2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高一（上）期末考试数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角α的终边与单位圆的交点为P(−35,−45)A.35 B.−35 C.42.“log2a>log2b”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是A.−3≤a<0 B.−3≤a≤−2 C.a≤−2 D.a<04.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式(x−3)f(x)>0的解集为A.(−3,0)∪(3,3)

B.(−3,0)∪(0,3)

C.(−∞,−3)∪(0,3)

二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={2,4}，B={2,3,m}，若A⊆B，则m=

．6.不等式x1−x>0的解集是

．7.已知方程x2+3x−1=0的两个根为x1，x2，则18.已知正实数a、b满足a+3b=1，则ab的最大值为

．9.方程2−x+2=43x的解集为

10.函数y=loga(x−1)+2(a>0且a≠1)11.|x−3|+|x−7|≥a对所有实数x恒成立，则a的取值范围是

．12.已知loga3>1，则实数a的取值范围为

．13.用“二分法”求方程x3+x−3=0在区间(0,2)内的实根，第一次应取点x=

进行判断．14.函数f(x)=x2−2ax+1在区间[1,3]上单调，则实数a的取值范围是

15.已知函数f(x)=4x−122x+x3，则关于16.已知a∈R，函数f(x)=ax−2,x<22x−2,x≥2，若对任意实数k，函数g(x)=f(x)−k总有零点，则a的取值范围是

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

求下列方程的解集：

(1)log3(x−1)=log1318.(本小题15分)

已知tanα=2，且α为第三象限角．

(Ⅰ)求sinα的值；

(Ⅱ)求sin2α−2sinαcosα+1的值；

(Ⅲ)求f(α)=19.(本小题15分)

如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形OBC去掉扇形OAD构成)种植花卉，已知OB=20米，OA=x米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为θ弧度．

(1)求θ关于x的函数解析式；

(2)记花卉周围栅栏的长度为y米，试问x取何值时，y的值最小？并求出最小值．20.(本小题17分)

已知函数f(x)=1−a⋅3x3x+1为奇函数．

(1)求a的值；

(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；

(3)21.(本小题17分)

已知函数f(x)=m⋅9x−3x+1−m．

(Ⅰ)当m=32时，求f(x)的值域．

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围．

(Ⅲ)若在函数g(x)的定义域内存在x0，使得g(a+x0)+g(a−x0)=2b成立，则称参考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.4

6.(0,1)

7.3

8.1129.{210.(2,2)

11.{a|a≤4}

12.(1,3)

13.1

14.{a|a≤1或a≥3}

15.(0,2)

16.[317.解：(1)因为log3(x−1)=log13(2x+1)+2=log3(92x+1)，

所以有x−1=92x+1x−1>02x+1>0，即2x2−x−10=0x>1x>−12，解得x=52或x=−2(舍去)，

故方程log3(x−1)=log13(2x+1)+2的解集为{52}；

(2)当x<1时，2x+2|x−1|=618.解：(Ⅰ)因为tanα=2，且α为第三象限角，

所以sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα=2sinα<0,cosα<0，解得sinα=−255cosα=−55，即sinα=−2519.解：(1)已知OB=20米，OA=x米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为θ弧度，

利用扇形的面积公式可得12θ×202−12θ×x2=100，

所以θ关于x的函数解析式为θ=200400−x2(0<x<20)；

(2)依题意可得弧长AD=xθ，弧长BC=20θ，

所以栅栏的长度20.(1)因为函数f(x)=1−a⋅3x3x+1为奇函数，定义域为R，

所以f(0)=1−a2=0，即a=2，

检验：当a=2时，f(x)=1−2×3x3x+1=1−3x3x+1，

因为f(−x)=1−3−x3−x+1=3x−11+3x=−f(x)，

所以f(x)是奇函数，

故a=2；

(2)f(x)在R上单调递减，证明如下：

由(1)得f(x)=1−2⋅3x3x+1=1−3x3x+1，任取x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=1−3x13x1+1−1−3x23x2+1=2(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)，

因为x1<x2，所以3x2−3x1>0，又3x1+1>0，3x2+1>0，

所以2(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在R上单调递减；

(3)因为f(m−1)+f(m−3)>0，