山西省浑源县第五中学校2026届数学高一下期末质量检测试题含解析

山西省浑源县第五中学校2026届数学高一下期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过曲线的左焦点且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得,则双曲线离心率e的最小值为（）A． B． C． D．2．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）A．40 B．36 C．30 D．203．直线经过点和，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．4．如下图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．设集合，，若存在实数t，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知中，，则角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°7．函数的周期为（）A． B． C． D．8．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（）A． B． C． D．9．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（）A．4 B．8 C．16 D．3210．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等比数列中，，，则_____．12．设满足约束条件，则的最小值为__________．13．若存在实数，使不等式成立，则的取值范围是_______________.14．执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.15．计算__________．16．若函数，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求.18．如图，在正方体，中，，，，，分别是棱，，，，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面将正方体分成的两部分体积之比.19．设等比数列{}的首项为，公比为q(q为正整数),且满足是与的等差中项；数列{}满足.(1)求数列{}的通项公式;(2)试确定的值，使得数列{}为等差数列：(3)当{}为等差数列时，对每个正整数是，在与之间插入个2,得到一个新数列{}，设是数列{}的前项和，试求满足的所有正整数.20．已知，，与的夹角是（1）计算：①，②；（2）当为何值时，与垂直？21．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y8784838281797775（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.参考公式：，；参考数据：，.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．【详解】设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC为直角三角形，依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即双曲线离心率e的最小值为：．故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF1≥45°是突破口，属于中档题．2、C【解析】试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取户，则，解得.考点：考查分层抽样.3、D【解析】

算出直线的斜率后可得其倾斜角.【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，根据，而，故，故选D.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.4、B【解析】

作出异面直线PA与BC所成角，结合三角形的知识可求.【详解】取的中点，连接，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以；所以或其补角是异面直线PA与BC所成角；设，则,；因为，所以；因为平面ABCD，所以,在三角形中，.故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，作出异面直线所成角，结合三角形知识可求.侧重考查直观想象的核心素养.5、C【解析】

得到圆心距与半径和差关系得到答案.【详解】圆心距存在实数t，使得故答案选C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.6、B【解析】

由正弦定理求得，再求．【详解】由正弦定理，∴，或，时，，时，．故选：B.【点睛】本题考查正弦定理，在用正弦定理解三角形时，可能会出现两解，一定要注意．7、D【解析】

利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的周期公式即可求解.【详解】，函数的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.8、D【解析】

甲乙两人至少有人选择“礼”的对立事件是甲乙两人都不选择“礼”，求出后者的概率即可【详解】由题意，甲和乙不选择“礼”的概率是，且相互独立所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是所以甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是故选：D【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单，即先求出此事件的对立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.9、B【解析】

根据，则即可求解.【详解】因为样本数据，，…，的方差为2，所以，，…，的方差为，故选B.【点睛】本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题.10、D【解析】

由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．【详解】，如图，设是中点，则，，，∴．故选D．【点睛】本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.【详解】根据题意，等比数列中，其公比为，，则，解可得，又由，则有，则，则；故答案为：1．【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.12、-1【解析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13、；【解析】

不等式转化为，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【详解】由题意存在，使得不等式成立，当时，，其最小值为，∴．故答案为．【点睛】本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最大值还是求最小值．14、1【解析】

弄清程序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出．【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1．【点睛】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．15、【解析】

采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】.【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.16、【解析】

根据分段函数的解析式先求，再求即可.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）数列的通项公式为（2）【解析】试题分析：（1）建立方程组；（2）由（1）得：进而由裂项相消法求得.试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知解得.所以数列的通项公式为（2）∴18、（1）见解析（2）【解析】

（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，再求出每一部分的体积得解.【详解】（1）证明：在正方体中，连接.因为，分别是，的中点，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面，平面，所以，同理，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，设正方体棱长为1，所以，所以平面将正方体分成的两部分体积之比为.【点睛】本题主要考查面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；（2）由已知可求，从而可依次写出，，若数列为等差数列，则有，从而可确定的值；（3）因为，，，检验知，3，4不合题意，适合题意．当时，若后添入的数则一定不适合题意，从而必定是数列中的某一项，设则误解，即有都不合题意．故满足题意的正整数只有．【详解】解（1）因为，所以，解得或（舍），则又，所以（2）由，得，所以，，，则由，得而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列（3）因为，易知不合题意，适合题意当时，若后添入的数，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，则.整理得，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。综上：符合题意的正整数.【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．20、（1）①；②；（2）.【解析】

利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.【详解】由已知得：（1）①②（2）若与垂直，则即：，解得：【点睛】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.21、（1