2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学检测试题（一）含答案

/2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，，若，则的子集个数为（

）A．2 B．4 C．7 D．82．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（

）A．28 B．29 C．30 D．323．如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是A． B． C． D．4．“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点（如图），则的值是A． B．2 C．1 D．6．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则(

)A． B． C． D．7．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形()A．一个圆 B．线段C．两点 D．两个圆8．已知，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为轴，垂足为关于原点的对称点为交的另一交点为，则下列说法正确的是（

）A．的轨迹方程为：B．面积有最小值为C．面积有最大值为D．为直角三角形10．已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．若，则为等差数列 D．11．已知函数，且满足，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为.13．在锐角中，角的对边分别为，已知，且，则锐角面积的取值范围是.14．设函数已知，且，若的最小值为，则的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C．(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ16．已知数列，等差数列满足，，．(1)证明：；(2)若为等差数列，求的前n项和．17．如图，在四棱柱中，四边形与四边形是面积相等的矩形，，，平面平面为的中点.(1)求点到平面距离的差；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）已知函数有两个零点，，且．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．19．n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵.123231312（1）分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数.（2）求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数.（3）设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明.参考公式.

答案1．【正确答案】B2．【正确答案】C3．【正确答案】B4．【正确答案】B5．【正确答案】C6．【正确答案】B7．【正确答案】A8．【正确答案】D9．【正确答案】ACD10．【正确答案】ACD11．【正确答案】ACD12．【正确答案】13．【正确答案】14．【正确答案】15．【解】(1)由双曲线的定义可知,点M的轨迹C为焦点在x轴上的双曲线的右支,且2a=2,c=17,所以a=1,b2=c2-a2=17-1=16,所以C的方程为x2-y216=1(x>0).(注意点M的轨迹为双曲线的一支,需标注x的范围)(2)设T12,m,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≥1且x2≥1,由题知,直线AB与直线PQ的斜率都存在且不相等,设直线AB的方程为y=k1(设直线AB的方程为y=k1x−12+m,与双曲线的方程联立,整理成只含x的一元二次方程,由根与系数的关系可得x1+x2,x1联立y=k1x−12+m,x2−y216=1(x>0),消去y并整理得(16-k12)x2又直线AB与曲线C必有两个不同的交点,所以16-k12≠0,Δ=16(4m2-4k1m-3k12+64)>0,所以x1+x2=-k12−2k1m16−(根据弦长公式求出|TA|,|TB|,同理可得|TP|,|TQ|,结合已知条件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,整理可得k1+k2=0)所以|TA|·|TB|=1+k12x1A=(1+k12=(1+k12=(1+k12设直线PQ的方程为y=k2x−12+m(k1≠同理可得|TP|·|TQ|=(1+k因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,即(1+k12所以k22-16k12=所以k1=-k2或k1=k2(舍去),所以k1+k2=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 12分【思路导引】(1)(2)16．（1）设数列的公差为，由，得，由，得，故,即①递推,得②①②得，故得证.（2）若为等差数列，设公差为，由,可得，则.又，，，的前项和.17．（1）因为四边形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.在矩形中，，所以，因为，所以，又平面，所以平面.设，则点到平面的距离分别为，又，所以点到平面距离的差为.（2）因为平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，两两垂直，以点A为坐标原点，以直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18．（1）当时，，．令得．当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增，故的最小值为；（2）（ⅰ）解法1：令得．设，则图象与直线有两个交点．，当时，；当时，．因此在单调递增，在单调递减．时，，，，由图可知，．

因此的取值范围为．解法2：函数的定义域为，．当时，，故在上单调递减，不满足题意；当时，令得．当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．时，，时，，因为函数有两个零点，所以，，解得1．因此的取值范围为．（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，，要证，即证．因为，所以，又在单调递减，即证，又，即证．设，，则，当且仅当时取等号，所以，函数在单调递增．当时，，因此，．因为，所以，故原不等式成立．证明2：由题意可知，，两式相减得．要证，即证，即证，令，则．即证（），即证（）．设（），则．由（1）知，，当且仅当时取等号．故，即，在单调递增，当时，，故原不等式成立．证明3：由题意可知，，两式相减得．要证，即证，即证．令，，则，，．即证（），即证（）．令，即证（）．设（），则，在单调递减，，因为，所以，故原不等式成立．19．（1）计算2阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法，例如第一排是，那么第二排一定是，因此2阶阶拉丁方阵有种；计算3阶阶拉丁方阵：第一行，一共有种排法，例如第一排是，那么第二排有，两种排法，若是，则第三排只有一种排法，因此3阶阶拉丁方阵有种；（2）计算4阶阶拉丁方阵：第一行有种排列方式，根据（1）问的分析，可知：第二行有种排列方式，第三行有种排列方式，第四行则只有一种排列方式，因此4阶阶拉丁方阵有种；根据以上可以得到：n阶拉丁方阵，第一行可以是的全排列，共有种排列方式，第二行有种排列方