2025-2026学年四川省绵阳市三台中学校高三上学期12月第三次月考数学试题 附解析

/四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．4．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（）A．1 B． C． D．5．设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（

）A．若，则且 B．若，则n平行于平面内的无数条直线C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面或相交6．已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（

）A．若是锐角三角形，则B．若是边长为1的正三角形，则C．若，，，则有一解D．若，则是等腰直角三角形8．已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．当取得最大值时，D．的最大值为10．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．直线DP与直线所成角的取值范围为C．的最小值为D．P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为11．已知函数，则下列说法不正确的是（

）A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减三、填空题12．已知复数满足，则.13．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为.14．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为.四、解答题15．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.16．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．(1)求中线AM的长；(2)求的余弦值；(3)求面积．17．记为数列的前n项和.已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)D为BC上一点，．（i）若，求的值；（ii）若，求面积的最大值．19．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围；(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．

答案1．D【详解】且，得到，所以.故选：D.2．C【详解】设非零向量和的夹角为，则.由，得，则，即，，，，因此，是的必要不充分条件.故选：C.3．A【详解】由得，故曲线在点处的切线斜率为，而，故曲线在点处的切线方程为，即，故选：A4．B【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量，因此，又是单位向量，所以.故选：B5．A【详解】对于选项A，若，则且或或，故A错误；对于选项B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交，则交线与直线平行，故B正确；对选项C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故C正确；对于选项D，若n在平面外，则或与相交，当则时，或异面，当与相交时，相交或异面，故D正确；故选：A.6．D【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，所以，因为，所以，所以圆锥的高为，则该圆锥的体积为，故选：D.7．A【详解】对于A：若是锐角三角形，则，且，即，则，所以，故A正确；对于B：由题设，故B错误；对于C：若，，，由正弦定理得，，即，故，因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误；对于D：若，则，即，因为，则，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误；故选：A.8．D【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，解得，当时，函数，则，所以，则，即，因为方程有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解，令，则，可得，即在有两个不同的实数解，所以函数和的图象在上有两个不同的交点，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，当时，，且时，，画出函数的图象，如图所示，结合图象，可得，即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为.故选：D.9．ACD【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B错误；对于C，，其中且，当取得最大值时，则，所以，故C正确；对于D，，其中且，当时，取得最大值为，此时，故D正确.故选：ACD.10．AB【详解】，平面，平面，则平面，则点到平面的距离为定值，故为定值，故A正确；如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确；如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误；如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误.故选：AB.11．ACD【详解】对于A，，所以不是的一个周期，故A错误；

对于B，，所以是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，，可得，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；对于D，，当时，，此时，，当时，，此时，，当时，，此时，，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间内不单调递减，故D错误.故选：ACD12．【详解】由复数满足，可得，则.故答案为.13．【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得，，当且仅当，即时等号成立.故答案为.14．7【详解】由题意可知：正四棱台的体积为，根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7.故7.15．(1)(2)的周长为【详解】（1），，且，则，在中，由正弦定理可得，，又在中，，则，所以，即，又，所以，即，又，则；（2），，又，，，故的周长为.16．(1)(2)(3)【详解】（1）因为为BC的中点，，，.（2）因为,，.（3）为中线的交点，为重心，，，，.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）由可得，当时，，故，化简可得，由于，故，即为常数，因此为等差数列，（2）由（1）知为等差数列，且公差为，又，，成等比数列，故，解得，故，故，故，单调递减，故单调递增，因此，恒成立，故，解得，18．(1)；(2)（i）；（ii）.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，则，即，整理得，而，所以.（2）（i）由，得，，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，所以.（ii）由得，得，则，因此，即，当且仅当时取等号，则，，所以当时，的面积取得最大值.19．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)．(3)证明见解析【详解】（1）当时，，故当单调递减；当单调递增．综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由题意，．①当时，在