2025-2026学年上海市浦东新区高三一模数学试题 附答案

/浦东区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合，集合，则____________．2．函数的定义域为_________．3．已知向量、，若，则实数的值为____________．4．求的二项展开式中的常数项________．5．已知、为实数，且，则的最大值为____________．6．设，求方程的解集为____________．7．△中，，，，则____________．8．如图，等腰直角△的斜边长为，将△绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为___________．9．已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数___________．10．已知复数、是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为____________．11．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态,每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）．现需要按顺序记录某个道路口个时段的信号灯状态，例如，记号表示个时段中有个时段是“非正常绿波协调”状态,分别发生在第、、时段．问：该路口个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于个且不多于个的记录共有____________种．12．已知若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为____________．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（）A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件14．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上分作为过程性评价奖励．加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．第百分位数 D．方差15．如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．16．已知函数，其中．集合，其中，集合，现有以下两个命题：①存在实数、，使得集合中恰好有个元素；②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素．那么（）A．=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是真命题 B．=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是假命题C．=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是假命题 D．=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是真命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中．（1）求函数的最小正周期及单调减区间．（2）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，该几何体由一个棱长为的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动．（1）若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小；（2）若弧的长度为，求证：平面平面．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题第=1\*GB3①问满分4分、第=2\*GB3②问满分5分，第2小题满分5分．小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响．（1）若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为．=1\*GB3①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率；=2\*GB3②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）．请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由．（2）如果小明每局获胜的概率为()，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）．记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点．（1）求椭圆的焦距与△的周长；（2）若，求点到轴的距离；（3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内．直线与椭圆交于、两点，记△、△的面积分别为、，求的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为.若对任意区间，存在正整数，使得，则称函数为“回归函数”,为回归指数．其中，,,……,．（1）若，．请分别判断函数、是否为回归指数为的“回归函数”；（2）若,．求证：函数是“回归函数”，并求满足条件的回归指数的最小值；（3）若是定义域为的函数，且，其中．请判断函数是否为“回归函数”？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由．浦东区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．2．3．4．5．6.7．8．9．10．11.12．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.C14.D15.D16.A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中．（1）求函数的最小正周期及单调减区间．（2）【正确答案】（1）（2）最大值是，此时．（1）由题意，函数的最小正周期，………3分由余弦函数的单调性可知，当，即时，函数是严格减函数，即的单调减区间是．……………6分（2）由题意，函数…………9分…………………11分令，则.由，有，即.由正弦函数的性质可知，在上是严格增函数.……………12分又因为，所以的最大值是，此时，即．综上，函数，的最大值是，此时．……14分18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，该几何体由一个棱长为的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动．（1）若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小；（2）若弧的长度为，求证：平面平面．【正确答案】（1）（2）证明见解析解法一：（1）连接，，.因为点为弧的中点，所以，……1分故.因为平面，且，故.由于和是平面内的两条相交直线，所以.…………3分因而是在平面上的投影，所以就是直线与平面所成的角.……4分由题意，，，故,因此，直线与平面所成角的大小为.…7分（2）由题意，，，故，又，所以.………………9分由平面，且不在平面内，可得平面；…………………11分同理可得，平面.……………13分又平面，平面，且，所以平面平面.…………14分解法二：（1）由题，点、分别为线段、的中点，故，因此平面.取线段中点，连接，则.以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系.…………1分由题意，点为弧的中点，故点的坐标为,其他有关点的坐标分别为、、，所以、、………2分设平面的法向量为,则，.即，.取，从而得到平面的一个法向量为.…4分设直线与平面所成角的大小为，.所以直线与平面所成角的大小为.……7分（2）由题意，，，故，故点的坐标为.………………9分其他相关点的坐标如下：、、、、，所以、、、设平面的法向量为,由,.即，.取，得到平面的一个法向量为.…11分设平面的法向量为由,.即，.取，故平面的一个法向量为.……13分因为，所以平面平面.………………14分19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题第=1\*GB3①问满分4分、第=2\*GB3②问满分5分，第2小题满分5分．小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响．（1）若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为．=1\*GB3①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率；=2\*GB3②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）．请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由．（2）如果小明每局获胜的概率为()，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）．记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义．【正确答案】（1）=1\*GB3①=2\*GB3②“一局定胜负”的赛制对他更有利.（2）严格增函数，现实意义：小明“五局三胜”最终获胜的概率随着每局获胜的概率的提高而提高（1）=1\*GB3①由题意，小明每局获胜的概率为，失败的概率为，……………2分故小明三局比赛结果依次为赢、输、赢的概率为………4分=2\*GB3②若小明选择“一局定胜负”的赛制，获胜的概率为.若小明选择“三局两胜”的赛制，则获胜的概率为…………………8分因为，故“一局定胜负”的概率更大，因此小明选择“一局定胜负”的赛制对他更有利.…………………9分（2）由题意，……11分故…………………12分由题，，因此，所以时，函数是严格增函数，…13分现实意义：小明“五局三胜”最终获胜的概率随着每局获胜的概率的提高而提高(其他结论有理均可得分).………………14分20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点．（1）求椭圆的焦距与△的周长；（2）若，求点到轴的距离；（3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内．直线与椭圆交于、两点，记△、△的面积分别为、，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）（1）由题意，椭圆的焦距，……2分所以△的周长为.…………………4分（2）由题，、，设，其中.则、，……6分……………………7分又点在椭圆上，故联立方程，消可得，………………8分即解得（舍）或，……………9分代入椭圆，得，即点到轴的距离为.……………10分（3）由题意，直线的方程为，…………11分设、，联立方程，得，………12分则，，.……13分又…………………14分………16分令，则，因而，…………17分又在上严格递减，故的取值范围为.…18分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为.若对任意区间，存在正整数，使得，则称函数为“回归函数”,为回归指数．其中，,,……,．（1）若，．请分别判断函数、是否为回归指数为的“回归函数”；（2）若,．求证：函数是“回归函数”，并求满足条件的回归指数的最小值；（3）若是定义域为的函数，且，其中．请判断函数是否为“回归函数”？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由．【正确答案】（1）是，不是（2）证明见解析，的最小值为.（3）是，理由见解析（1）由题意，的定义域.,，故对任意区间，必有,即.因此是回归指数为的“回归函数”.……2分又的定义域,.取区间