2025-2026学年河北省保定市十校高二上学期期中考试数学（含答案）

/河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为的是（

）A． B． C． D．2．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（

）A． B． C． D．103．设空间向量，则（

）A．6 B．9 C．-6 D．-94．圆与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外离 D．外切5．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（

）A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆6．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（

）A．2 B． C．1 D．7．在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（

）A． B． C． D．8．如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（

）A． B．C． D．10．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（

）A． B． C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为0B．的最大值为C．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为D．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为三、填空题12．两条平行直线之间的距离为.13．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是，的离心率的取值范围是.14．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为.四、解答题15．（1）分别求直线在轴、轴上的截距；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；（3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角.16．在四棱锥中，底面.(1)证明：平面CDE.(2)设.（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.17．已知点为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线.(1)求的标准方程.(2)若直线与交于两点，求的最大值.18．已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且.(1)求的方程.(2)设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为.（i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率.（ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.19．已知P，Q是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点.(1)若点在上，求的渐近线方程.(2)当O，P，Q，A四点共线时，，点.（i）求的方程；（ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在轴上，M，N分别为的左、右顶点，直线PM与QN交于点，证明：动点在一条定直线上.

题号12345678910答案CBBDCAABABBCD题号11答案ABD1．C由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可.【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，所以这四条直线中，倾斜角为的是.故选：C2．B根据双曲线的定义进行求解即可.【详解】设双曲线的实半轴长为，则，所以到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.故选：B.3．B根据向量平行，列等式求解即可.【详解】因为，所以，解得故选：B.4．D写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系.【详解】圆，圆的圆心分别为，则.圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切.故选：D.5．C设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆.【详解】设，则，所以.因为，所以代入，得，即，则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.故选：C.6．A先根据双曲线的焦距求出，然后设，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进而可求出直线的斜率.【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得.设，则，则，因为点是线段的中点，，所以，所以.故选：A.7．A先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可.【详解】取的中点的中点，连接.因为，所以，且.以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，.设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离为.故选：A.8．B设球的半径为，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴长，从而解得椭圆的离心率.【详解】设球的半径为，则椭圆的短轴长，即.过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图，其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线，A，B是光线与球面的切点，则，椭圆的长轴长，即.故椭圆的离心率.

故选：B.9．AB根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，所以，A正确，C错误.因为，且，，所以，B正确.，D错误.故选：AB．10．BCD先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，依题意得，即，解得，.故选：BCD11．ABD根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项【详解】由题意知，设，则，对于A，，则，当时，取最大值，所以的最大值为正确.对于B，，所以，当时，取最大值，所以的最大值为，B正确；对于C、D，设，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确.故选：ABD12．利用两平行线间的距离公式求解.【详解】之间的距离，即直线之间的距离为.故答案为.13．由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围.【详解】由，得，则，所以.因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则，即，，所以的实轴长的取值范围为.且，所以.故；.14．6建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解.【详解】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，即，，当时，，此时为棱的中点；当时，，此时为棱的中点，设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，，点的轨迹长度为6.故答案为.15．（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3）（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可；（2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解；（3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，

即可求解【详解】解：（1）（方法一）由，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（方法二）令，得，令，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（2）（方法一）依题意设所求直线方程为，将点的坐标代入得，解得，所以所求直线的方程为.（方法二）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为，即（或）.（3）（方法一）因为直线的倾斜角为，所以，又直线的斜率为，所以，所以直线的倾斜角为.（方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以这两条直线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为.16．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）证明见解析（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可.（2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小.【详解】（1）证明：因为平面平面CDE，所以平面CDE.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,

则.

设平面BCE的法向量为，则，令，得.

（i）设直线AD与平面BCE所成角为，因为，所以，所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.

（ii）证明：设平面CDE的法向量为，则,令，得.

设平面CDE与平面BCE的夹角为，由，所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于

.17．(1)(2)（1）设，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案.（2）根据（1）可得圆心为，半径为2，可得圆心C到直线距离d的表达式，代入弦长公式，根据k的范围，即可求得答案.【详解】（1）设，因为，所以，则，即.所以的标准方程为.（2）由（1）知，曲线为一个圆，且圆心为，半径为2，

因为圆心到直线的距离，

所以，又，所以，

所以当时，取得最大值，且最大值为.18．(1)(2)（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，

则，

\则，又因为椭圆C的右顶点为，故，

所以，所以的方程为.（2）设，将代入，得，

则恒成立，

.

（i）若，则有，解得或.依题意得，则，因为点关于轴的对称点为，所以，则.

（ii）当时，重合，与条件矛盾，直线AD的方程为，

假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上，令，得

，

所以直线AD过