2025-2026学年四川省达州外国语学校高二上学期期中考试数学试题 附答案

/高2024级高二上学期半期考试数学试题一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．直线的倾斜角是（

）A．0 B． C． D．2．已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则3．向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．8．在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（

）A．平面 B．C．截面的周长为 D．11．如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．三棱锥外接球的体积为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．12．已知直线和直线垂直，则实数的值为．13．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是．14．如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为．四、解答题（本大题共5小题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.(1)用，，表示；(2)求的值.16．已知顶点、、．(1)求边所在的直线的方程；(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．17．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，(1)证明：直线平面；(2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．(3)求点N到平面OCD的距离．18．已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接．(1)若平面平面，求证：；(2)若平面平面．（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且.(1)证明：；(2)已知三棱锥，外接球球心为.①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值.

答案题号12345678910答案DDACABCDACDABD题号11答案AD8．D由过，可化为，所以平面的法向量为，而直线的方向向量为，所以直线与平面的所成角的正弦值.10．ABD对于A，连接AC，则，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，连接，在正方体中，，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于C，过的截面为梯形，，，，所以其周长为，故C错误；对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，三棱台的体积为，剩余部分的体积为，所以，故D正确．11．AD对于A选项，连接、、如图所示：在正四棱柱中，，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，同理可证平面，因为，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，A对；对于B选项，因为平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故，B错；对于C选项，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径，设三棱锥的外接球半径为，则，因此三棱锥外接球的体积为，C错；对于D选项，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，则，设，则，即，其中，，可得平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，故时，取最小值，则有最大值为，D对.12．13．14．取和的中点分别为，，过点作面于点，连结，，,平面,故，又，则又平面,故平面，平面，故则为二面角的补角，，因为，，则，且，易知，，因为为等腰直角三角形，所以是的外心.设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知，作，易知为矩形，，设，，则在中，，且中，，解得，所以外接球表面积为.故答案为.15．(1)；(2).【详解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，，所以.（2）正四面体的棱长为1，则，所以.16．(1)(2)或【详解】（1）由、，可知中点为，且，所以边所在的直线的方程为，即；（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，即，综上所述，直线的方程为或.17．(1)证明见解析；(2)；(3)．【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，由为的中点，为的中点，得，即，设平面的法向量为，则，取，得，则平面，所以直线平面．（2）由（1）知，，且平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以，故直线与平面所成角的余弦值为.（3）由（1）知，，且平面的一个法向量为，所以点到平面的距离.18．(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，．【详解】（1）由，平面，平面，得平面，由，同理得平面，而平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，所以.（2）在边长为2的正方形中，，由平面平面，平面平面，又平面，得平面，即直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则．（ⅰ），设平面法向量为，则，取，得，设平面法向量为，则，取，得，于是，而二面角为钝二面角，所以二面角的平面角的大小为.（ⅱ）假设线段上存在点，使平面，设，则，由平面，得，则，解得，所以线段上存在点，使平面，且.19．(1)证明见详解(2)①的最小值为；②证明见详解；二面角的余弦值为【详解】（1）因为，，，由勾股定理得，.因是等腰直角三角形，且，所以，.在中，，所以，即.因，，与相交于点，且平面，所以平面.而平面，所以.（2）过点作平面.以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系.因为，所以.因为，，与相交于点，且平面，所以平面.则，，，线段的中点因三棱锥底面为直角三角形，所以三棱锥的外接球球心在底面斜边上的中点的上方.又因为球心距离点和的距离相等，所以球心.①因为线段的中点，所以；为线段中点，所以点在线段上运动，设，.，，设平面的法向量为.则，不妨令，则平面的一个法向量为.，，设平面的法向量为.则，不妨令，则平面的一个法向量为.平面与平面的夹角为，则因，所以要求的最小值，