第01讲 集合的概念（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）（人教A版必修第一册）（解析版）

第第页第01讲集合的概念【人教A版】模块一集合的概念模块一集合的概念1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.【题型1对集合概念的理解】【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【答案】B【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答过程】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误；对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误；对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误.故选：B．【变式1.1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（）A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员C．2024年参加“两会”的代表 D．π的近似值【答案】C【解题思路】由集合的概念可得答案.【解答过程】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误；B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误；C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确；D选项，精确度未确定的情况下，π的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误.故选：C.【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数1,0,5,2D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4【答案】B【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；对于C，因为存在23对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4，故D错误；故选：B.【变式1.3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（

）A．与定点A,B等距离的点不能组成集合B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a,b,c，其中a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形D．高中学生中的游泳能手能组成集合【答案】C【解题思路】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论.【解答过程】对于A，与定点A,B等距离的点是线段AB的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误；对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误；对于C，由集合中的元素具有互异性可知，a,b,c各不相同，所以△ABC不可能是等腰三角形，即C正确；对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误.故选：C.【题型2判断是否为同一集合】【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（

）A．M=−1,3，N=3,−1 B．M=C．M=x,y|y=x2+3x，N=【答案】B【解题思路】根据集合元素的性质逐一判断即可.【解答过程】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：M是以0为元素的集合，N是数字0，D错误.故选：B.【变式2.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合M=1,0，则下列与M相等的集合个数为（

①x,y②x,y③x∣x=④{x∣−1<x<2,x∈A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由N定义可得④，依次判断即可求得结果.【解答过程】对于①，x,y∣对于②，x,y∣y=x−1+1−x中x−1≥0,1−x≥0,对于③，当n为奇数时，x=−1；当n为偶数时，x=0，所以x∣x=(−1)对于④，{x∣−1<x<2,x∈N所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.【变式2.2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①xx②yy=2③xx=④x,yA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.【解答过程】因为xx因为yy=2x2因为xx=1−−1x,yy=故选：C.【变式2.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的M、P表示同一集合的个数是（

）①M=3,−1，P={(3,−1)}②M={(3,1)}，P={(1,3)}；③M=y∣y=x2④M=y∣y=x2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解题思路】利用集合相等的概念判断.【解答过程】在①中，M={3，−1}是数集，P={(3,−1)}是点集，二者不是同一集合，故①错误；在②中，M={(3,1)}，P={(1,3)}表示的不是同一个点，故②错误；在③中，M=y∣y=x2在④中，M=y∣y=x2故选：B.【题型3利用集合元素的特性求参数】【例3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合x,x2−1,2中的x不能取的值是（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】根据集合的互异性，即可求解.【解答过程】由集合的互异性可知，x≠x2−1，或x≠2得x≠1±52，或x≠2故选：C.【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）由a2,2−a，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（A．1 B．−2 C．−1 D．2【答案】C【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.【解答过程】对A，当a=1时，a2=1，对B，当a=−2时，a2对C，当a=−1时，a2=1，对D，当a=2时，a2故选：C.【变式3.2】（2025高二上·新疆·学业考试）数集1,x2−3中的xA．2 B．−2 C．−2,2 【答案】D【解题思路】直接根据集合的互异性即可得结果.【解答过程】由集合的互异性可得x2−3≠1，即所以x不能取的数值的集合是−2,2，故选：D.【变式3.3】（2025高一·全国·课后作业）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．−1 B．1 C．3 D．2【答案】D【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由a2，2−a，3组成的一个集合A，A因为a2=2−a=3无解，故由a2，2−a故a2≠2−a≠3，即a≠−2,a≠1,a≠−1,a≠±3即A，B，C错误，D正确，故选：D.模块二模块二元素与集合的关系1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）集合A={x∈Z∣−6<4x−2<6}，则下列表示正确的是（）A．0∉A B．0∈AC．1∉A D．−1∈A【答案】B【解题思路】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可.【解答过程】A={x∈Z∣−6<4x−2<6}={x∈Z∣−1<x<2}=0,1所以0∈A,1∈A，−1∉A，故A，C，D错误，B正确.故选：B．【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=x,yx2A．2,3∈A B．1,7∈A C．2,−2【答案】D【解题思路】验证各选项可得答案.【解答过程】对于A，22对于BC，7∉对于D，因为2∈N*，且故选：D.【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合P={xx=aa+bA．−1∈P B．−2∈P C．0∈P D．2∈P【答案】A【解题思路】分a>0，b>0；a<0，b<0或a，b异号，进行求值，即可得解.【解答过程】若a>0，b>0时，x=a若a<0，b<0时，x=a若a，b异号时，x=0．故选：A.【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解题思路】根据R，Z，N∗，N，Q【解答过程】对于①，因为22为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以2对于②，因为3是无理数，所以3∉Z对于③，因为0不是正整数，所以0∉N对于④，因为4=2∈N对于⑤，因为π是无理数，所以π∉Q对于⑥，因为−2=2∈Z故选：A．【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若−3∈a−3,2a−1,a2−1，则aA．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】由题意得a−3=−3，或2a−1=−3，或a2−1=−3，分别求解【解答过程】因为−3∈a−3,2a−1,所以a−3=−3，或2a−1=−3，或a2当a−3=−3时，得a=0，此时集合为−3,−1,−1，不合题意，舍去，当2a−1=−3时，得a=−1，此时集合为−4,−3,0，当a2−1=−3时，得综上，a=−1.故选：A.【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合A=m+2,2m2+m,若3∈AA．1 B．−32 C．1或−32 【答案】B【解题思路】根据m+2=3或2m【解答过程】因为A=所以m+2=3或2m当m+2=3时，m=1，此时，m+2=2m当2m2+m=3时，解得m=−综上m=−3故选：B.【变式5.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合A=x2mx−3>0,m∈R，若1∉A且3∈A，则实数mA．12,32 B．12,【答案】A【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.【解答过程】由1∉A且3∈A，得2m−3≤0,解得12故选：A．【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【答案】B【解题思路】由题意可得m=2或m2【解答过程】因为A=0,m,m2所以m=2或m2①若m=2，此时m2②若m2−3m+2=2，解得当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3,2}符合题意.综上所述，m=3.故选：B.【题型6集合中元素的个数问题】【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合A=1,3,5，B=2,4,6，则C=xx=a+b,a∈A,b∈BA．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解题思路】采用列举法，分别计算出a+b的值，结合集合的互异性，可得集合C，从而知集合中的元素个数.【解答过程】当a=1，b分别为2,4,6时，可得a+b分别为3,5,7；当a=3，b分别为2,4,6时，可得a+b分别为5,7,9；当a=5，b分别为2,4,6时，可得a+b分别为7,9,11.根据集合的互异性，可知C=3,5,7,9,11故选：A.【变式6.1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（

）个元素A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【解题思路】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【解答过程】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有3+6+6=15种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素，故选：A.【变式6.2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合A=x∣a(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【答案】(1)a的值为0或者98，当a=0时，A=23；当(2)(−【解题思路】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时，Δ=0（2）方程无解时，a≠0且Δ<0【解答过程】（1）当a=0，集合A=x∣−3x+2=0当a≠0时，Δ=9−8a=0，解得a=98综上可知，a的值为0或者98，当a=0时，A=23；当a=（2）当集合A中有两个元素时，方程ax则a≠0且Δ=9−8a>0，解得a<98又当A中只有一个元素时，a=0或a=9故A中至少有一个元素时，a的范围为a≤9所以a的取值范围为(−∞【变式6.3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合A={x∈R(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围;【答案】(1){a|a>(2)a=0时，元素为23；a=9(3){a|a=0或a≥【解题思路】（1）由题意得方程ax2−3x+2=0（2）由题意，对二次项系数分a=0和a≠0讨论，a=0时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，a≠0时，利用Δ=0（3）由题意得，A为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解.【解答过程】（1）若A是空集，则方程ax此时Δ=9−8a<0即a>9故a的取值范围为{a|a>9（2）若A中只有一个元素，则方程ax当a=0时，方程为−3x+2=0，解得x=2方程有且仅有一个实根，满足题意；当a≠0时，Δ=9−8a=0解得a=9此时x=3∴a=0或a=9当a=0时，A={23}当a=98时，A={4（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论可得a的取值范围是{a|a=0或a≥9模块三模块三集合的表示法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.【题型7用列举法表示集合】【例7】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合：(1)方程x2(2)大于10而小于20的合数组成的集合；(3)方程组x+y=2x−y=0【答案】(1){−3,3}；(2)12,14,15,16,18；(3)1,1.【解题思路】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可.【解答过程】（1）因为方程x2−9=0的实数根为−3,3，集合表示为（2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为{12,14,15,16,18}；（3）由x+y=2x−y=0，得x=1y=1，方程组的解集可表示为【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合：(1)方程x−12(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)函数y=2x−1的图象与坐标轴的交点组成的集合．【答案】(1)1,2(2)W,e,l,c,o,m(3)(0,−1),【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解；（2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解；（3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解.【解答过程】（1）方程x−12x−2=0（2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为W,e,l,c,o,m．（3）函数yy=2x−1的图象与x轴的交点为12,0，与y轴的交点为此可以用列举法表示为(0,−1),1【变式7.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)既是质数又是偶数的整数组成的集合；(3)一次函数y=x+2与y=−2x+5的图象的交点组成的集合C；(4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合.【答案】(1)A={2,3,4,5}(2)2(3)C={(1,3)}(4){黄色，红色}【解题思路】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可.【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A={2,3,4,5}.（2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为{2}；（3）联立y=x+2y=−2x+5，解得x=1所以一次函数y=x+2与y=−2x+5的交点为1,3，所以C={(1,3)}.（4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}.【变式7.3】（2025高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)A=x(3)B=x∈(4){(x,y)|0≤x≤2,0≤y<2,x,y∈Z(5)由|a|a＋|b|b（a，b∈【答案】(1)2,3,4,5(2)1,−2(3)0,1(4)0,0(5)−2,0,2【解题思路】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程(x−1)(x+2)=0的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可.【解答过程】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为2,3,4,5；（2）A=（3）B=（4）{(x,y)|0≤x≤2,0≤y<2,x,y∈（5）由题意，a≠0,b≠0当a>0,b>0时，|a|a＋|b|当a>0,b<0时，|a|a＋|b|当a<0,b>0时，|a|a＋|b|当a<0,b<0时，|a|a＋|b|故由|a|a＋|b|b（a，b∈R）所确定的实数组成的集合为【题型8用描述法表示集合】【例8】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合：(1)不等式2x−3<1的解组成的集合A；(2)正偶数组成的集合；(3)函数y=2x【答案】(1)A=(2)x(3)x,y【解题思路】利用集合的描述法来表示集合.【解答过程】（1）集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x−3<1，所以A=x2x−3<1，即（2）正偶数组成的集合是xx=2n,n∈（3）函数y=2x2−x+1【变式8.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合:(1)由不超过5的所有自然数组成的集合A；(2)不等式3x+2>5的解集组成集合(3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合C;(4)二次函数y=x2【答案】(1)A(2)B(3)C(4)D【解题思路】（1）利用列举法表示集合即可；（2）利用描述法表示集合即可；（3）利用描述法表示集合即可；（4）利用描述法表示集合即可.【解答过程】（1）利用列举法表示集合A=（2）利用描述法表示集合B=（3）利用描述法表示集合C=（4）利用描述法表示集合D=【变式8.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y=x(3)使函数y=2x−1有意义的实数【答案】(1){(x,y)|x∈R(2)x,y|y=(3){x|x≠1}.【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可.【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为x∈R,y=0，故集合为（2）由点在抛物线上，故集合为x,y|y=（3）由y=2x−1，则x−1≠0⇒x≠1，故集合为【变式8.3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：(1)不等式2x−3<1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C={2, (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．【答案】(1)A=(2)B=(3)C=(4)D=【解题思路】（1）先确定集合A中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件2x−3<1即可解答.（2）先确定集合B中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件x=3n+2,n∈N（3）先确定集合C中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件x=2n,n≤5,n∈N（4）先确定集合D中的代表元素是点x,y；再确定集合中代表元素满足的条件x<0,y>0即可解答.【解答过程】（1）因为不等式2x−3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数.设代表元素为x，则x满足2x−3<1，所以A=x2x−3<1，即（2）设被3除余2的数为x，则x=3n+2,n∈Z又因为元素为正整数，故x=3n+2,n∈N所以被3除余2的正整数的集合B=x（3）设偶数为x，则x=2n,n∈Z但元素是2，4，6，8，10，所以x=2n,n≤5,n∈N所以C=x（4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点x,y的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0,y>0，故第二象限内的点的集合为D=x,y【题型9集合元素中的新定义问题】【例9】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算A⊗B=xx=x1⋅x2,x1A．48 B．54 C．42 D．36【答案】D【解题思路】首先根据集合A和B中的元素，按照新定义A⊗B={x|x=x1⋅【解答过程】当x1=1,x当x1=1,x当x1=3,x当x1=3,x当x1=4,x当x1=4,x所以A⊗B={1,3,4,12,16}.再求A⊗B元素之和：1+3+4+12+16=36.故选：D.【变式9.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若数集A=a1,a2,⋯,an1≤a1<aA．“权集”中一定有1 B．1,2,3,6为“权集”C．1,2,3,4,6,12为“权集” D．1,3,4为“权集”【答案】B【解题思路】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误.【解答过程】因为2×3，62=3，63=2都属于数集所以“权集”中不一定有1，所以A错误；因为1×2,1×3,1×6,2×3,62,63因为4×6与64=32均不属于数集因为3×4与43均不属于数集1,3,4，1,3,4故选：B.【变式9.2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集A=a1,a2,⋯,an，定义(1)若A=1,2,5，求集合A(2)若cardA−1=211(3)试判断cardA−1与【答案】(1)A(2)15.(3)cardA【解题思路】（1）由集合新定义直接求出即可；（2）分i=j、i≠j讨论，根据ai（3）cardA=n，不妨设a1【解答过程】（1）由题意可得A−1（2）当i=j时，ai当i≠j时，aiaj∈A，此时于是cardA由n2−n+1≥211，即n2当A中的15个元素都是质数时，因为任意两个质数的商是不相等的，此时cardA−1=211（3）cardA不妨设a1<a至少这2n−1个元素属于A−1于是cardA【变式9.3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合A=a1,a2,a3,⋯,an(1)判断集合A=0,1,7,8是否具有性质M(2)若集合B=a1,a2,a(3)当n=7时，若集合A具有性质M，且a2=1,a【答案】(1)集合A=0,1,7,8具有性质M(2)证明见解析(3)A=0,1,2,3,4,5,6【解题思路】（1）集合A具有性质M的定义判断即可.（2）令s=t=12，利用集合B具有性质M，进而可得a12−a（3）由（2）可得a1=0，进而可得a7【解答过程】（1）因为0+1,0+7,0+8,1+7,8−1,8−7都是集合A的元素，且t=s时，as−a所以集合A=0,1,7,8具有性质M（2）令s=t=12因为集合B具有性质M，所以a12+a12和因为a12>0，所以a12+a所以a12−a12是集合因为0≤a因为0<a2<所以a12−a（3）由（2）可知a1=0，则即a7所以a3+a因为a5+a4>则a5−a当a5−a故集合A=0,1,2,3,4,5,6当a5−a故集合A=0,1,2,4,6,7,8，此时1+4=5∉A,4−1=3∉A综上，集合A=0,1,2,3,4,5,6一、单选题1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高中学生中的游泳高手【答案】B【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答过程】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误；对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误；对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误.故选：B.2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知2∈2a,a2+a，则A．1或−2 B．1 C．−2 D．1或−1【答案】C【解题思路】利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得.【解答过程】因为2∈2a,a2+a，所以当2a=2时，解得当a2+a=2，即a2+a−2=0，即a+2a−1又a=−2时，2a=−4，此时集合为−4,2，符合题意，所以a=−2．故选：C.3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合A={x∈R|−5≤x≤2A．3∈A B．−2∈A C．0∉A D．【答案】B【解题思路】根据元素与集合的关系判断即可.【解答过程】由题意可得3>2，−5<−2<2所以3∉A,−2∈A,0∈A,1∈A故选：B.4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合A=x|mx2−4x+2=0中只有一个元素，则实数A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值.【解答过程】当m=0时,方程变为−4x+2=0，解得x=12，满足集合当m≠0时，方程mx因为集合x|mx所以△=(−4)2−4m×2=16−8m综上，实数m的值为0或2.故选：C.5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（

）A．0与0表示同一个集合B．集合1,2,3与3,2,1是两个相同的集合C．方程x−12x−2D．集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示【答案】B【解题思路】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论.【解答过程】对于A，0是元素不是集合，0表示以0为元素的一个集合，所以A错误；对于B，集合1,2,3与3,2,1的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确；对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程x−12x−2=0对于D，集合{x∣4<x<5}表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误．故选：B．6．（24-25高一上·全国·周测）已知集合A=−4,−3,−2,0,1,2,3,4,5，B=xx∈A,−x∉A，则B=A．0,1,5 B．1,5 C．0,2,3 D．0,1,2,3,5【答案】B【解题思路】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可.【解答过程】因为A=−4,−3,−2,0,1,2,3,4,5，B=xx∈A,−x∉A故选：B．7．（24-25高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集A满足条件:若a∈A，则1+a1−a∈A，则集合A中所有元素的乘积为（A．1 B．−1 C．±1 D．与a的取值有关【答案】A【解题思路】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．【解答过程】由题意，若a∈A，1+a1−a∴1+∴1+∴1+综上，集合A=a,−所以集合A中所有元素的乘积为a⋅−故选：A.8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x−y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M.则下列说法正确的个数为（（1）12∈M，（2）x+y∈MA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解题思路】（1）根据题目条件得到−1∈M，2∈M，故12∈M；（2）−y∈M，故x−−y=x+y∈M；（3）分x=0，x=1和x≠0且x≠1三种情况进行求解，当x≠0且x≠1时，得到1x【解答过程】因为0∈M，1∈M，由②得0−1∈M，即−1∈M，故1−−1∈M，即2∈M，由③得0∈M，y∈M，由②得−y∈M，故x−−y若x=0，则x2=0∈M，若x=1，则若x≠0且x≠1，因为1∈M，x∈M，由②得x−1∈M，由③得，1x−1∈M，又由②得1x−1由②得x−x−故选：D.二、多选题9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合x|y=x2−1D．集合x|x2+5x+6=0【答案】AD【解题思路】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.【解答过程】对于A，根据集合元素的无序性可得1,2,3、3,2,1表示同一集合，元素有1,2,3，故A正确.对于B，0不是空集，故B错误.对于C，x|y=x2−1故两个集合不是同一个集合，故C错误.对于D，x|x故选：AD.10．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知由实数组成的非空集合A满足：若x∈A，则1+x1−x∈A．下列结论正确的是（A．若2∈A，则−B．0∉AC．A可能仅含有2个元素D．A所含的元素的个数一定是4n【答案】ABD【解题思路】根据集合的定义对各选项进行验证：直接计算判断A，用反证法判断B，设x∈A，由定义求出集合A中其他元素后判断CD．【解答过程】若2∈A，则−3∈A，−1若0∈A，则1∈A，而1+x1−x∈A中分母不能为0，即x≠1，所以若x∈A，则1+x1−x∈A，所以所以1−1x1+若1+x1−x=x，即x2若−1x=x，即x若x−1x+1=x，即x2所以若x∈A，则1+x1−x∈A，−1x∈A，x−1x+1∈A，且x所以A所含的元素的个数一定是4nn∈N+故选：ABD．11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M，则xy∈M；②若x,y∈M，则x+y∈M.下列说法中正确的有（A．−1∈M. B．2025∈M.C．若x,y∈M，则xy∈M. D．若x,y∈M，则x−y∈M.【答案】BC【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.【解答过程】对于A，若−1∈M，令x=y=−1，则xy=1∈M,x+y=−2∈M，令x=−1,y=1，则xy=−1∈M,x+y=0∈M，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质①，得xx=1∈M，再根据性质②，得1+1=2∈M，进而1+2=3∈M,⋯,2024∈M,2025∈M，故对于C，因为1∈M,x∈M，所以1x∈M，因为y∈M,1x∈M对于D，若x=1,y=2，则x−y=−1∉M，故D错误，故选：BC.三、填空题12．（24-25高一上·全国·课前预习）x,yx+22+y−3【答案】−2,3【解题思路】根据描述法表示集合的意义，即可求解.【解答过程】因为x+22≥0，y−3≥0得x=−2,y=3，则x,yx+2故答案为：−2,3.13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A=a−2,12,2a2+5a，且−3∈A【答案】−【解题思路】由−3∈A，可得−3=a−2或−3=2a2+5a【解答过程】由−3∈A，可得−3=a−2或−3=2a由−3=a−2，解得a=−1，经过验证2a2+5a=2−5=−3由−3=2a2+5a，解得a=−1或−∴a=−3故答案为：−314．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有个元素.【答案】9【解题思路】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值.【解答过程】设A中的数从小到大排列为1,则a1=1+1=2；3≤a2≤4;；4≤a于是A至少有八个数；假设A恰好有八个元素，由于a5故必须有100=a6+又a4+a但此时a3+a4≤24故A不可能恰好有八个元素，因此A至少有九个元素.其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100.故答案为：9.四、解答题15．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合．(1)A=x,y(2)B=6(3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点．【答案】(1)1,3(2)B=(3)x,y【解题思路】（1）可以用列举法表示集合A；（2）可以用列举法表示集合B；（3）可以用描述法表示给出的集合.【解答过程】（1）∵x+y=4，x∈N*，∴x=1y=3或x=2∴A=1,3（2）∵61+x∈Z∴1+x=1,2,3,6．∴x=0,1,2,5，即61+x∴B=6,3,2,1（3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的