的角为定值11.设函数f(x)=x−lnx−1，f(x)+g(x)=2x，正项数列{xn}满足：a1=1，A.f(x)的最小值为0 B.{an}不是单调函数

C.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点(3,−4)在双曲线C：y2a2−x13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AC和BD相交于点O，已知AC=2，BD=22,O14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知在函数g(x)=ln(x+1),x≥0ax(x+2b),x<0的图象上存在四个点A，B，C，D构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则[b]min=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2．

(1)16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．

(1)证明：PB/​/平面DEF；

(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．17.(本小题15分)

春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年.在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式，y=ax−3+10(x−6)2其中3<x<6，a是常量.已知销售价格为5元/千克时，每日可销售出该商品11千克．

(1)求实数a的值；

(2)若该商品的成本为3元/18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(异于A，B)．

(i)若△AMN的面积为15，求直线l的方程；

(ii)若直线19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−a−alnx+1x．

(1)若f(x)≥0，求实数a的值；

(2)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A：因为(sin1)′=0，所以A错误；

B：因为(x3)′=3x2，所以B错误；

C：因为(ex)′=ex，所以C错误；

D：因为(cosx)′=−sinx，所以2.【答案】A

【解析】解：因为l1⊥l2，

所以a×1−3(a−4)=0，解得a=6．

故选：A．

根据两直线垂直的位置关系建立关于3.【答案】A

【解析】解：圆(x−2)2+(y−2)2=2的圆心坐标C1(2,2)，半径r1=2；圆x2+y2=1的圆心坐标C4.【答案】D

【解析】解：∵M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，

∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)．

∵MP=23MN，

∴OP=OM+235.【答案】D

【解析】解：根据题意可得a=2，b=3，c=1，

∴△PF1F2的周长为2a+2c=6．

故选：6.【答案】C

【解析】解：因为{bn}是等差数列，且b1+b3+b5=23π4，

即3b3=23π4，解得b3=23π12，

所以b2+b4=2b3=23π6，

又因为数列{an}为等比数列，且a1a7.【答案】B

【解析】解：由y=ex+x，得y′=ex+1，y′|x=0=e0+1=2，

故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1；

由y=ln(x+1)+a，得y′=1x+1，

设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a)，

由两曲线有公切线得y′=1x0+1=2，解得8.【答案】B

【解析】解：y=sinx+12sin2x+13sin3x

=sinx+12⋅2sinxcosx+13(3sinx−4sin3x)

=−43sin3x+2sinx+sinxcosx

=−43sin3x+2sinx+sinx⋅1−sin2x，

令t=sinx，则由x∈(0,π2)，得t∈(0,1)，

则f(t)=−43t3+2t+t⋅1−t2，

f′(t)=−4t2+2+1−t2−t21−t2，

令m=1−t2，由t∈(0,1)，得m∈(0,1)，

则f′(t)=g(m)=−4(1−m2)+2+m+m2−1m

=4m3+2m2−2m−1m，

当g(m)=0时，即4m3+2m2−2m−1=0，

所以(2m+1)(29.【答案】AC

【解析】解：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，

则p=4，

故准线方程为x=−p2=−2，故选项A正确；

焦点坐标为(2,0)，故选项B错误；

若y0=4，则x0=2，且|PF|=x0+p2，故|PF|=4，故选项C正确；

因为|PF|=x0+p210.【答案】ABC

【解析】解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，

∴AC⊥BE，故A正确；

∵B1D1//平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，

∴EF/​/平面ABCD，故B正确；

由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．

又点A到平面BEF的距离为22，故VA−BEF为定值，C正确；

当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OD1A，

当E在上底面的中心时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OEA，

显然两个角不相等，D不正确．

故选：ABC11.【答案】ACD

【解析】解：f(x)=x−lnx−1,f′(x)=1−1x，

所以函数f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，

所以f(x)min=f(1)=0，所以f(x)≥0，故A正确；

因为g(x)=x+lnx+1，

所以an+1=lnan+an+1，即an+1−an=lnan+1>0，

所以an是一个递增数列，故B错误；

因为g(x)−2x=−f(x)≤0，所以g(x)≤2x，

可知：an+1=g(an)≤2an，即an+1≤2an，

所以a2a1≤2,a3a2≤2,a4a3≤2,⋯,anan−1≤2，累乘得an≤2n−1得证，故C正确；

根据an+1=lnan+an+1，且a1=1，可得a2=2，

当n≥2时，a3−a12.【答案】54【解析】解：双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为ax±by=0，

因为点(3,−4)在双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上，

所以13.【答案】34【解析】解：因为在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，所以AC⊥B1D1，

如图所示，过点B1作B1H⊥AC交AC于点H，连接D1H，

由二面角的定义可知∠B1HD1即为二面角D1−AC−B1的平面角，

因为B1H∩B1D1=B1，B1H，B1D1⊂平面B1D1H，所以AC⊥平面B1D1H，

因为D1H⊂平面B1D1H，所以D1H⊥AC，

因为AC=2，OD1=1，

所以在△AD1C中，点D1在以AC为直径的圆上，

所以在平面AD1C内，点D1的轨迹方程为x2+y2=1，

同理，在平面AB1C内，因为|B1A|+|B1C|=22>2=AC，

所以可知点B1的轨迹是以22为长轴长，A，C为焦点的椭圆，

所以点B1的轨迹方程为x22+y14.【答案】1

【解析】解：不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−x2,−y2)，D(−x1,−y1)，x1>0，x2>0，

则有y1=ln(x1+1)−y1=ax12−2abx1,y2=ln(x2+1)−y2=ax22−2abx2，

分别相加得ln(x1+1)+ax12−2abx1=0,ln(x2+1)+ax22−2abx2=0，

相当于h(x)=ln(x+1)+ax2−2abx在(0,+∞)有两个不同的零点，

显然h(0)=0，即h(x)在[0,+∞)有三个不同的零点，

可知该函数需要在(0,+∞)至少有两个极值点

求导h′(x)=1x+1+2ax−2ab需要在(0,+∞)至少有两个不同的零点，

当a≤0时，显然h′(x)=1x+115.【答案】已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2，

则1a【解析】证明：(1)已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2，

则1an+1=an+22an=1an+12，即1an+1−1an=12，

所以数列{1a16.【答案】(1)题意知E，F分别是BC，CP的中点，所以PB/​/EF，

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB/​/平面DEF

(2)【解析】解：(1)证明：题意知E，F分别是BC，CP的中点，所以PB/​/EF，

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB/​/平面DEF；

(2)由PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，可知AB，AC，AP两两垂直，

则可以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，

所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，

则DE⋅n=y2=0DF⋅n=−12x+y2+z=0，

令z=1，则17.【答案】a=2

4元/千克，最大值为42元

【解析】解：(1)该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式：

y=ax−3+10(x−6)2，其中3<x<6，a是常量，

已知销售价格为5元/千克时，每日可销售出该商品11千克，

则当x=5时，y=11，

所以a2+10=11，

解得a=2；

(2)由(1)知该商品每日的销售量y=2x−3+10(x−6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为：

f(x)=(x−3)[2x−3+10(x−6)2]=2+10(x−3)(x−6)2，3<x<6，

则f′(x)=10[(x−6)2+2(x−3)(x−6)]=30(x−4)(x−6)，

令f′(x)=0，得x=4，

当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3,4)上单调递增；

当4<x<6时，f′(x)<0，函数f(x)在(4,6)上单调递减；

所以当x=4时，函数f(x)取得最大值f(4)=42，

所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．

18.【答案】解：(1)由题意可知，c=1，a+c=3，所以a=2．

又b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．

(2)(i)设过点F(1,0)的直线方程为x=my+1，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x24+y23=1x=my+1，得(3m2+4)y2+6my−9=0，

则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=【解析】(1)根据已知求解方程即可．

(2)(i)设过点F(1,0)的直线方程为x=my+1，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立椭圆方程，结合韦达定理求解．

(ii)根据直线19.【答案】1

证明：由(1)知，当a=1时，xex−x−lnx−1≥0，

即xex≥x+lnx+1，∴x2ex≥x2+xlnx+x．

要证明xex>2+lnx−2(1−sinx)x，

对xex>2+lnx−2(1−sinx)x两边同乘x得x2ex>2x+xlnx−2(1−sinx)，

只需证明x2+xlnx+x>x(2+lnx)−2(1−s